第二部分 微积分问题的计算机求解 《数学分析》实验课

前言 Newton 和 Leibnitz 创立的微积分学是很多科学科学的基础，本课程将借助 MATLAB 语言的符号运算工具箱可以直接对微积分学中最常见的问题，如单变量与多变量微积分、极限、级数求和、Taylor幂级数展开、Fourier 级数展开等问题直接求解。 《数学分析》实验课

目录 Matlab符号工具箱简介 极限问题 导数 Taylor级数展开 级数和 积分问题 Fourier级数展开 《数学分析》实验课

Matlab符号工具箱简介 Matlab系统本无符号运算功能，符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）则扩充了Matlab这方面的功能，它是由Maple软件的核心来完成的 这个工具箱在Matlab安装的Toolbox/Symbolic子文件夹下 《数学分析》实验课

符号变量与符号表达式 新的数据类型----符号变量 1. 用sym函数来定义一个符号或符号表达式 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(‘a’)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。 《数学分析》实验课

2. syms函数定义多个符号 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 … varn 《数学分析》实验课

3.用findsym来确认符号表达式中的符号 例： 《数学分析》实验课

Matlab提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 4. 表达式化简 Matlab提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 《数学分析》实验课

极限问题 limit函数的调用格式为： limit(f,x,a) limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为： limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left') 缺省为符号变量->0时函数f的极限 《数学分析》实验课

例： 《数学分析》实验课

*多变量函数的极限 《数学分析》实验课

求出二元函数极限值 《数学分析》实验课

导数 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n) diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1 《数学分析》实验课

例： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x)); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。%按隐函数求导公式求z对x的偏导数 《数学分析》实验课

例：在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。 命令如下： x=sym('x'); f=diff(y); %对曲线求导数 g=f-4; solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4 《数学分析》实验课

Taylor级数展开 单变量函数的 Taylor级数展开 《数学分析》实验课

f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3); 例：求函数在指定点的泰勒展开式。 命令如下： x=sym('x'); f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3); taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5 taylor(f2,6) %求(2)。 《数学分析》实验课

级数和 级数符号求和函数symsum，调用格式为： symsum(a,n,n0,nn) 《数学分析》实验课

s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求s1 例：求级数之和。 命令如下： n=sym('n'); s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为n s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n不能省略。 s4=symsum(n^2,1,100) %求s4。计算有限级数的和 《数学分析》实验课

积分问题 1.不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为： int(f,x) int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。 《数学分析》实验课

g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简 例：求不定积分。 命令如下： x=sym('x'); f=(3-x^2)^3; int(f) %求不定积分(1) f=sqrt(x^3+x^4); int(f) %求不定积分(2) g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简 《数学分析》实验课

2.符号函数的定积分 定积分在实际工作中有广泛的应用。在Matlab中，定积分的计算使用函数： int(f,x,a,b) 当不定积分无解析表达式时，可用double计算其定积分数值 《数学分析》实验课

int(f,-inf,inf) %求定积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t)) %求定积分(3) 例：求定积分。 命令如下： x=sym('x');t=sym('t'); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x^2); int(f,-inf,inf) %求定积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t)) %求定积分(3) f=x^3/(x-1)^100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4) double(I) %将上述符号结果转换为数值 《数学分析》实验课

Fourier级数展开 《数学分析》实验课

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