第二章　函数、导数及其应用 第十六节　定积分及其简单应用

考 纲 要 求 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．

课 前 自 修 知识梳理 一、连续曲线 一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的__________． 二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤 1．分割：n等分区间[a，b]． 连续曲线

定积分 f(x)dx

四、定积分 f(x)dx的实质 1．当f(x)在区间[a，b]上大于0时， f(x)dx表示_________ ___________________________________________________，这也是定积分的几何意义(如图①)． 2．当f(x)在区间[a，b]上小于0时， f(x)dx表示_________ _______________________________________________________ (如图②)． 3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时， f(x)dx表示______ ___________________________________________________________ (如图③)． 由直线x＝a， x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x＝a， x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 介于 x＝a，x＝b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代 数和

五、微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式) 一般地，如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，可以把F(b)－F(a)记作F(x)| ，即 f(x)dx＝__________________. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． F(b)－F(a) F(x)| ＝F(b)－F(a)

七、定积分的性质 1. kf(x)dx＝________________(k为常数)． 2. [f(x)±g(x)]dx＝________________. 3. f(x)dx＝____________________(其中a<c<b)． 八、利用函数的奇偶性求定积分 若f(x)是[－a，a]上的奇函数，则 f(x)dx＝0；若f(x)是[－a，a]上的偶函数，则 f(x)dx ＝ 2 f(x)dx. k f(x)dx f(x)dx± g(x)dx f(x)dx＋ f(x)dx

九、定积分的求法 1．定义法(用微分思想求曲边梯形的面积，分割，近似代替，求和，取极限)． 2．牛顿－莱布尼兹公式法． 3．几何意义法：若y＝f(x)，x轴与直线x＝a，x＝b之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积．如求 dx. 4．利用奇、偶函数的性质．

十、定积分的简单应用 1．定积分在几何中的应用：如图，曲线y＝f(x)，y＝g(x)与直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形面积S＝ [f(x)－g(x)]dx. 2．定积分在物理中的应用： (1)变速直线运动的路程：运动速度为V(t)，则在t＝a到t＝b时间内物体的位移为S＝ v(t)dt； (2)变力作功：力F是位移s的函数，则在s＝a到s＝b位移内力所做的功为W＝F(s)ds. 3．定积分与其他知识的综合．

基础自测 A

2. (2012·湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为 (　　) A. B. C. D.

4．(2012·广州市一模)已知2≤ (kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__________________．

考 点 探 究 考点一 根据牛顿―莱布尼兹公式求定积分 【例1】 计算下列定积分： (1) x(x＋1)dx； (2) dx； 【例1】　计算下列定积分： (1) x(x＋1)dx； (2) dx； (3) sin2xdx. 思路点拨：求出被积函数的原函数，用微积分基本定理进行求解，计算 f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)．其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到． 自主解答：

点评：计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．

变式探究 1．计算下列定积分的值： (1) (4x－x2)dx； (2) (x－1)5dx； (3) (x＋sin x)dx.

考点二 利用定积分的性质求定积分 【例2】 (2011·杭州市月考)计算下列定积分． (1) |sin x|dx； 【例2】　(2011·杭州市月考)计算下列定积分． (1) |sin x|dx； (2) |x2－1|dx； (3) (xcos x＋ )dx. 思路点拨：对于第(1)小题，应对sin x在区间[0,2π]上的正负进行分情况计算．而对于第(2)小题，在0≤x≤2的条件下，对x2－1的正、负情况进行讨论．对于第(3)小题，利用奇函数在关于原点对称的积分区间上的积分值为0，偶函数在关于原点对称的区间上的定积分相等去求解． 自主解答：

点评：(1)当被积函数含有绝对值(或平方根)时，须按绝对值内的正负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐段积分． (2)函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下： 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上的图象是连续曲线，若f(x)是偶函数，则 f(x)dx＝2 f(x)dx；若f(x)是奇函数， 则 f(x)dx＝0.

变式探究 2．已知f(x)为偶函数且 f(x)dx＝8，则 f(x)dx (　　) A．0 B．4 C．8 D．16

考点三 求分段函数的定积分

变式探究

考点四 根据定积分的几何意义求定积分

点评：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积．

变式探究

考点五 求曲边梯形的面积 【例5】 求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．

变式探究 5．(2012·惠州市一模)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为__________________.

考点六 定积分的物理意义的应用 【例6】　 一辆汽车的v- t曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．

变式探究 6．(2012·肇庆市期末)如图是一个质点做直线运动的v- t图象，则质点在前6 s内的位移为______________m.

考点七 定积分与其他知识的综合

点评： (1)解决此类问题应注意积分式中的积分变量是什么，切忌想当然．(2)类似于此种类型的题目，应先根据题设条件求出定积分的值，将问题转化为关于a，b，c的方程组，再进行求解．

课时升华 1．定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程． 2．定积分 f(x)dx的值只与被积函数f(x)及被积区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分 f(x)dx是一个常数，当被积函数f(x)及被积区间[a，b]给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中对区间[a，b]的分法和ξi的取法外，也不依赖于 f(x)dx中的积分变量，即 f(x)dx＝ f(t)dt. 3．由积分符号 f(x)dx可知，积分变量x的变化范围是a≤x≤b.

4．利用微积分基本定理(即牛顿－莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)． 5．运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解． 6．利用定积分求曲边梯形的面积，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分上、下限． 7．注意定积分与数学其他知识模块的结合．利用定积分的求法与意义，可与数学中的其他知识交汇，如可与导数、解析几何、二次函数等知识内容交汇构成综合题.

感 悟 高 考 品味高考 1. (2012·福建卷)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D.

2．(2012·山东卷)设a＞0，若曲线y＝ 与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

高考预测

2．(2012·厦门市模拟)已知f(x)＝x2＋ax＋a(a≤2，x∈R)，g(x)＝e－x，φ(x)＝f(x)·g(x)． (2)求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x＝1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积S.

解析：(1)当a＝1时，φ(x)＝(x2＋x＋1)·e－x，φ′(x)＝e－x(－x2＋x)． (2)切线的斜率为k＝g′(0)＝－e－x|x＝0＝－1， ∴切线方程为y＝－x＋1. g(x)在点(0,1)处的切线y＝－x＋1与直线x＝1及曲线g(x)＝e－x所围成的封闭图形如下图所示，故所求封闭图形面积为