第 20 章 光的干涉和衍射 （Interference & diffraction of light）

则在空间相遇区域就会形成稳定的明、暗相间的条纹分布，这种现象称为光的干涉。 §20-1 光波的相干叠加 一.光的干涉 两束光 (1)频率相同； (2)光振动方向相同； (3)相差恒定； 相干条件 则在空间相遇区域就会形成稳定的明、暗相间的条纹分布，这种现象称为光的干涉。 二.相干叠加和非相干叠加 由波动理论知, 光矢量平行、频率相同、振幅为E1和E2的两列光波在某处叠加后,合振动的振幅为 其中

在波动光学中，光强定义为 即光强 1.非相干叠加 对普通光源来说，由于原子发光是间歇的、随机的、独立的，在观察时间内，相位差不能保持恒定,变化次数极多,可取0~2π间的一切可能值,且机会均等，因此

于是非相干叠加时的光强为 I=I1+I2 (20-1) 可见，在非相干叠加时，总光强等于两光源单独发出的光波在该处产生的光强之和，且光强是均匀分布的。 2.相干叠加 如果在观察时间内，相位差保持恒定,则合成光强为 (20-2) 可见，在相干叠加时,合成光强在空间形成强弱相间的稳定分布。这是相干叠加的重要特征。

(20-2) 如果I1=I2 ，则合成光强为 (20-3) 当 =±2k, Imax=4I1 , 明纹(加强) =±(2k+1), Imin=0 , 暗纹(减弱)

由此可见，光经过不同媒质时，波长要发生变化。这对讨论光经过几种媒质后的相干叠加问题，是很不方便的。为此引入光程的概念。 三. 光程和光程差 光的频率v由光源确定。光速由媒质确定。 真空中，光速: c=v 媒质中，光速: =v ∵ n=c/ ∴  = /n 当 =±2k, Imax=4I1 , 明纹(加强) =±(2k+1), Imin=0 , 暗纹(减弱) 由此可见，光经过不同媒质时，波长要发生变化。这对讨论光经过几种媒质后的相干叠加问题，是很不方便的。为此引入光程的概念。

设经时间t，光在折射率为n媒质中通过的几何路程为r，则nr称为光程。 显然，光程 nr=n t =c t 。 n=c/  = /n 1.光程 设经时间t，光在折射率为n媒质中通过的几何路程为r，则nr称为光程。 显然，光程 nr=n t =c t 。 光程的物理意义: 光程等于在相同的时间内光在真空中通过的路程。 引入光程概念后，就能将光在媒质中通过的几何路程折算为真空中的路程来研究。这就避免了波长随媒质变化而带来的困难。

2.光程差—两束光光程之差 e1 s1 n1 r1 s1 e2 n1 p n2 n2 r2 s2 s2 n1r1- n2r2 = S1p= r1 s1 p e1 e2 n1 n2 S2p= r2 图20-2 s2 s1 r2 r1 p n1 n2 图20-1 n1r1- n2r2 = = (r1-e1 +n1e1) - (r2-e2 +n2e2)

3.两束光干涉的强弱取决于光程差，而不是几何路程之差 s2 s1 r2 r1 p n1 n2 设相干光源s1和s2的初相相同，到达p点的干涉强弱取决于相差： 真空中的波长 =±2k , 明纹(加强) =±(2k+1) , 暗纹(减弱) 即 明纹 暗纹 = 光程差

4.薄透镜不产生附加程差 图20-3 s 1 2 从S发出的光线1、2到达S'点光程相等。

利用普通光源获得相干光的基本原理是将一个光源的微小部分(视为点光源或线光源)发出的光设法分成两束,使这两束光在空间经不同路径再会聚。 四.获得相干光的方法 如前所述，普通光源发出的光是不相干的。 利用普通光源获得相干光的基本原理是将一个光源的微小部分(视为点光源或线光源)发出的光设法分成两束,使这两束光在空间经不同路径再会聚。 虽然这个光源的相位不断地变化,但任何相位的改变总是同时发生在这两列光波中,因此,在会聚点上,这两束光的相位差是恒定不变的,从而满足相干条件而成为相干光。 对初相相同的两相干光源 , 有 即 明纹 暗纹 = 光程差

* r1 r2 §20-2 双 缝 干 涉 一.双缝干涉实验 s1 d s s2 L 图20-4 §20-2 双 缝 干 涉 s2 s1 p o 图20-4 L d 一.双缝干涉实验 r2 r1 K=0 K=1 K=2 s * 真空，s在s1s2的中垂线上，于是光源s1和s2 的初相相同，干涉的强弱取决于从s1和s2发出的两光线的光程差： 明纹 暗纹 =r2-r1=

