邏輯與批判思考 課程網頁：http://myweb.scu.edu.tw/~tsemeiwu 第十三週： 自然演繹法III：替代規則

一、簡介替代規則 替代規則：以邏輯等值的形式來陳述（又稱為「等值規則」）。 引入「≡」的符號：表示在它兩邊的語句是邏輯上等值的。在做證明時，邏輯等值的語句可以彼此替代。

一、簡介替代規則 十個替代規則：德摩根律(DeM)、對換法(Comm)、結合法(Assoc)、分配法(Dist)、雙重否定法(DN)、質位變換法(Contra)、蘊含法(Impl)、等值法(Equiv)、輸入輸出法(IE)、重複增減法(Idemp)。 注意：所有替代規則可以用在整個語句，也可用在語句的一部份。

替代規則 德摩根律 DeM 對換法 Comm 雙重否定法 DN 分配法 Dist 質位變換法 Contra 結合法 Assoc ~( p • q ) ≡ (~p  ~q) ~( p  q) ≡ (~p • ~q) 對換法 Comm ( p • q ) ≡ ( q • p ) ( p  q) ≡ ( q  p) 雙重否定法 DN p ≡ ~ ~p 分配法 Dist (p • (q  r)) ≡ (( p • q)  ( p • r)) (p  (q • r)) ≡ (( p  q) • ( p  r)) 質位變換法 Contra (p→q) ≡ (~q→~p) 結合法 Assoc (p • (q • r)) ≡ ((p • q) • r) (p  (q  r)) ≡ ((p  q)  r) 等值法 Equiv (p↔q) ≡ ((p→q) • (q→p)) (p↔q) ≡ ((p • q)  (~p • ~q)) 蘊含法 Impl (p→q) ≡ (~p  q) 重複增減法 Idemp p ≡ (p • p) p ≡ (p  p) 輸入輸出法 IE ((p • q)→r) ≡ (p→(q→r))

一、簡介替代規則 「蘊含規則」與「替代規則」的重要差別： 1.蘊含規則只能適用在整個語句。 替代規則可以用在整個語句，也可用在語句的一部份。 2.蘊含規則是單向的（從前提到結論）。 替代規則是雙向的（可用任一方的等值表達取代另一方）。

二、替代規則 (九)德摩根律（簡寫為DeM）： ~( p • q ) ≡ (~p  ~q) ~( p  q) ≡ (~p • ~q) 記憶法：當我們把否定符號移入或移出括號時，必須 把 • 換成，把換成 • 。 德摩根律只適用並言和選言，不能用在條件句和互為 條件句。 例1： 1. (E • I)  (M • D) 2. ~ E ∕∴ ~E • M 例2： 1. ~ (X  ~X) ∕∴ Y

二、替代規則 (十)對換法（簡寫為Comm）： ( p • q ) ≡ ( q • p ) －並言的對換法 對換法說的是，一個並言和選言的真假值不受其構成 要素的順序影響。 這個規則類似算數中的加法和乘法。 對換法只適用在並言和選言，不適用於互為條件句。 例1： 1. J→K 2. ~K ∕∴ R  ~J 例2： 1. A (S • J) 2. ~J ∕∴ A

二、替代規則 (十一)結合法（簡寫為Assoc）： (p • (q • r)) ≡ ((p • q) • r) －並言的結合法 結合法說的是，一個並言和選言的真假值不受括號的 位置之影響。 這個規則跟算數中的作法類似。只適用在並言和選言。 在使用這個規則時，字母的順序必須保持不變，只能 改變括號的位置。 例題：1. M  (N  O) 2. ~O ∕∴ M  N

有趣的推理：魔術矩陣 畫出一個四乘四的矩陣，按順序填上1到16的數字。 請同學任選一個數字。選好後把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 接著在還沒被劃掉的數字裡再選一個數字，然後同樣把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 接下來再選第三個數字，如法炮製地把包含這個數字的那一行和那一列劃掉。 最後把唯一剩下來的數字圈起來。 老師有超自然能力，可以預測這四個數字的總和。 你們相信老師真的有超能力嗎？我是怎麼知道的？

