工程數學 第6章 一階微分方程

本章內容 6.1 定義 6.2 一階一次微分方程的幾何意義 6.3 微分方程的成因 6.4 一階一次微分方程的解 6.5 分離變數法 6.6 齊次方程 6.7 將方程式約化為齊次型 6.8 線性微分方程 工程數學 第6章 第301頁

本章內容（續） 6.9 可約化為線性形式的微分方程 (伯努利方程) 6.10 正合微分方程 6.11 定理 6.12 可約化為正合方程的微分方程 6.13 一階高次微分方程 6.14 p 可解的微分方程 6.15 y 可解的微分方程 6.16 x 可解的微分方程 6.17 克萊羅方程 工程數學 第6章 第301頁

6.1 定義 (i)微分方程(differential equation) 是指，包含微分項或以微分為係數的方程式。 比如 …(1) 比如 …(1) …(2) …(3) 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 …(4) …(5) …(6) 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 …(7) …(8) 都是微分方程。 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 (ii) 只有包含一個自變數及它的導數的微分方程式， 稱為常微分方程(ordinary differential equation)。 上面列出的式(1) 到式(6) 都是常微分方程。 (iii) 包含二個以上自變數及它們的偏導數的微分方 程式，稱為偏微分方程(partial differential equation)。 上面列出的式(7) 及式(8) 都是偏微分方程。 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 (iv) 微分方程中出現的最高階的導數，也稱為這個 方程的階(order)。 所以，式(1)、式(3) 及式(4) 都是一階的；式(2) 及式(6) 是二階的，而(5) 是三階的。 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 (v) 把微分方程表示為沒有根號或分數的形式時，最 高階導數的次方稱為這個方程的次方 (degree)。 所以，式(1)、式(2)、式(3) 及式(5) 都是一次的。 式(4) 可以化為 所以它是二次的。 式(6) 可以化為 所以它也是二次的。 工程數學 第6章 第302-303頁

6.1 定義 (vi) 微分方程的解。變數之間不包含導數並且滿足 這個微分方程的關係式，稱為這個方程的解。 所以，如果y = f(x)是一個解，把這個函數及它的 導數代入方程式中的y 及相關項，會得到恆等式。 工程數學 第6章 第303頁

6.1 定義 例如，y = c1 cos x + c2 sin x 是微分方程 的解。 所以 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 如果得到的解包含與方程的階數一樣多的可任意給定之常數，我們就稱這個解為這個方程的一般解(general [或complete] solution)。 所以， y = c1 cos x + c2 sin x (包含二個任意常數c1, c2) 是二階微分方程 的一般解。 工程數學 第6章 第302頁

6.1 定義 把一般解中的未定常數取特別的值得到的結果，稱為這個方程的特解(particular solution)。 例如，微分方程 的一般解為 y = c1ex + c1e-x ，而y = ex－e-x或 y = ex是它的一個特解。 如果n 階微分方程的解中未定的常數個數少於n，我們也稱它為特解。 工程數學 第6章 第302頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 假設 …(1) 是一階一次微分方程。 假設 …(1) 是一階一次微分方程。 我們已經知道曲線在某一點的方向可以用切線來決定，因為它的斜率等於 在這點的值。 工程數學 第6章 第303頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 假設A0 (x0, y0)是平面上的任意一點，而 表示式(1) 得到的曲線在點A0的斜率。在A0附近取另一點A1 (x1, y1) ，使得線段A0A1的斜率為m0。如果 是式(1)得到的曲線在點A1的斜率，在A1附近取另一點A2 (x2, y2) ，使得線段A1A2的斜率為m1。如此下去，我們會得到一系列的點。 工程數學 第6章 第303-304頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 如果這些點之間取得夠靠近，可以用來估計微分方程(1)由A0 (x0, y0)這點開始的解C : y =  (x)。C 上的任何一點以及這點的斜率都會滿足式(1)。從任何不在C 上的其他點開始，用上述方法可以用來估計另外一條曲線。如此得到的任何曲線都是微分方程(1) 的特解。而所有這樣得到的曲線形成的集合就是式(1) 的一般解。 工程數學 第6章 第304頁

