第4章 数值积分与数值微分 4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复合求积公式 4.4 龙贝格求积公式 第4章 数值积分与数值微分 4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复合求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 自适应积分方法 4.6 高斯求积公式 4.7 多重积分 4.8 数值微分

4.1 数值积分概论 4.1.1 数值积分的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分 只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱 4.1 数值积分概论 4.1.1 数值积分的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分 只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱 布尼兹(Newton-Leibniz)公式： 但对于下列情形：

（1）被积函数，诸如 等，找不到用 初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的 表达式非常复杂，计算困难； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表 时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点ξ， 成立

就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 (图4-1). 图4-1

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值. 将 称为区间 上的平均高度. 这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便 获得一种数值求积方法. 用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度 的近似值，这样导出的求积公式 （1.1） 是梯形公式(几何意义参看图4-2).

图4-2 用区间中点 的“高度” 近似地取代平均 高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式) （1.2）

一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ， 然后用 加权平均得到平均高度 的近似值， 这样构造出的求积公式具有下列形式： （1.3） 式中 称为求积节点； 称为求积系数，亦称伴随节点 的权. 权 仅仅与节点 的选取有关，而不依赖于被积函数 的具体形式.

这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积 分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼 兹公式需要寻求原函数的困难.

4.1.2 代数精度的概念 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公 式对尽可能多的函数准确成立. 定义1 4.1.2 代数精度的概念 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公 式对尽可能多的函数准确成立. 定义1 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式 均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立， 则称该求积公式具有 次代数精度. 梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.

欲使求积公式(1.3)具有 次代数精度，则只要令它 对 都准确成立，就得到 （1.3） （1.4）

如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等 距分点作为节点，这时取 ，求解方程组(1.4)即可确 定求积系数 ，而使求积公式(1.3)至少具有 次代数精度. 构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题. （1.3）

例如 时，取 ，求积公式为 在线性方程组（1.4）中令 ，则得 解得 于是得 这就是梯形公式，表明利用线性方程组（1.4）推出的求积 公式，与用通过两点 与 的直线近似 曲线 得到的结果是一致的.

当 时（1.4）式的第3个式子不成立，因为 所以梯形公式（1.1）的代数精度为1. 在（1.4）中如果节点和系数都不确定，那么（1.4）就 是关于 及 的 个参数的非线性方程 组，该方程组在 时求解是很困难的. 但在 和 时还是可以通过求解（1.4）得到相 应的求积公式的.

如 ，此时求积公式为 其中， 及 为待定参数. 根据代数精度的定义可令 ，由（1.4）知 于是 所得到的就是（1.2）式的中矩形公式.

再令 ，代入（1.4）的第3式有 说明公式（1.2）对 不精确成立，故它的代数精度 为1. 方程组（1.4）是根据形如（1.3）式的求积公式得到的， 按照代数精度的定义，如果求积公式中除了 还有 在某些节点上的值，也同样可得到相应的求积公式.

例1 给定形如 的 求积公式，试确定系数 ，使公式具有尽可能高的 代数精度. 解 根据题意可令 分别代入求积公式使它精 确成立 当 时，得 当 时，得

当 时，得 解得 ,于是得 当 时， 而上式右端为 ，故公 式对 不精确成立，其代数精度为2.

4.1.3 插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值， 作插值函数 . 取 作为积分 的近似值， 这样构造出的求积公式 4.1.3 插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值， 作插值函数 . 取 作为积分 的近似值， 这样构造出的求积公式 （1.5） 称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出

（1.6） 求积公式的值余项 （1.7） 其中 式中ξ依赖于 ，

当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是 函数本身， 至少具有 次代数精度. 所以这时插值型求积公式 余项 为零， 反之，如果求积公式(1.5)至少具有 次代数精度，则 它必定是插值型的. 事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数 应准确 成立，即有 （1.5）

注意到 上式右端实际上即等于 ，因而 成立. 这样，有 定理1 形如(1.5)的求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的. （1.5）

4.1.4 求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精度为 ，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如 （1.8） 4.1.4 求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精度为 ，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如 （1.8） 其中 为不依赖于 的待定参数, 结果表明当 是次数小于等于 的多项式时，由于 ，故此时 ，即求积公式(1.3)精确成立. 而当 时， (1.8)的右端 故可求得

