馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 8 第　　章

James Clerk Maxwell提出馬克斯威爾四大方程式，完整地描述所有的電磁理論。馬克斯威爾方程式是由靜電學和靜磁學的基本模型，再加上修正項可得時變電磁場的物理特性。 靜電模型 靜磁模型

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 靜電模型 靜磁模型 稱為電場強度 (electric field intensity) 　　　 稱為電通密度 (electric flux density) 　　　 稱為磁場強度 (magnetic field intensity) 　　　 稱為磁通密度 (magnetic flux density) 2.線性、均勻性、同向性的簡單介質而言，必須滿足以下關係： 稱為介電常數 (dielectric constant) 稱為導磁常數 (permeability constant)

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 3.靜電學和靜磁學的物理量，必須滿足下列積分型式及物理意義： 積分型式 物理意義 高斯定律 靜電場是保守場 無磁單極 安培定律

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) B.時變電磁場的模型馬克斯威爾和方程式 微分型式 積分型式 物理意義 法拉第定律 修正安培定律 電高斯定律 磁高斯定律

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 法拉第定律 (Faraday‘s Law) 及物理意義 對於時變電磁場而言，滿足以下模型： 將上式左右兩邊同時作開放的面積分 應用旋度定理可得 其中　 法拉第電磁感應定律

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) D.修正安培定律 (Modified Ampere's Law) 1. 靜磁學的安培定律 D 2. 電磁波的修正安培定律

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 3. 安培定律修正項的物理意義 4. 位移電流密度 (displacement current density) 的物理意義

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) 1. 高斯定律 (Gauss Law)：亦稱為電高斯定律 2. 磁通量守恆定律：亦稱為磁高斯定律

8.1 馬克斯威爾方程式 (Maxwell's Equations) F. 馬克斯威爾方程式的獨立性 1. 由法拉第定律推導磁通量守恆定律 2. 由修正安培和連續方程式推導高斯定律 

8-1-1 振幅為 、角頻率為 的交流電壓源 ，連接到距離為 的平行板電容器 ，如圖所示。(a) 證明電容器中的位移電流 ，面積為 的平行板電容器 ，如圖所示。(a) 證明電容器中的位移電流 等於電線中的傳導電流 ；(b) 求距電線 處的磁場強度 (a) 由討論可得

(b)根據修正安培定律 對於導線而言 ，對 而言僅包圍 電流

8.2 時變電磁場的邊界條件 A. 時變電磁場的邊界條件計算 1. 電通密度 滿足的邊界條件 向量型式表示

8.2 時變電磁場的邊界條件 2. 磁通密度 滿足的邊界條件 3. 電場強度 所滿足的邊界條件

8.2 時變電磁場的邊界條件 4. 磁場強度 滿足的邊界條件 5. 時變電磁場 邊界條件圖形歸納整理如下

8.2 時變電磁場的邊界條件 6. 邊界條件公式歸納整理 相減 磁場強度 連續 磁通密度 電通密度 電場強度 物理意義 邊界值公式 微分式 8.2 時變電磁場的邊界條件 6. 邊界條件公式歸納整理 相減 磁場強度 連續 磁通密度 電通密度 電場強度 物理意義 邊界值公式 微分式 物理量

8.2 時變電磁場的邊界條件 B. 時變電磁場邊界值類型 類型I：兩種非損耗性線性介質之間的界面對於非損耗性介質 邊界條件整理 →

8.2 時變電磁場的邊界條件 類型II：理想導體和非損耗性介質的界面理想導體 具有無窮大的導電率，因此在理想導體的 內部其電場 和 為零 8.2 時變電磁場的邊界條件 類型II：理想導體和非損耗性介質的界面理想導體 具有無窮大的導電率，因此在理想導體的 內部其電場 和 為零 理想導體 非損耗介質Ⅰ

8.2 時變電磁場的邊界條件 理想導體內部的電磁場特性 在半徑為 ，無窮長載電流 的導線內部的存在有靜磁場 時變電磁場 靜磁學 靜電學

8.3 波動方程式 (Wave Equations) 步驟1： 利用馬克斯威爾方程式的“旋度方程式”為出發點 步驟2： 利用雙旋度向量恆等式，產生 符號 步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一的物理量 步驟4： 將方程式整理成左式為波動方程式，右式為電源

8.3 波動方程式 (Wave Equations) B. 時變磁場 的波動方程式 步驟1： 馬克斯威爾方程式中的磁場旋度方程式 步驟2： 運用雙旋度向量恆等式，將上式左右取旋度可得 B 步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一變數 步驟4： 整理方程式

8.3 波動方程式 (Wave Equations) C. 時變電場 的波動方程式 步驟1： 馬克斯威爾方程式中的電場旋度方程式 步驟2： 運用雙旋度向量恆等式，將上式左右取旋度可得 步驟3： 利用馬克斯威爾方程式轉換成單一變數 步驟4： 整理方程式

8.3 波動方程式 (Wave Equations) D. 場函數波動方程式歸納整理 1. 無源區域 (source free)： 且 寫成矩陣型式的齊次向量波動方程式 且 2. 有源區域 (source region)： 寫成矩陣型式的非齊次向量波動方程式

8.3 波動方程式 (Wave Equations) B. 位函數和場函數的關係式 1. 向量磁位和磁場關係式 2. 位函數和電場關係式 (2) 第二部份 ：對應於時變電流 (1) 第一部份 ：對應於電荷分佈 特例：在靜電學中 因此

8.3 波動方程式 (Wave Equations) C. 向量磁位 的波動方程式 1. 向量磁位 波動方程式推導 步驟1： 磁場旋度方程式 C 步驟2： 利用雙旋度的向量三重積恆等式 步驟3： 轉換成相同變數 (位函數的勞倫茲規範 ) 向量磁位的非齊次方程式