6.2 一階一次微分方程的幾何意義 工程數學 第6章 第304頁

6.3 微分方程的成因 微分方程是把某些常數消去而形成的。如果要消去二個常數，除了原來的關係式外，必須要多二條方程式，因此會出現二階導數，所以得到的是二階微分方程。為了消去n 個常數，會出現n 階導數，所以會得到n 階微分方程。 工程數學 第6章 第304頁

6.4 一階一次微分方程的解 並不是所有的一階一次微分方程都可以解。只有下列幾種情形(或可以化簡為這些情形)的微分方程，才能用標準的方法解。 (i) 變數可以分離的方程式。 (ii) 齊次方程式。 (iii) 線性方程式。 (iv) 正合方程式。 工程數學 第6章 第307頁

6.5 分離變數法 如果一個一階一次微分方程可以把包含x 及dx 的項移到一邊，而另一邊只包含y 或dy，我們就說這些變數是可分離的。 這種方程的一般形式為f(x) dx + (y) dy = 0 兩邊同時積分會得到 ，這就是方程的一般解，其中c 是任意常數。 工程數學 第6章 第308頁

6.5 分離變數法 註1：所有形式為f1 (x) 2(y) dx + f2 (x) 1(y) dy = 0的方程式都可以兩邊同時除以f2 (x) 2(y) 而變成上述的形式。 所以， 或 f(x) dx + 1(y) dy = 0 。 工程數學 第6章 第308頁

6.5 分離變數法 註2：如果微分方程可以表示為 …(1) 為了分離變數，令ax + by + c = t，則 或 工程數學 第6章 第308頁

6.5 分離變數法 ∴ 式(1) 變成 或 或 兩邊同時積分後，再把t 代回原來的變數。 工程數學 第6章 第308頁

6.6 齊次方程 如果一個微分方程可以表示為 …(1) 其中f1(x ,y)及f2(x ,y)是每一項的x 及y 的總次方和相同之齊次函數，我們就稱這個方程為齊次微分方程。 工程數學 第6章 第311頁

6.6 齊次方程 若f1(x ,y)及f2(x ,y)為r 階的齊次函數，則 及 ∴式(1) 可以化簡為 ...(2) 工程數學 ∴式(1) 可以化簡為 ...(2) 工程數學 第6章 第311頁

6.6 齊次方程 取 ，則 y = vx而導數為 代入式(2) 變成 分離變數， 積分後會得到包含v 及x 的解。把v 用 代回就會得到方程式的解。 工程數學 第6章 第311頁

6.7 將方程式約化為齊次型 有些微分方程可以表示為 …(1) 這類型的方程式可以用下列方法化為齊次的形式： 工程數學 第6章 第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 情形I： 取x = X + h, y = Y + k (h, k 為常數) 則 dx = dX, dy = dY 代入式(1) 變成 …(2) 適當地選取常數h 及k 使得式(2) 是齊次的。 工程數學 第6章 第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 也就是說，h 及k 要滿足ah + bk + c = 0及ah + bk + c= 0 ，則 或 　　　　　　　　　　或 工程數學 第6章 第313頁

6.7 將方程式約化為齊次型 因為 故h 及k 不會是無窮大。 ∴式(2) 變成 這是變數為X 及Y 的齊次方程，可以取Y = vX然後求解。 工程數學 第6章 第313-314頁

6.7 將方程式約化為齊次型 情形II： ， ab－ab≠0而且上述方法不適 用。 令變數m 滿足 ，則a =ma, b = mb 代入式(1) 變成 可以取ax + by = t而求解。 工程數學 第6章 第314頁

6.8 線性微分方程 如果一個方程式中的應變數及它的導數沒有平方或更高次出現，也沒有它們之間相乘的項，我們就說這個微分方程是線性的。 一階微分方程最一般的形式為 …(1) 這裡的P 與Q 是x 的函數或常數。 式(1) 也稱為萊布尼茲線性方程(Leibnitz’s linear equation)。 工程數學 第6章 第316頁

6.8 線性微分方程 要解這種形式的微分方程，先對方程式兩邊同乘 ，得到的是 或 兩邊同時積分，會變成 這就是方程式的解。 工程數學 要解這種形式的微分方程，先對方程式兩邊同乘 ，得到的是 或 兩邊同時積分，會變成 這就是方程式的解。 工程數學 第6章 第316頁

