复变函数论多媒体教学课件 第三章 复变函数的积分 Department of Mathematics
复变函数论多媒体教学课件 第二节 柯西积分定理
一 柯西定理 1 定理3.3 设f(z)是单连通区域D内的解析函数， C是D内任一条周线,则 注:要证明该定理比较困难.
2 定理3.4 设f(z)是单连通区域D内的解析函数， C是D内任一条闭曲线(不必是简单的),则 证明: 因为C总可以看成区域D内有限多条周线连接而成, 由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3,即可得证.
推论3.5 设 是单连通区域D内的解析函数，则 在D内的积分与路径无关,即对D内任意两点 与 ,积分 证明: 由定理3.4及复积分的基本性质(3)有 因而
例1 解 由柯西积分定理3.3, 有
例2 解 故积分与路径无关, 则
二. 不定积分 因此,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下图)
1 定理3.6 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. 证明 利用导数的定义来证.
由于积分与路线无关,
故 [证毕]
2 定理3.7
3. 原函数与不定积分的定义: (1)定义3.2 (2)原函数之间的关系:
4 牛顿-莱布尼兹公式 定理3.8
证 根据柯西积分定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.
例3 解 因为在D内, 故
例4 解 所以
例5 解 故
三 Cauchy积分定理推广 1 Cauchy积分定理等价定理 证明: 于是由定理3.3有
定理3.9
例6 计算下列积分 解 由定理3.9有,
四 Cauchy积分定理推广到复周线的情形 1 定义3.3
2 定理3.10 或 即
证明:
例7 解
由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可.
例8 解 依题意知,
根据复合闭路定理,
作业 P141 习题(一) P142 5(1); 6; 8; P144 习题(二) P144 2;
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