（1.9） 代入余项(1.8)中可以得到更细致的余项表达式. 梯形公式(1.1)的代数精度为1，可以证明它的余项表达式为 其中 于是得到梯形公式(1.1)的余项为 （1.10）

对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明 其中 于是得到梯形公式(1.1)的余项为 （1.11）

例2 求例1中求积公式 的余项 解 由于此求积公式的代数精度为2，故余项表达式为 . 令 ，得 ，于是有 故得

4.1.5 求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式(1.3)中，若 其中 则称求积公式(1.3)是收敛的. （1.3） 4.1.5 求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式(1.3)中，若 （1.3） 其中 则称求积公式(1.3)是收敛的. 在求积公式(1.3)中，由于计算 可能产生误差 ， 实际得到将是 ， 即 记

如果对任给小正数 只要误差 充分小就有 （1.12） 则表明求积公式(1.3)计算是稳定的， 由此给出: 定义3 对任给 若 只要 （1.3） 就有(1.12)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.

定理2 若求积公式(1.3)中系数 则此求积公式是稳定的. 证明 对任给 取 若对 （1.3） 都有 则当 时有

由定义3 ，知求积公式(1.3)是稳定的. 定理2表明，只要求积系数 ，就能保证计算的稳 定性. （1.3）

4.2 牛顿-柯特斯公式 4.2.1 柯特斯系数与辛普森公式 设将积分区间 划分为 等分， 步长 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.2.1 柯特斯系数与辛普森公式 设将积分区间 划分为 等分， 步长 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 （1.6） （2.1） 称为牛顿-柯特斯公式， 式中 称为柯特斯系数. 按(1.6)式，引进变换 则利用等距节点的 插值公式，有

（2.2） 当 时， 这时的求积公式就是梯形公式

当 时，按(2.2)式， 柯特斯系数为 （2.2） 相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式 （2.3）

的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，其形式是 （2.4） 这里 按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.

从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现 负值， 于是有 特别地，假定 且 则有

它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算 不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度  由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 本节讨论代数精度的进一步提高问题. 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度  由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 本节讨论代数精度的进一步提高问题. 先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因 此至少具有二次代数精度. （2.3） 用 进行检验， 按辛普森公式计算得

另一方面，直接求积得 这时有 ，即辛普森公式对次数不超过三次的多项式 均能准确成立，而它对 通常是不准确的，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度. 定理3 当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少有 次代数精度. （2.1）

证明 我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对  的余项为零. 由于这里 所以按余项公式有 引进变换 并注意到 有 再令 若 为偶数，则 为整数， 进一步有

因为被积函数 为奇函数，所以

4.2.3 辛普森公式的余项 对牛顿-柯特斯求积公式，通常只使用 时的 三个公式， 时为梯形公式，余项为 为辛普森公式 4.2.3 辛普森公式的余项 对牛顿-柯特斯求积公式，通常只使用 时的 三个公式， 时为梯形公式，余项为 为辛普森公式 代数精度为3，可以证明余项表达式为 其中 由(1.9)及(2.3)可得

从而可得辛普森公式的余项为 （2.5） 为柯特斯公式 代数精度为5，可以证明余项 （2.6）

4.3 复合求积公式 4.3.1 复合梯形公式 复合求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通 4.3 复合求积公式 复合求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通 常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提 高精度. （1.1） 4.3.1 复合梯形公式 将区间 划分为 等分，分点 在每个子区间 上采用梯 形公式(1.1)，则得

（3.1） 记 （3.2） 称为复合梯形公式.

由(1.10) ，余项 由于 , 且 （2.5） 所以 使 于是复合梯形公式余项为

（3.3） 误差是 阶， 且当 时有 即复合梯形公式是收敛的. 事实上只要设 ，就可以得到收敛性，因 为只要将 改写为

当 时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分 所以复化梯形公式(3.2)收敛. 此外， 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是 稳定的.