6.8 線性微分方程 註1：在線性微分方程的一般式中， 的係數是1。 如果方程式是 ，其中R、S 及T 是x 註1：在線性微分方程的一般式中， 的係數是1。 如果方程式是 ，其中R、S 及T 是x 的函數或常數。必須要把兩邊同除R 才會得到一般式。 工程數學 第6章 第316頁

6.8 線性微分方程 註2：在解式(1) 時乘的項 稱為積分因子(簡寫為I.F.)，它可以把式(1) 左邊變成單一函數的導數。 也就是說， 而解是　　　　　　　　　　　 。 工程數學 第6章 第316頁

6.8 線性微分方程 註3：有時候要把x 當做應變數而y 為自變數，方程式才會是線性的。這時方程式的形式為 ，其中P 及Q 都是y 的函數或常數。 在這種情形，積分因子要取 而解是　　　　　　　　　　　 。 註4： 。 工程數學 第6章 第316頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) (i) 伯努利方程(Bernoulli’s equation) 是指形式為 …(1) 的微分方程，其中P 及Q 都是x 的函數或常數。這一類的方程式可以用變數變換轉化為線性方程。 把式(1) 兩邊同除yn，會得到 …(2) 工程數學 第6章 第319頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) 令y1-n = z 微分為 或 代入式(2) 變成 這是以z 為變數的線性微分方程。 工程數學 第6章 第319頁

6.9 可約化為線性形式的微分方程(伯努利方程) (ii) 在一般的情形，可以約化為線性方程的形式是 …(1) 其中P 及Q 都是x 的函數或常數。 令f(y) = z則 代入式(1) 變成 ，是線性的。 工程數學 第6章 第319-320頁

6.10 正合微分方程 如果一個微分方程是直接把原函數微分得到，而不經過任何相乘、消去或化簡等動作，我們就稱它是正合微分方程(exact differential equation) 。 所以，方程式 M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 是正合微分方程的條件是，它是直接把方程式u(x, y) = c微分而得到的。這個方程式u(x, y) = c就是它的原函數。換句話說， du = Mdx + Ndy 工程數學 第6章 第322頁

6.11 定理 微分方程Mdx + Ndy = 0是正合的，若且唯若 (i) 必要條件： 如果du = Mdx + Ndy ，則Mdx + Ndy = 0是正合的。 但是 ∴ 工程數學 第6章 第322-323頁

6.11 定理 觀察dx 及dy 的係數可知， ∴ 　　　　　　 而 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 但是 ∴ 這是正合的必要條件。 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 (ii) 充分條件： 令 　　　∴ 常數 而 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 但是 把y 當成常數，兩邊同時對x 積分，會得到 而 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 ∴ 所以Mdx + Ndy是正合微分，而Mdx + Ndy = 0是正合微分方程。 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 註：因為 ∴ 積分會得到 工程數學 第6章 第323頁

6.11 定理 但是 而 f(x) = N中不包含x 的項 所以 Mdx + Ndy = 0 的解為 常數 常數 (N 中不包含x 的項) dy = c。 工程數學 第6章 第323頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 有些非正合微分方程在乘上某一個x 或y 的函數後，就會是正合的。這個函數稱為積分因子。 例如，考慮方程式y dx－x dy = 0 …(1) 這裡M = y 而 N = －x ，所以這個方程式不是正合的。 工程數學 第6章 第325頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (i) 把方程式乘上 ，會得到 或 ，是正合的。 (ii) 把方程式乘上 ，會得到 或 工程數學 第6章 第325頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (iii) 把方程式乘上 ，會得到 或 ，是正合的。 ∴ , 及 都可以是式(1) 的積分因子。 ∴ , 及 都可以是式(1) 的積分因子。 如果一個微分方程可以找到一個積分因子，那它就會有無窮多個積分因子。 工程數學 第6章 第325頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (a) 用觀察法求I.F。在有些問題中，可以利用一些 分析的手法來幫忙找積分因子。下面列出的微分 公式，對於找積分因子很有幫助。 工程數學 第6章 第325頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 工程數學 第6章 第326頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (b) 齊次方程的I.F.。如果Mdx + Ndy = 0是齊次的， 而且Mx + Ny ≠ 0 ，可以取I.F.為 。 註：若Mx + Ny只有一項，用上面提到的I.F.即可。在其他的情形，要先做變數變換y= vx。 工程數學 第6章 第326頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (c) 方程式f1(xy) ydx + f2(xy) xdy = 0的I.F.。如果方式 的形式Mdx + Ndy = 0為f1(xy) ydx + f2(xy) xdy = 0 而且Mx + Ny ≠ 0 I.F.可以取 。 工程數學 第6章 第327頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (d) 方程式Mdx + Ndy = 0為的情形。 (i) 如果 是只包含x 的函數f(x)，則可以取 為I.F.。 (ii) 如果 是只包含y 的函數g(y) ，則可以取 工程數學 第6章 第328頁