* r1 r2 s1 d s s2 L 图20-4 建立坐标系，将条纹位置用坐标x来表达最方便。 p o 图20-4 L d r2 r1 x K=0 K=-1 K=1 K=2 K=-2 建立坐标系，将条纹位置用坐标x来表达最方便。 r12=L2+(x-d/2)2, r22=L2+(x+d/2)2 考虑到L»d, r1+r22L,于是明暗纹条件可写为 明纹 暗纹 (20-4)

明纹 暗纹 (20-4) 上式中的k为干涉条纹的级次。由上式求得条纹的坐标为 明纹，k =0,1,2,…... (20-4a) k=0,1,2,…依次称为零级、第一级、第二级明纹等等。零级亮纹(中央亮纹)在x=0处。 暗纹，k =0,1,2,…... (20-4b) k=0,1,2,…分别称为第一级、第二级暗纹等等。

s * s2 s1 p o 图20-4 L d r2 r1 x K=0 K=-1 K=1 K=2 K=-2 条纹特征： (1)干涉条纹是平行双缝的直线条纹。中央为零级明纹，上下对称，明暗相间，均匀排列。 (2)相邻亮纹(或暗纹)间的距离为 (20-5)

k=0 k=-1 k=-2 k=1 k=2 (3)如用白光作实验, 则除了中央亮纹仍是白色的外,其余各级条纹形成从中央向外由紫到红排列的彩色条纹—光谱。

* * r1 r2 r1 r01 r2 r02 (4)讨论: s1 d s s2 L 图20-4 =r02-r01+r2-r1 s1 p o 图20-4 L d r2 r1 x K=0 K=-1 K=1 K=2 K=-2 (4)讨论: p r2 r1 s * o 图20-4a s2 s1 L d x r01 r02 =r02-r01+r2-r1 =r02-r01 明纹 暗纹 =

例题20-1 双缝间的距离d=0.25mm,双缝到屏幕的距离L=50cm,用波长4000Å~7000Å的白光照射双缝，求第2级明纹彩色带(第2级光谱)的宽度。 x k=0 k=-1 k=-2 k=1 k=2 明纹坐标为 代入：d=0.25mm, L=500mm, 2=7×10-4mm , 1= 4 ×10-4mm得： x =1.2mm

解 零级处,由s1和s2发出的两光线的光程差为零，由此推知， 原中央明级向下移到原第五级亮纹处。 e 例题20-2 将双缝用厚e、折射率分别为n1=1.4、n2=1.7的透明薄膜盖住，发现原中央明级处被第五级亮纹占据,如图20-5所示。所用波长=6000Å,问：原中央明级移到何处？膜厚e=? 解 零级处,由s1和s2发出的两光线的光程差为零，由此推知， 原中央明级向下移到原第五级亮纹处。 o e n1 n2 图20-5 s1 s2 (零级) (零级) 现在,原中央处被第五级亮纹占据,这表明两光线到达中央处的光程差是5 ： =5 =(n2 -n1)e =10-5m

* 二.洛埃镜 s 图20-6 明纹 暗纹 由于半波损失的存在，洛埃镜的明暗纹恰好与杨氏双缝相反。 E s * 明纹 暗纹 由于半波损失的存在，洛埃镜的明暗纹恰好与杨氏双缝相反。 当光从光疏媒质射到光密媒质并在界面上反射时，反射光有半波损失。 计算光程差时，另加(或减)/2；计算位相差时，另加(或减)。

在阳光照射下，肥皂膜或水面上的油膜上面呈现美丽的彩色图案，这些都是常见的薄膜干涉现象。 §20-3 薄膜干涉 在阳光照射下，肥皂膜或水面上的油膜上面呈现美丽的彩色图案，这些都是常见的薄膜干涉现象。 一.薄膜干涉公式 反射光 在反射光中， ab两束平行光线产生的光程差： s B C D i r A n3 n2 n1 e 图20-7 还须考虑光在薄膜上下表面的反射有无半波损失。 有一个半波损失, 反中就要另加(或减)/2。 透射光

当n2 >n1=n3时,反射光有一个半波损失， 反中就要另加(或减)/2。透射光没有半波损失。 而当n1>n2>n3或n1<n2<n3时, 反射光没有半波损失，总的光程差就是反。透射光有半波损失, 等等。 s B C D i r A n3 n2 n1 e 图20-7 反射光 透射光 此外还可见，在反射光中观察和在透射光中观察，光程差总是相差/2。这就意味着反射光和透射光的明暗条纹恰好相反。这叫条纹互补。这是能量守恒的必然结果。