4.3.2 复合辛普森求积公式 将区间 分为 等分，在每个子区间 上采用 辛普森公式(2.3)，若记 ，则得 （3.4） （2.3） 记 4.3.2 复合辛普森求积公式 将区间 分为 等分，在每个子区间 上采用 辛普森公式(2.3)，若记 ，则得 （2.3） （3.4） 记 （3.5） 称为复合辛普森求积公式.

由(2.5)，其余项 于是当 时， 与复合梯形公式相似有 （3.6） 误差阶为 ，显然是收敛的. 实际上，只要 就有 此外，由于 中求积系数均为正数，故知复合辛普森 公式计算稳定.

例3 对于函数 ，给出 的函数表(见表4-2)，试用复合梯形公式(3.2)及复合辛普森公式(3.5)计算积分 并估计误差. 解 将积分区间 划分为8等分， 应用复化梯形法求得

而如果将 分为4等分，应用复化辛普森法有 以上得到的两个结果 与 ，都需要提供9个点上的 函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大. 同积分的准确值 比较，复合梯形法的结果 只有两位有效数字，而复合辛普森法的结果 却有6位有效数字. 接下来看误差估计 ，由于 所以有

（3.6） 于是 由(3.3)得复合梯形公式误差 （3.3） 对复合辛普森公式，由(3.6)得

例4 计算积分 ，若用复合梯形公，问区间 应分多少等份才能使误差不超过 ，若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度，区间 应分多少等份？ 解 本题只要根据 及 的余项公式即可求得其截断误差应满足的精度. 由于 ，由 复合梯形公式的余项公式得误差的上界为

因此有 ，可取 ，即将区间 213等份，即可使误差不超过 若采用复合辛普森公式计算积分，则由余项公式，要满 足精度要求，必须使 由此得 可取 ，即用 的复合辛普森公式计算即可达到精度要求，此时区间 实际上应分为8等份.

从这个例子可以看出，为达到同样的精度，复合辛普森 公式只需计算9个函数值，而复合梯形公式则需214个函数值， 工作量相差近24倍.

4.4 龙贝格求积公式 4.4.1 梯形法的递推化 复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不 够可将步长逐次分半. 4.4 龙贝格求积公式 4.4.1 梯形法的递推化 复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不 够可将步长逐次分半. 设将区间 分为 等分，共有 个分点， 如果将求积区间再二分一次，则分点增至 个， 我们将二分前后两个积分值联系起来加以考察.

每个子区间 经过二分只增加了一个分点 用复合梯形公式求得该子区间上的积分值为 这里 代表二分前的步长. 将每个子区间上的积分值相加得

从而利用式(3.2)可导出下列递推公式 （4.1） （3.2）

例5 计算积分值 解 先对整个区间 使用梯形公式.对于函数 定义它在 的值 而 由梯形公式 将区间二等分，求出中点的函数值

利用递推公式(4.1)，有 进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值 再利用式(4.1)，有 这样不断二分下去，计算结果见下表.

它表明用复化梯形公式计算积分 要达到7位有效数 字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量 很大.

4.4.2 外推技巧 由梯形公式出发，将区间 逐次二分可提高求积 公式的精度，当 分为 等份时，有 若记 当区间 分为 等份时，则有 并且有 4.4.2 外推技巧 由梯形公式出发，将区间 逐次二分可提高求积 公式的精度，当 分为 等份时，有 若记 当区间 分为 等份时，则有 并且有 梯形公式余项可展成级数形式，即

定理4 设 则有 （4.2） 其中系数 与 无关. 定理4表明 是 阶，在(4.2)中，若用 代替 ，有 （4.3） 若用4乘(4.3)式，减去(4.2)式再除3并记之为 则有

（4.4） 这里 是与 无关的系数. 用 近似积分值 ，其误差阶为 ，这比复合梯 形公式的误差阶 提高了，容易看到 ，即将 分为 等份得到的复合辛普森公式. 这种将计算 的近似值的误差阶由 提高到 的方法称为外推算法，也称为(Richardson)外推算法. 只要真值与近似值的误差能表示成 的幂级数，如(4.2)， 都可以使用外推算法提高精度.