二、替代規則 (十二)分配法（簡寫為Dist）： (p • (q  r)) ≡ (( p • q)  ( p • r)) 這個規則類似算數裡的作法。 記憶法：本來在括號外面的運算符號進去，本來在括號裡面的運算符號出來。 分配法同樣只適用在並言和選言。 例1： 1. D • (E  F) 2. ~D  ~F ∕∴ D • E 例2： 1. (G • H)  (G • J) 2. (G  K)→L ∕∴ L

二、替代規則 (十三)雙重否定法（簡寫為DN）： p ≡ ~ ~p 雙重否定法說的是，一組緊鄰在一起的否定連接詞可 以被刪除或引入，而不影響原語句的邏輯真假值。 日常生活中有很多雙重否定法的運用。 例如，老師說：「我不是沒有理由當掉你的。」這句話跟「我有理由當掉你」的意義相同。 例1： 1. ~ (~E • ~N)→T 2. G → (N  E) ∕∴ G→T 例2： 1. A→ ~ (B • C) 2. A • C ∕∴ ~B

二、替代規則 例題： 例1：1. E→ ~B 2. A→ ~C 3. ~ (~E • ~A) ∕∴ ~ (B • C) 例2：1. B  (S • N) 2. B→ ~S 3. S→ ~N ∕∴ B  W

二、替代規則 當沒有辦法直接看出如何從前提推出結論時，最好的辦法是用「替代規則」來“解構”結論。 解構完結論後，就用相反的順序來推出結論。 「替代規則是雙向的」可以證成上述程序。 例題： 1. K→ (F  B) 2. G • K ∕∴ (F • G)  (B • G)

三、做推論的基本策略 10. Conj規則可以跟DeM規則搭配使用。 例如：1. ~A 2. ~B ∕∴ ~ (A  B) 11. CD規則可以跟DeM規則搭配使用。 例如：1. A→ ~B 2. C→ ~D 3. A  C ∕∴ ~ (B • D)

三、做推論的基本策略 12. Add規則可以跟DeM規則搭配使用。 例如：1. ~A ∕∴ ~ (A • B) 13. Dist規則可以用兩種方式跟DS規則搭配使用。 例1：1. (A  B) • (A  C) 2. ~A ∕∴B • C 例2：1. A • (B  C) 2. ~ (A • B) ∕∴ A • C

三、做推論的基本策略 14. Dist規則可以用兩種方式跟Simp規則搭配使用。 例1：1. A  (B • C) ∕∴ A  B 例2：1. (A • B)  (A • C) ∕∴ A 15. 從前提看不出可以如何推出結論時，可使用替代規則“解構”結論。之後再依相反順序、運用相同規則，從前提推出結論。

練習題 1. ~S ∕∴~ (F • S) 1. R→ ~B 2. D  R 3. B ∕∴ D 1. ~ (X • Y) 2. X 3. Y  Z ∕∴ Z

練習題 1. (J  F)  M 2. (J  M)→ ~P 3. ~F ∕∴ ~ (F  P) 1. X • (Y  Z) 3. (Z • X)→K ∕∴ K 這題至少可以有兩種證法 1. ~X  Y 2. ~Y  Z 3. X • W ∕∴ (X • Y) • Z

有趣的推理：人口爆炸 請問：蛋頭先生的論證有什麼問題？ 最近常聽到第三世界有人口爆炸的問題，故倡導節育。 「反節育聯盟」的主席蛋頭先生不同意這個說法，他主張世界人口急速減少，不久以後每個人都會有更多空間和資源可以用，以下是他提出的論證： 每個活著的人都有父母親兩位；父母親上頭各有他們的父母親兩位，所以祖父母輩就有四位；祖父母上頭各有他們的父母親兩位，所以曾祖父母輩就有八位。每回溯一代，人數就增加一倍。因此，如果你從二十一世紀回溯到中世紀時代，你的祖先共有1,048,576人。你想想看，每個人都是如此，所以在中世紀時代的人口是現在的一百多萬倍。因此，人口急速減少。 請問：蛋頭先生的論證有什麼問題？