用入射角i来表示(P115), 则得薄膜干涉公式： 综上所述，薄膜干涉的明、暗纹条件是： + 半 = 明纹 暗纹 (k =0,1,2……) 反射光 透射光 用入射角i来表示(P115), 则得薄膜干涉公式： + 半 = 明纹 暗纹 (k=0,1,2……) 反射光 透射光 (20-6) 式中：n2 —薄膜的折射率；n1 —入射媒质的折射率。i是入射角。

例题20-3 一平板玻璃(n=1.50)上有一层透明油膜(n=1.25)，要使波长=6000Å的光垂直入射无反射，薄膜的最小膜厚e=? 解 凡是求解薄膜问题应先求出两反射光线的光程差。 对垂直入射，i =0，于是 + 半 = 2en2 1.50 e 1.25 无反射意味着反射光出现暗纹，所以 (k=0,1,2,……) n2=1.25(薄膜的折射率);要e最小，k =0 =1200Å=1.2×10-7m

= 例题20-4 阳光垂直照射在空气中的肥皂膜上，膜厚e=3800Å, 折射率n2=1.33 ，问：肥皂膜的正面和背面各呈什么颜色？ 解 正面反射加强，有 7600Å×1.33 = 在可见光范围内(7700Å~3900Å)的解为 k=1,… k=2, =6739Å 红色 k=3, =4043Å 紫色 k=4,...

= 背面透射加强=反射减弱，于是有 在可见光范围内(7700Å~3900Å)的解为 k=1, … k=2, =5054Å 绿色 7600Å×1.33 = 在可见光范围内(7700Å~3900Å)的解为 k=1, … k=2, =5054Å 绿色 k=3, ...

例题20-5 光线以i =30°入射到折射率n2=1.25的空气中的薄膜上。当波长1=6400Å时，反射最大；而当波长2=4000Å时，反射最小。求薄膜的最小厚度。 解 由于是空气中的薄膜，一定有半波损失，故 +半 = 用1时， 用2时， 由上面两式得:

1=6400Å 2=4000Å 4(2k1-1)=5k2 要膜厚最小， 取k1=3，k2=4 于是得 = 6983Å

在阳光下观察照相机镜头呈现紫色就是这个道理。 二.增透膜与高反射膜 为了减少反射引起的光能损失，常在许多光学仪器(如照相机、摄像机等)的镜头上镀一层厚度均匀的透明薄膜(常用氟化镁MgF2, n=1.38),用以增加透射，这个薄膜,就是增透膜。 镀膜时常采用光学厚度： ×5500Å 1.50 e 1.38 ×5500Å 这是5500Å的黄绿光透射增强。 反射光加强的条件是 只有k=2, =4100Å 紫色。 在阳光下观察照相机镜头呈现紫色就是这个道理。

镀膜时, 要适当选择每层膜的厚度, 使反射加强。 与增透膜相反,在另一些光学系统中希望光学表面具有很高的反射率(如He–Ne激光器要求反射99%)，这时可在元件表面多层镀膜以增强反射,这类薄膜称为增反膜或高反射膜。 13~17层 MgF2 (1.38) 1.50 ZnS (2.35) 图20-8 镀膜时, 要适当选择每层膜的厚度, 使反射加强。

由于尖角 很小，空气膜很薄，故劈尖干涉仍可用薄膜公式求解。 劈尖—由两块平板玻璃组成。 §20-4 薄膜的等厚干涉 一.劈尖干涉 由于尖角 很小，空气膜很薄，故劈尖干涉仍可用薄膜公式求解。 劈尖—由两块平板玻璃组成。 当光线垂直入射时，在反射光中观察，有 明纹 暗纹 (k=1,2……) (k=0，1,2……) 式中n2为空气膜的折射率。 1.入射光波长一定时，一条条纹(一个k)，对应 一个厚度，故称为等厚干涉。 图20-9 e  级次愈高(k愈大),对应的膜厚愈大。

l 2.干涉条纹是明暗相间的平行直线条纹。此时叠合处为一暗纹。 3.任意两相邻亮纹(或暗纹)所对应的空气膜厚度差为 ek+1 ek 明纹 暗纹  ek ek+1 l e 图20-10 (20-7)

l l sin =e l sin = (20-7) ek ek+1 图20-10 4.设相邻两亮纹(或暗纹)间的距离为l，则有 明纹 暗纹  ek ek+1 l e 图20-10 4.设相邻两亮纹(或暗纹)间的距离为l，则有 l sin =e (20-8) l sin = 即