与上述做法类似，从(4.4)出发，当 再增加一倍，即 减少一半时，有 （4.5） 用16乘(4.5)式再减去(4.4)式后除以15，将所得的式子记 为 ，则有 （4.6） 它就是把区间 分为 个子区间的复合柯特斯公式， ，它的精度为

这个公式相当于由辛普森法二分前后的两个积分值 与 组合得到的，即 （4.7） 从(4.6)出发，利用外推技巧还可得到逼近阶为 的算法公式 （4.8） 如此继续下去就可得到龙贝格(Romberg)算法.

4.4.3 龙贝格算法 将上述外推技巧得到的公式(4.4)、(4.6)、(4.8)重新 引入记号 从而可将上述公式写成统一形式 （4.9） 4.4.3 龙贝格算法 将上述外推技巧得到的公式(4.4)、(4.6)、(4.8)重新 引入记号 从而可将上述公式写成统一形式 （4.9） 经过 次加速后，余项便取下列形式： （4.10） 上述处理方法通常称为理查森外推加速方法.

设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示 序列 的 次加速值，则依递推公式(4.9)可得 （4.11） 公式(4.11)也称为龙贝格求积算法.

计算过程：  (1) 取 求 令 ( 记区间 的二分次数). (2) 求梯形值 即按递推公式(4.1)计算 (3) 求加速值，按公式(4.12)逐个求出T表(见表4-4)的 第 行其余各元素 （4.1） (4) 若 (预先给定的精度)，则终止计算， 并取 否则令 转(2)继续计算.

可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即 对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算， 只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复合辛普森公式计算.

例6 用龙贝格算法计算积分 解 在 上仅是一次连续可微， 用龙贝格算法计算结果见表4-5.

从表中看到用龙贝格算到 的精度与辛普森求积 精度相当. 这里 的精确值为

4.5 自适应积分方法 复合求积方法是用于被积函数变化不太大的积分. 如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值 4.5 自适应积分方法 复合求积方法是用于被积函数变化不太大的积分. 如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值 变化剧烈，另一部分变化平缓，这时统一将区间等份用复合 求积公式计算工作量就会很大. 要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分，而平 缓部分则可用大步长，即针对被积函数在区间上不同情形采 用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算的工作量尽 可能小.

针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数 变化的剧烈程度确定相应的步长. 这种方法称为自适应积分方法. 以常用的复合辛普森公式为例说明方法的基本思想.

设给定精度要求 ，计算积分 的近似值.先取步长 ，应用辛普森公式有 （5.1） 其中 若把区间 对分，步长 ，在每个小区间 上用辛普森公式，则得 （5.2）

其中 实际上(5.2)即为 （5.2）’ 与(5.1)比较，若 在 上变化不大，可假定 从而可得

与(5.2)比较，则得 这里 .如果有 则可期望得到 此时可取 作为 的近似，则可达到给定 的误差精度 . 若不等式(5.3)不成立，则应分别对子区间 及 再用辛普森公式，此时步长 ,得到

及 . 只要分别考察 及 是否成立. 对满足要求的区间不再细分，对不满足要求的还要继续 上述过程，直到满足要求为止，最后还要应用龙贝格法则求 出相应区间积分的近似值.

例7 计算积分 若用复合辛普森法(3.5)，计算结果见表4-6.（此处 即为公式中的 ，积分精确值为4） 计算到 为止，此时 的近似值 ，若再用龙贝格法则得到 整个计算是将 做32等分，即需要计算33个 的值.

现在若用自适应积分法，当 时有 由于 大于允许误差，故要对 及 两区间再用 做积分. 先计算 的积分 由于

小于允许误差0.01，故在 区间的积分值为 下面再计算子区间 的积分，其中 而对 可求得 由于

大于允许误差0.01，因此还要分别计算 及 的积分. 当 时可求得 而 小于允许误差0.005，故可得 的积分近似 而对区间 ，其误差 不小 于0.005，故还要分别计算 及 的积分，

其中 ，当 可求得 且 小于允许误差0.0025，故有 最后子区间 的积分可检验出它的误差小于0.0025， 且可得

将以上各区间的积分近似值相加可得 它一共只需计算17个 的值.

4.6 高斯求积公式 4.6.1 一般理论 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次. 4.6 高斯求积公式 4.6.1 一般理论 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次. 如果适当选取 有可能使求积公式 具有 次代数精度.