6.12 可約化為正合方程的微分方程 (e) 如果方程式為 xbyb(my dx + nx dy) + xcyd(py dx + qx dy) =0， 其中a, b, c, d, m, n, p, q 都是常數，取適當的h 及k 使得方程式乘上xhyk後會是正合的。 xhyk就是I.F.。 工程數學 第6章 第329頁

6.13 一階高次微分方程 截至目前為止，我們討論的微分方程都是一階一次的。 在這一節中，我們要研究一階高次微分方程的一些性質。為了方便起見，我們用p 表示 。 工程數學 第6章 第330頁

6.13 一階高次微分方程 一階n 次微分方程可以寫為 pn + P1pn-1+ P2pn-2+……+Pn = 0 …(1) 其中P1, P2,……, Pn,都是x 及y 的函數。因為是一階的，所以一般解只會有一個未知常數。 在下面討論的各種情形中，我們都是把方程式轉化為解一個或數個一階一次微分方程。 工程數學 第6章 第331頁

6.14 p 可解的微分方程 把式(1) 左邊分解為n 個線性因式 [p –f1(x, y)] [p –f2(x, y)] ,……, [p –fn(x, y)] = 0 這個問題就等價於 p –f1(x, y) = 0, p –f2(x, y) = 0,……,p –fn(x, y) = 0 這些方程式都是一階一次的，所以可以用前幾節討論的方式求解。 工程數學 第6章 第331頁

6.14 p 可解的微分方程 如果這n 個方程式的解為 F1(x, y, c) = 0, F2(x, y, c) = 0,……, Fn(x, y, c) = 0 式(1) 的一般解就是 F1(x, y, c) . F2(x, y, c) ……Fn(x, y, c) = 0 工程數學 第6章 第331頁

6.15 y 可解的微分方程 如果這個方程式可以把y 解出來，也就是用x 及p 表示y，則方程式可以寫成 y = f(x, p) …(1) …(2) 式(2) 是變數為p 及x 的一階微分方程。 工程數學 第6章 第333頁

6.15 y 可解的微分方程 如果式(2) 的解是(x, p, c) = 0 …(3) 如果p 不是那麼容易消去，也可以用式(1) 及式(3) 解x 及y，會得到 x = 1(p, c), y = 2(p, c) 這二個關係式決定的是以p 為參數的方程式解。 工程數學 第6章 第333頁

6.16 x 可解的微分方程 如果方程式可以解出x，也就是用y 及p 表示x。則方程式就可以改寫成 x = f(y, p) …(1) …(2) 式(2) 是p 及y 的一階微分方程。 工程數學 第6章 第335頁

6.16 x 可解的微分方程 如果式(2) 的解是(y, p, c) = 0 …(3) 如果p 不是那麼容易消去，也可以用(1) 及(3) 解x 及y，會得到 x = 1(p, c), y = 2(p, c) 這二個關係式決定的是以p 為參數的方程式解。 工程數學 第6章 第335頁

6.17 克萊羅方程 可以表示為 y = px + f(p) …(1) 的微分方程稱為克萊羅方程(Clairaut’s equation)。 　　　　　　　　　　　 或 消去[x + f(p)]，剩下的是 。 工程數學 第6章 第337頁

6.17 克萊羅方程 積分後會得到 p = c 把 p = c 代入式(1)，得到的是解 p = cx + f(c) 工程數學 第6章 第337頁