例题20-6 制造半导体元件时,常常需要精确地测量硅片上的二氧化硅(SiO2)薄膜的厚度,这时可用化学方法把二氧化硅薄膜一部分腐蚀掉,使它成为劈尖状(见图20-11)。已知SiO2和Si的折射率分别为n2=1.57和n3=3.42,所用波长为=6000Å，观察到劈尖上共出现8条暗纹,且第八条暗纹恰好出现在斜面的最高点。求 SiO2薄膜的厚度。 解 由薄膜公式，得： k=0,1,2,…... 图20-11 SiO2 e 1.57 3.42 Si 取k=7,得 此时尖顶处是亮纹还是暗纹？

例题20-7 在检测某工件表面平整度时,在工件上放一标准平面玻璃,使其间形成一空气劈尖，并观察到弯曲的干涉条纹，如图20-12所示。试根据条纹弯曲方向,判断工件表面上纹路是凹还是凸?并求纹路深度H。 解 若工件表面是平的,等厚条纹应为平行于棱边的直线条纹。由于一条条纹对应 一个厚度，由图20-12的纹路弯曲情况可知， l a 图20-12  工件 标准平面 工件表面的纹路是凹下去的。 由图：H=asin 因 ：lsin =/2, 所以纹路深度 H

显然，取k=2; 于是第二条明纹对应的薄厚为 例题20-8 波长的光垂直入射折射率为n2的劈尖薄膜，n1> n2 ,n2 <n3 ,如图20-13所示 。在反射光中观察，从尖顶算起，第二条明纹对应的薄厚是多少？ n3 n2 n1  图20-13  解 由薄膜公式，有 显然，取k=2; 于是第二条明纹对应的薄厚为

r e 二.牛 顿 环 在一块平玻璃B上放一曲率半径R很大的平凸透镜A,在A、B之间形成一层很薄的劈形空气层—薄膜。 设平行光垂直入射空气薄膜,  在反射光中观察到一组以接触点o为中心的同心圆环(见图20-14),故称为牛顿环。 o A B R 图20-14 e r 明环 暗环 (k=1,2…) (k=0，1,2...) = 式中n2为空气膜的折射率。

r e 明环 暗环 (k=1,2…) (k=0，1,2...) = 图20-14 因R2=r2+(R-e)2=r2+R2-2Re+e2  o A B R 图20-14 e r 因R2=r2+(R-e)2=r2+R2-2Re+e2 由于R»e,上式中e2可略去,因此得 (20-9) (k=1,2…) (k=0,1,2…) 明环半径： 暗环半径：

例题20-9 将牛顿环由空气移入一透明液体中，发现第8明环半径由1.40cm变为1.21cm，求该液体的折射率。 解 由牛顿环的明环公式，得 空气中： 液体中：

r e 例题20-10 牛顿环装置由曲率半径(R1和R2)很大的两个透镜组成，设入射光波长为，求明暗环半径。 解 由薄膜公式，得 = 解 由薄膜公式，得 明环(k=1,2…) 暗环(k=0，1,2...) = 由图20-15知： e 图20-15 o1 o2 R2 R1 ∴明环半径 e1 e2 r 暗环半径

例题20-11 平板玻璃和平凸透镜构成牛顿环,全部浸入n2=1 例题20-11 平板玻璃和平凸透镜构成牛顿环,全部浸入n2=1.60的液体中,凸透镜可向上 移动, 如图所示。用波长=500nm的单色光垂直入射。从上往下观察，看到中心是一个暗斑，求凸透镜顶点距平板玻璃的距离是多少。 解 (k=0,1,2…) 中心处: e=eo, k=0 n2=1.60 n=1.68 n=1.58 凸透镜顶点距平板玻璃的距离: eo e =78.1nm

1 2 §20-5 迈克耳逊干涉仪 时间相干性 一.迈克耳逊干涉仪 §20-5 迈克耳逊干涉仪 时间相干性 一.迈克耳逊干涉仪 M1和M2是两块平面反射镜,其中M2是固定的,M1可作微小移动。G1有一半透明的薄银层,起分光作用。G2起补偿作用。M1′是M1对G1形成的虚像。M2和M1′间形成一空气薄膜。 s G1 G2 图20-16 M1 M2 当M1、M2严格垂直时,M1′和M2之间形成等厚空气膜,可观察到等倾条纹的圆形条纹;当M1、M2不严格垂直时,M1′和M2之间形成空气劈尖,这时可观察到等厚干涉的直线条纹。 1 2 