例8 求积公式 （6.1） 试确定节点 及 和系数 ，使其具有近可能高的代数精度. 解 令公式(6.1)对于 准确成立，得 （6.2）

用第4式减去第2式乘 ，得 由此得 用(6.2)式中的第3式减去 乘(6.2)中的第2式有 用前一式代入则得 由此得出 与 异号，即 ，从而有 于是可取 .

再由(6.2)式的第1式得 ，于是有 （6.3） 当 时，(6.3)式两端分别为 及 ，(6.3)式对 不精确成立，故公式(6.3)的代数精度为3. 实际上，形如(6.1)的求积公式其代数精度不可能超过 3，因为当 时，设 这是4次多项式，代入(6.12)左端有 ，而右端为0. 表明两个节点的求积公式的代数精度为3. 一般 节点的求积公式的代数精度最高为 次.

下面研究带权积分 这里 为权函数，类似(1.3)，求积公式为 （6.4） （1.3） 为不依赖于 的求积系数. 为求积节点，可适当选取 及 使5.1）具有 次代数精度.

定义4 如果求积公式(6.4)具有 次代数精度，则称其节点 为高斯点，相应公式(6.4)称为高斯求积公式. 根据定义要使(6.4)具有 次代数精度，只要对 令(6.4)精确成立， 即 （5.1） （6.5） 当给定权函数 ，求出右端积分，则可由(6.5)解得

(6.4)是关于 及 的非线性方程组，当 时求解非常困难. 如果事先确定了节点 ，则可以利用(6.5)求解 .此时(6.5)是关于 的线性方程组. 下面讨论如何选取节点 才能使求积公式(6.4)具有 次代数精度.

设 上的 个节点 的拉格朗日插值多项式为 其中 则

用 乘上式并从 到 积分，则得 其中 余项

显然当 取为 时有 ，此时有 即求积公式至少具有 次代数精度. 现在考察如何选取节点 才能使求积公式精度提高到 次. 此时要求 为 次多项式时 ，而当 时， 为 次多项式.

若要求对 ，积分 即相当与要求 与每个 带权 在 上 正交. 也就是以节点 为零点的 次多项式 是 上带权 正交的多项式，故有以下定理.

定理5 插值型求积公式(6.4)的节点 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 （6.4） 与任何次数不超过 的多项式 带权 正交， 即 （6.7） 证明 必要性. 设 则

是高斯点， 因此，如果 精确成立， 则求积公式(6.4)对于 即有 （6.4） 因 故(6.7)成立. 充分性. 对于 用 除 ， （6.7） 记商为 ，余式为 ，即 ， 其中 . 由(6.7)可得 （6.8）

由于求积公式(6.4)是插值型的，它对于 是精确的， 即 （6.4） 再注意到 知 从而由(6.8)有 （6.8）

可见求积公式(6.4)对一切次数不超过 的多项式均精 确成立. 因此， 为高斯点. 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的 零点就是求积公式(6.4)的高斯点. 有了求积节点 ，再利用 对 成立， 的线性方程. 则得到一组关于求积系数 解此方程则得

也可直接由 的插值多项式求出求积系数

例9 确定求积公式 的系数 及节点 和 ，使它具有最高的代数精度. 解 具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为关于权函数 的正交多项式零点 及 , 设 由正交性知 与1及 带权正交，即得 于是得

由此解得 即 令 ，则得 由于两个节点的高斯求积公式具有3次代数精度，故公式对 精确成立，即 当 时 当 时 由此解出

下面讨论高斯求积公式(6.4)的余项. 利用 在节点 的埃尔米特插值 即 （6.4） 于是

两端乘 ，并由 到 积分，则得 （6.9） 其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 由于 由积分中值定理得(6.4)的余项为 （6.10） （6.4） 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：

（6.4） 定理6 高斯求积公式(6.4)的求积系数 全是正的. 证明 考察 它是 次多项式， 故高斯求积 公式(6.4)对于它能准确成立，即有 因而 是 次多项式， 注意到 上式右端实际上即等于 从而有

（6.4） 定理得证. 由本定理及定理2，则得 推论 高斯求积公式(6.4)是稳定的. 定理7 设 则高斯求积公式(6.4)收敛，即

4.6.2 高斯-勒让德求积公式 在高斯求积公式(6.4)中， 区间为 若取权函数 则得公式 （6.11） （6.4） 4.6.2 高斯-勒让德求积公式 在高斯求积公式(6.4)中， 若取权函数 区间为 则得公式 （6.4） （6.11） 由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此， 勒让德多项式 的零点就是求积公式(6.11)的高斯点. 形如(6.11)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.