1 2 每当M1移动/2 ,光线1、2的光程差就改变一个，视场中就会看见一条条纹移过。 如果看见N条条纹移过，则反射镜M1移动的距离是 (20-10)  2 1 s G1 G2 图20-16 M1 M2 迈克耳逊干涉仪有着广泛的用途,如精密测量长度、测媒质的折射率、检查光学元件的质量和测定光谱精细结构等。

例题20-12 把厚度为e、折射率为n=1.40的透明薄膜插入迈克耳逊干涉仪的一臂(一条光路)中，(1)求光线1、2光程差和位相差的改变量；(2)若插入薄膜的过程中，观察到7条条纹移过，所用波长=5890Å，求薄膜的厚度e=? 解 (1)  =2(n-1)e ;  2 1 s G1 G2 图20-16 M1 M2 e n (2) 能否用下式求解： 应由: =2(n-1)e=7  , 得： = 51538Å

显然，要产生相干，两束光的光程差就必须小于一个波列长度：  < 二.时间相干性 前面讲到，由于原子发光的间歇性和随机性，不同原子发出的光是不相干的，同一个原子不同时刻发出的光也是不相干的。要得到相干光，只有将一个原子一次发出的光(一个波列)分为两束再使其相聚。 波列长x = c t 显然，要产生相干，两束光的光程差就必须小于一个波列长度：  <  x—相干长度

问：为什么窗玻璃在阳光下看不见干涉条纹？ 算得相干长度： x =9×10-7m= 9×10-4mm < 问：为什么窗玻璃在阳光下看不见干涉条纹？ =(7900-3900)Å，=6000 Å 算得相干长度： x =9×10-7m= 9×10-4mm 显然，光线在窗玻璃上下反射后的光程差已远超过上述数值，故看不见干涉条纹。 He–Ne激光： =6328Å， =10-7Å 相干长度： x =40km 可见，激光的相干性很好。 *20-6 偏振光的干涉和应用 (自学)

光在传播路径中遇到障碍物时,能绕过障碍物边缘而进入几何阴影传播,并且产生强弱不均的光强分布，这种现象称为光的衍射。 §20-7单缝的夫琅和费衍射 一.光的衍射现象 光在传播路径中遇到障碍物时,能绕过障碍物边缘而进入几何阴影传播,并且产生强弱不均的光强分布，这种现象称为光的衍射。 衍射屏 观察屏 a 图20-17 L L 衍射屏 观察屏 ¢ 图20-18 * S l l ³ 10-3 a * S l

· 二.惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯原理：媒质中波所传到的各点都可看作是发射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就决定新的波阵面。 菲涅耳指出:波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产生干涉。“子波相干叠加”—这就是惠更斯-菲涅耳原理。 Q 设初相为零 图20-19 S(波前) dS  · p dE(p) P点的合振动： P点的合成光强： I = E2

干涉是有限多条光线的相干叠加；衍射是无限多条光线的相干叠加。 衍射的分类 光源 障碍物 观察屏 有限远 无限远 菲涅耳衍射： 无限远 夫琅和费衍射： 观察屏 图20-20 * S 干涉和衍射的主要区别是什么？ 干涉是有限多条光线的相干叠加；衍射是无限多条光线的相干叠加。

平行于主轴的光线都会聚于o点,且没有光程差，故它们相互干涉加强,在o点处形成一平行于缝的明条纹,称为中央明纹。 设平行单色光垂直入射。 三. 单缝的夫琅和费衍射 平行于主轴的光线都会聚于o点,且没有光程差，故它们相互干涉加强,在o点处形成一平行于缝的明条纹,称为中央明纹。 设平行单色光垂直入射。 当衍射角 =0时， 对衍射角 ，两边缘光线A、B的光程差是 =BC=bsin f 图20-21 o p A b B  * S C

b 菲涅耳半波带法 这样，BC是/2的几倍，单缝相应就被分成等宽的几个窄带,这 个窄带称为菲涅耳半波带。  A B b C • • • 相邻波带上对应点发出的平行光线会聚时的光程差都是/2，因而总是相干相消。由此得出结论： 两个相邻波带所发出的光线会聚于屏幕上时全部相干相消。 2  2  2  如果单缝被分成偶数个波带，相邻波带成对相干相消，结果是单缝上发出的光线全部相干相消，屏幕上对应点出现暗纹。如果单缝被分成奇数个波带，相邻波带相干相消的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕上对应点出现亮纹。

综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是: 暗纹 (k=1,2,3,…) 亮纹 (k=1,2,3,…) (20-11) 零级(中央)亮纹 波带数 f 图20-22 o p A b B * S  C 注意： 1.k=1... 2.明暗… 3. ... 4.波带数 直线条纹

1.光强分布 sin 相对光强曲线 1.0 o  b 2 图20-23 中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的2 倍)。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大,分成的波带数越多,而未被抵消的波带面积越小的缘故。

中央亮纹范围：中央两旁两个第一级暗纹间的区域，即 2.中央亮纹宽度 中央亮纹范围：中央两旁两个第一级暗纹间的区域，即 -< bsin < (很小, 有sin  ) 中央亮纹半角宽度：  单缝 透镜 观测屏 f b 图20-24  x 中央亮纹的线宽度： (20-12)

若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是： 例题20-13 波长为的单色光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹对应的衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的波阵面可分为几个半波带。 解 由单缝的暗纹条件： k=1,  =30°,算得：b =2 。 (半)波带数= 2k=2 。 若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是： (半)波带数 =2

解 (1)第三级暗纹位置： bsin =3 很小 sin x  =5000Å 例题20-14 平行单色光垂直入射在缝宽b=0.15mm的单缝上,缝后透镜焦距f =400mm。在焦平面上的屏幕上测得中央明纹两侧的两条第三级暗纹间的距离是d=8mm, 求:(1)入射光的波长; (2)中央明纹的线宽度; (3)第二级暗纹到透镜焦点的距离。 解 (1)第三级暗纹位置： bsin =3 很小 sin o  p f 图20-25 x =5000Å

b=0.15mm, f =400mm, =5000Å (2)中央明纹的线宽度: =2.67mm (3)第二级暗纹到透镜焦点的距离。 第二级暗纹位置： bsin =2 o  p f 图20-25 x 很小 sin 第二级暗纹到焦点的距离: =2.67mm

解 由单缝衍射明纹公式 x  很小 sin 在可见光波波长范围，取 k=3，=6000Å,相应单缝被划分为7个半波带； 例题20-15 一单缝缝宽b=0.6mm，缝后凸透镜的焦距f=40cm。单色平行光垂直照射时，距中心o点x=1.４mm的P点处恰为一明纹中心,求入射光的波长及对应P点单缝被划分为几个半波带。 o  p f 图20-26 x 解 由单缝衍射明纹公式 很小 sin 在可见光波波长范围，取 k=3，=6000Å,相应单缝被划分为7个半波带； k=4，=4667Å,相应单缝被划分为9个半波带。

大量等宽、等间距的平行狭缝的集合—光栅。 实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。 §20-8 光 栅 衍 射 一.光 栅 大量等宽、等间距的平行狭缝的集合—光栅。 实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。 f 图20-27 o E p  b —透光缝宽度； a —不透光部分宽度； d=(a+b) —光栅常数。 光栅分为 透射光栅 反射光栅 b a

每条狭缝有衍射，缝间光线还有干涉，可以证明： 屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强 二.透射光栅 设平行光线垂直入射。 每条狭缝有衍射，缝间光线还有干涉，可以证明： 屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强 b a f 图20-27 o E 对于缝间干涉，两相邻狭缝光线的光程差： p  d dsin (20-13) =k , 主极大(亮纹) ( k=0,±1, ±2,…) 上式称为光栅方程。

光栅方程是衍射光栅合成光强出现亮纹(主极大)的必要条件。 dsin =k , 主极大(亮纹) ( k=0,±1, ±2,…) 1.光栅方程的物理意义： 光栅方程是衍射光栅合成光强出现亮纹(主极大)的必要条件。 屏上合成光强 =单缝衍射光强×缝间干涉光强

图20-28 (a) k= 缝数愈多，亮纹愈细。 亮纹 (主极大) (b) k= (c) k= I -2 -1 1 2 单缝衍射光强 I -2 -1 1 2 单缝衍射光强 bsin /l k= 图20-28 (a)  dsin /l 4 -8 -4 8 多缝干涉光强 亮纹 (主极大) k= (b) 缝数愈多，亮纹愈细。 I N 2 单 4 8 -4 -8 dsin  ( l / d ) 单缝衍射 轮廓线 光栅衍射 光强曲线 k= dsin /l (c)

dsin =k , (光栅)亮纹( k=0,±1, ±2,…) bsin =k , (单缝)暗纹( k=±1, ±2,…) 单 4 8 -4 -8 dsin  ( l / d ) 单缝衍射 轮廓线 光栅衍射 光强曲线 k= (dsin)/l 图20-28 (c) 光栅衍射的光强分布具有下述特点:亮纹又亮又细，中间隔着较宽的暗区(即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线)。这些谱线的亮度受到单缝衍射因子的调制。 2.谱线的缺级 dsin =k , (光栅)亮纹( k=0,±1, ±2,…) bsin =k , (单缝)暗纹( k=±1, ±2,…) 则缺的级次为 (20-14)