若取 的零点 做节点构造求积公式 令它对 准确成立，即可定出 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为 是中矩形公式. 再取 的两个零点 构造求积公式

在例8中已经得到 ，因此求积公式为 三点高斯-勒让德公式的形式是 表4-7列出高斯-勒让德求积公式(6.11)的节点和系数.

由(6.10)式，公式(6.11)的余项为 （6.10） 这里 是最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7) （6.11）

得 （6.12） 当 时，有 它比区间 上辛普森公式的余项 还小，且比辛普森公式少算一个函数值. 当积分区间不是 ，而是一般的区间 时， 只要做变换

可将 化为 , 这时 （6.13） 对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.

例10 用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算 解 先将区间 化为 ，由(6.13)有 （6.13） 根据表4-7中 的节点及系数值可求得

4.6.3 高斯-切比雪夫求积公式 若 且取权函数 则所建立的高斯公式为 （6.14） 称为高斯-切比雪夫求积公式.

由于区间 上关于权函数 的正交多项式是 切比雪夫多项式，因此求积公式(5.12)的高斯点是 次切 比雪夫多项式的零点，即为 (6.14)的系数 使用时将 个节点公式改为 个节点， 于是高斯-切比雪夫求积公式写成 （6.15）

由(6.10)，余项 （6.16） 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分. （6.10）

例11 用5点( )的高斯-切比雪夫求积公式计算积分 解 当 时由公式(6.14) 可得 这里 由(6.16)式，误差 （6.16）

4.6.4 无穷区间的高斯型求积公式 区间为 ，权函数 的正交多项式为拉 盖尔多项式 对应的高斯型求积公式 （6.17） 4.6.4 无穷区间的高斯型求积公式 区间为 ，权函数 的正交多项式为拉 盖尔多项式 对应的高斯型求积公式 （6.17） 称为高斯-拉盖尔积公式，其节点 为 次拉 盖尔多项式的零点，系数为 （6.18）

余项为 （6.19） 其节点系数可见表4-8

例12 用高斯-拉盖尔求积公式计算 的近似值. 解 取 ，查表得 . 故 若取 ，可得

若取 ，可得 而准确值 ，它表明取 的求积公式已相当精确.

区间为 ，权函数 的正交多项式为埃 尔米特多项式 对应的高斯型求积公式 （6.20） 称为高斯-埃尔米特求积公式，其节点 为 次埃尔米特多项式的零点，求积系数为 （6.21） 高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数可见表4-9.

公式(6.20)的余项为 （6.22）

例13 用两个节点的高斯-埃尔米特求积公式（6.20)计 算积分 解 先求节点 ，由 ，其零点为 ，由(6.21)可求得 于是 高斯型求积公式的代数精度为3，故对 求积公式精 确成立，从而得

4.7 多 重 积 分 前面各节讨论的方法可用于计算多重积分. 考虑二重积分 它是曲面 与平面区域 围成的体积，对于矩形区域 4.7 多 重 积 分 前面各节讨论的方法可用于计算多重积分. 考虑二重积分 它是曲面 与平面区域 围成的体积，对于矩形区域 ，可将它写成累次积分 （7.1） 若用复合辛普森公式，可分别将 分为 等份， 步长 ，先对积分

应用复合辛普森公式(3.5)，令 则 从而得 对每个积分再分别用复合辛普森公式(3.5)即可求出积分值.

例14 用复合辛普森公式求二重积分 的近似值. 解 取 ，即 ，得

此积分的真值是 （保留小数后10位）. 对二重积分(7.1)也可用其他求积公式计算，特别是为 了减小函数值计算可采用高斯求积公式.