例：(1)a=b, d=a+b=2b, 则k=2k =2,4,6,…级缺。 (20-14) 例：(1)a=b, d=a+b=2b, 则k=2k =2,4,6,…级缺。 (2)a=2b, d=a+b=3b, 则k=3k =3,6,9,…级缺。 三.光栅光谱 如果用白光照射光栅,由光栅方程 dsin =k , 亮纹( k=0,±1, ±2,…) 可知,同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不同的角处(中央零级除外),由中央向外按波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带—光栅光谱。这就是光栅的色散特性。 k=0 k=1 k=2 k=3 k=-1 k=-2 k=-3 图20-29

这表明：1 的k1级和2的 k2级同时出现在一个 角处，即1和2的两条谱线发生了重叠，从而造成光谱级的重叠。 四.光谱级的重叠 如果不同的波长1 ，2同时满足： dsin =k11= k22 这表明：1 的k1级和2的 k2级同时出现在一个 角处，即1和2的两条谱线发生了重叠，从而造成光谱级的重叠。 在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。级次愈高，重叠愈复杂。 如：dsin =3×4000Å= 2×6000Å k=0 k=1 k=2 k=3 k=-1 k=-2 k=-3 图20-29

(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。 例题20-16 波长=6000Å的单色平行光垂直照射光栅，发现两相邻的主极大分别出现在sin 1=0.2和sin 2=0.3处，而第4级缺级。求： (1)光栅常数 d=？ (2)最小缝宽 b=？ (3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。 解 (1) dsin 1 =k , dsin 2=(k+1) 于是求得光栅常数 =10=6×10-6m (2)因第4级缺级，由缺级公式： =4， 取k =1(因要b最小) 求得：b=d/4 =1.5×-6m

最大k对应 =90°，于是 kmax=d /=10 缺级： d=6×10-6m b=1.5×10-6m (3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数: 由光栅方程： dsin =k 最大k对应 =90°，于是 kmax=d /=10 缺级： d=6×10-6m b=1.5×10-6m b a f 图20-27 o E p  屏上实际呈现: 0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9共8级，15条亮纹(±10在无穷远处，看不见)。

(2)在此中央明纹宽度内共有几个主极大？ 例题20-17 一光栅每厘米有200条狭缝，透光缝缝宽b=2.5×10-5m,所用透镜焦距f =1m,波长=6000Å的光垂直入射。求：(1)单缝衍射的中央明纹宽度x=？ (2)在此中央明纹宽度内共有几个主极大？ 图20-30 解 (1)由中央明纹宽度公式 = 0.048m (2) d=10-2/200 =510-5m dsin =k , k= 0,1,2,… bsin = k=2 缺级： 故所求的主极大是：3个(k=0 ,1)。

…... 解 图20-31 先求重叠的波长范围,再求重叠区域的宽度。 由公式 : dsin =k11= k22 例题20-18 用白光(=4000Å 7000Å)垂直照射一光栅常数为d=1.2×10-5m的光栅，所用透镜焦距f =0.6m,求第2级光谱与第3级光谱的重叠范围。 k=2 4000Å 7000Å 解 k=3 7000Å 4000Å …... k=0 中央 图20-31 先求重叠的波长范围,再求重叠区域的宽度。 由公式 : dsin =k11= k22 第2级光谱被第3级光谱重叠的波长范围： 6000Å 7000Å 第3级光谱被第2级光谱重叠的波长范围： 4000Å 4667Å

…... 重叠区域的宽度: x=4000Å的第3级与 7000Å的第2级谱线间的距离。 dsin 1=31， 1=4000Å k=3 7000Å 4000Å k=2 …... k=0 中央 图20-31 重叠区域的宽度: x=4000Å的第3级与 7000Å的第2级谱线间的距离。 dsin 1=31， 1=4000Å dsin 2=22， 2=7000Å x p 图20-32 o E f  x 因很小，所以 x/f=tg sin 代入上面两式得 d.x1/f=31， d.x2/f=22 重叠区域的宽度： x=x2-x1=f(22 -31)/d=10mm