例15 用 的高斯求积公式求例14中的二重积分. 解 先将区域 变换为 区域 ，其中 或等价于 于是有 对于 取 时的高斯求积公式节点及系数，即

用 的高斯求积公式计算积分 可得 这里只需计算9个函数值.而例14中需求15个函数值， 这里的精度也比例14高，达到8位有效数字.

对于非矩形区域的二重积分，只要化为累次积分，可 也类似矩形域情形求得其近似值，如二重积分 用辛普森公式可转化为 其中 .然后再对每个积分使用辛普森公 式，则可求得积分 的近似值.

4.8 数 值 微 分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的 导数值.

4.8.1 中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得 到几种数值微分公式 （8.1） 其中 为一增量，称为步长.

后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种 方法的算术平均. 但它的误差阶却由 提高到 较为常用的是中点公式. 为利用中点公式 计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要 进行误差分析. 分别将 在 处做泰勒展开有

代入中点公式得 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确. 且 （8.2） 其中

再考察舍入误差. 按中点公式，当 很小时，因 与 很接 近，直接相减会造成有效数字的严重损失. 因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的. 例如，用中点公式求 在 处的一阶导数 取4位数字计算. 结果见表4-10(导数的准确值 ).

从表4-10中看到 的逼近效果最好，如果进一步 缩小步长，则逼近效果反而越差. 这是因为当 及 分别有差入误差 及 若令 则计算 的舍入误差上界为

它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的. 用中点公式(8.1)计算 的误差上界为 要使误差 最小，步长 应使 ，由 可得 如果 ，有 ；如果 ，有 .由此得出 时 最小.

当 时， 假定 ，则 .与表4-10基 本相符.

4.8.2 插值型的求导公式 对于列表函数 运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似. 由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 4.8.2 插值型的求导公式 对于列表函数 运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似. 由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式 （8.3） 统称插值型的求导公式.

即使 与 的值相差不多， 与导数的真值 仍然可能差别很大. 导数的近似值 因而在使用求导公式(8.3)时应特别注意误差的分析. 依据插值余项定理，求导公式(8.3)的余项为 （8.3） 式中

由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ， 误差是无法预估的. 但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中 因式 变为零，这时余项公式为 （8.4） 下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的.

1. 两点公式 设已给出两个节点 上的函数值 做线性插值 对上式两端求导，记 ，有 于是有下列求导公式：

利用余项公式(8.4)知，带余项的两点公式是 （8.4）

2. 三点公式 设已给出三个节点 上的函数值， 做二次插值 令 上式可表示为

两端对 求导，有 （8.5） 式中撇号（′）表示对变量 求导数.

分别取 得到三种三点公式： 带余项的三点求导公式为 （8.6）

其中的公式(8.6)是中点公式. 它比其余两个三点公式少用 了一个函数值. 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立 高阶数值微分公式： 例如，将式(8.5)再对 求导一次，有

于是有 而带余项的二阶三点公式如下： （8.7）

4.8.3 三次样条求导 三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且 导数值也很接近，并有 （8.8） 因此利用三次样条函数 接得到 4.8.3 三次样条求导 三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且 导数值也很接近，并有 （8.8） 因此利用三次样条函数 接得到 根据第2章(6.8)，(6.9)可求得

这里 为一阶均差. 其误差由(8.8)可得 （8.8）

4.8.4 数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时 对 在点 做泰勒级数展开有 其中 与 无关. 利用理查森外推对 逐次分半，若记 4.8.4 数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时 对 在点 做泰勒级数展开有 其中 与 无关. 利用理查森外推对 逐次分半，若记 则有

（8.9） 公式(8.9)的计算过程见表4-11，表中数字为外推步数.

根据理查森外推方法，(8.9)的误差为 由此看出当 较大时，计算是很精确的. 考虑到舍入误差，一般 不能取太大. 

例16 用外推法计算  在 的导数. 解 令 当 时，由外推法表4-11可算得

的精确值为 可见当 时用中点 微分公式只有3位有效数字，外推一次达到5位有效数字， 外推两次达到9位有效数字.

定积分的MATLAB符号计算

数值积分MATLAB实现