(1)在22.46角度处，同时出现的红兰两谱线的级次和波长； (2)如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？ 例题20-19 用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和兰的两种准单色成分的光谱。已知红光波长在0.630.76m范围内，兰光波长在0.430.49m范围内。当光垂直入射时，发现在22.46角度处，红兰两谱线同时出现。求： (1)在22.46角度处，同时出现的红兰两谱线的级次和波长； (2)如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？ 解 (1) dsin22.46 =1.38 m =k 对红光： k=2, r=0.69m 对兰光： k=3, b=0.46m

dsin22.46 =1.38 m =k 对红光： k=2, r=0.69m 对兰光： k=3, b=0.46m (2)如果还有的话，在什么角度还会出现这种复合光谱？ 这种复合光谱: r=0.69m , b=0.46m dsin=krr =kbb 3kr =2kb 第一次重迭: kr =2, kb=3 第二次重迭: kr =4, kb=6 没有第三次重迭, 因为若=90 对红光： kmax=d/0.69=4.8, 取kmax=4 对兰光： kmax=d/0.46=7.2, 取kmax=7

d=3.33m , r=0.69m, b=0.46m 第一次重迭: kr =2, kb=3 第二次重迭: kr =4, kb=6 dsin=4r 算得: =55.9 即在衍射角=55.9处, 红光(的第4级)和兰光(的第6级)将发生第二次重迭。

解 光线斜入射时，光栅方程应写为 d(sin30 - sin )=k , k=0,±1,±2,... 例题20-20 一光栅的光栅常数d=2.1×10-6m，透光缝宽b=0.7×10-6，用波长=5000Å的光、以i=30°的入射角照射，求能看见几级、几条谱线。 解 光线斜入射时，光栅方程应写为 d(sin30 - sin )=k , k=0,±1,±2,... 当 =90° 时, k =-2.1=-2； 当 =-90°时, k =6.3=6 。 缺级： 图20-33 o E f p i  能看见：0 ,±1,±2, 4, 5 共5级，7条谱线。 1 2

*20-9 光学仪器的分辨本领 一.小圆孔的夫琅和费衍射 图20-34 圆孔直径D 相对光强曲线 I  爱里斑 爱里斑的半角宽度：

. . 二.光学成像仪器的分辨本领 几何光学：一个点通过透镜成像于一点。 衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。 图20-35 0.8 1.0 不能分辨 . 图20-35 恰能分辨 . 瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源恰能被分辨。

光学仪器的最小分辨角—两光点对透镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度): 图20-36 S1 S2  透镜L 透镜直径D 分辨率为 对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。现在最大的天文望远镜直径已达5米以上。对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能观察到单个原子的运动图像。

解 只需“=”号对人眼所张的角最小分辩角就行。 由图15-20可知 例题20-21 通常亮度下, 人眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等号“=”号看成是减号“-”？ 解 只需“=”号对人眼所张的角最小分辩角就行。 由图15-20可知  图20-37 人眼 d L 等号 取=5500Å，有 (人眼的最小分辩角) 由上式算得：d =45.5m。

三.光栅的分辨本领 由光栅方程和瑞利判据可以证明,光栅的分辨本领为 是恰能分辨的两条谱线的波长差, 是两条谱线的平均波长。k是谱线的级次，N是光栅的缝数。

dsin30 =2× 6000Å d =24000Å 解 =6×104 光栅宽度： Nd=14.4cm 4000Å的第3级缺级： 例题20-22 设计一平面透射光栅。当用白光照射时，能在30的方向上观察到=6000Å的第二级主极大，并能分辨该处=0.05Å的两条谱线, 但在该方向上观察不到4000Å的第3级主极大。 解 dsin30 =2× 6000Å d =24000Å =6×104 光栅宽度： Nd=14.4cm 4000Å的第3级缺级： , k=1, b=8000Å a=d-b=16000Å

- + §20-10 X射线的衍射 X射线是伦琴(W.C.RÖntgen)在1895年发现的。 图20-38 X射线 k A 图20-38 X射线 X射线不受电场和磁场的影响, 说明它不是带电粒子流。 但能使一些物质发荧光，使照相底片感光，使空气电离，产生一些生物和化学反应。

当时科学家认为: X射线在本质上和可见光一样, 是一种电磁波, 只不过波长极短罢了。 X射线既然是一种电磁波动，就应当具有衍射现象。由于X射线波长极短，当时要验证这一点却很困难。 1912年，劳厄(M.von.Laue)突然想到: 构成晶体的粒子是整齐排列的, 粒子间的距离约为1Å , 它也许就是观察X射线衍射的一个极好的光栅。 果然，劳厄从实验观察到了X射线的衍射。 1913年，布喇格父子又提出了一种观察X射线衍射的方法。

 d 相长条件：2dsin =k, k=1,2,... 布喇格公式。式中d  晶格常数。