8.3 波動方程式 (Wave Equations) 特例：無電流源的波動方程式： 靜態場即柏桑方程式： 2. 向量磁位 波動方程式數學函數解 延遲向量位

8.3 波動方程式 (Wave Equations) D. 純量電位V的波動方程式 1. 純量電量 波動方程式推導 純量電位V的非齊次方程式 特例： 無電荷源的波動方程式： 靜態場即柏桑方程式：

8.3 波動方程式 (Wave Equations) 2. 純量電位 波動方程式的數學函數解 (延遲純量位 )

8-3-1 推導並證明無源區域中 (source free)、線性 (linear)、同向性 (isotropic) 但非均勻 (nonhomogeneous) 的介質其波動方程式如下： 無源區域 ：馬克斯威爾方程式 由 恆等式可得 非均勻介質其電場散度如下： 電場 計算波動方程式的步驟如下：

將上式 代入

8-3-2 對於無電荷分佈區域，但存在損耗性介質，求 和 滿足的波動方程式。 有源區域 若 且

8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields) 1. 時間諧波場 (time harmonic field) 或稱為穩態弦波場 (steady-state sinu­soidal field) ：代表“單一相同頻率”的弦波函數描述場函數 和 的變化情形 2. 相量 (phasor) 的意義：相量場被描述成“只與空間座標有關”，而與時間無關。 以 餘弦函數為參考函數 ，則時間諧和電場 以相量電場型式 表示： 正弦函數

8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields) 3. 時間諧波場分析步驟： 4. 相量函數的運算：相量運算的目的，是將微分或積分運算轉換成代數運算。 (1) 微分計算： (2) 積分計算：

8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields) B. 馬克斯威爾方程式的相量型式 相量型式 時域馬克斯威爾方程式 應用1：對於無源區域 應用2：無源區域如何由相量電場 ，推導計算相量磁場 應用3：無源區域如何由相量磁場 推導計算相量電場

8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields) 漢姆霍茲方程式 (Helmholtz's Equation)：波動方程式的相量型式 類型I：無源區域 (source free) 波動方程式 相量的微分運算原則 定義波數 (wave number) (漢姆霍茲相量方程式 )

8.4 時間諧波場 (Time Harmonic Fields) 類型II：有源區域的波動方程式 相量的微分運算原則 將波數 代入上式可得非齊次漢姆茲方程式

8-4-1 推導電場 和磁場強度 在有源區域 ( 包含 和 ) 簡單介質的波動 方程式和Helmoltz's方程式。 (a)參考課文推導有源區域的波動方程式 (b)相量型式有源區域的Helmoltz's方程式如下

8-4-2 已知在空氣中，磁場 時間諧波場如下： 求電場 時間諧波場和相位常數 值？ (a) (b)

8-4-3 已知在空氣中，電場 時間諧波場如下： 求磁場 和相位常數 值？( 參考書目 [3] ) (a)相量 滿足漢姆霍茲方程式 cos函式的相量 (a)相量 滿足漢姆霍茲方程式

(b)

8-4-4 已知在自由空間中，球面波的電場強度如下： 求磁場強度 和波數 值？( 參考書目 [3] ) 球面波必須滿足漢姆霍茲方程式： 球面波電場相量型式 球面波必須滿足漢姆霍茲方程式： 由於球座標的拉氏運算太複雜，必須利用雙旋度公式 由於無源區域　

代入上式可得

相量 推導磁場 公式如下：

8-4-5 推導證明電場強度 。 相量型式 (b)電位與磁位關係式 ( 勞倫茲方程式 ) 相量型式 可以用磁位向量A表示，其相量型式如下： 其中波數 。 (a)電場與電位和磁位關係式如下： 相量型式 (b)電位與磁位關係式 ( 勞倫茲方程式 ) 相量型式

8.5 波恩庭定理Poynting theorem A. 波恩庭向量 (Poynting vector) 的意義 定義：單位面積上的功率流向量，它是電磁場的功率密度向量。 B. 波恩庭定理的微分型式 馬克威爾方程式代入上式

8.5 波恩庭定理Poynting theorem C. 波恩庭定理的積分型式 微分型式的左右兩邊作體積分 1. 流入體內的功率計算： 傳導電流密度 在體積內的“歐姆功率密度”( 或稱為焦耳熱功率密度 ) 計算： 3. 儲存於體積內的“電能密度增加率”計算： 4. 儲存於體積內的“磁能密度增加率”計算：

8.5 波恩庭定理Poynting theorem D. 瞬時功率密度和平均功率密度 1. 瞬時功率密度 (spontaneous power density) 定義 2. 平均功率密度 (average power density) 定義如下： 3. 相量波恩庭計算平均功率密度

8-5-1 試求在一載有直流電流 的長直導線 ( 半徑為 ，導電率為 ) 表面之波恩庭向量。並驗證波恩 庭定理。 (a) 導線內之直流電流乃平均地分佈在橫截面上

波恩庭向量的方向皆是從導線側表面指向內，而上下底面並 無波恩庭向量。 (b) 其中直導線的電阻公式 ，上式代表由側面流進的 總功率轉為電阻熱功率。

8-5-2 在球座標的原點上，有一段垂直放置，短的電流元素 ，在自由空間中，其遠場 (far field) 之表示式如下： 其中波長 其中波長　 (a)寫出波恩庭向量的瞬時表示式。 (b)求電流元素所輻射的總功率。 (a)由於空氣阻抗 ， 波恩庭向量的瞬時表示式如下：

(b)平均功率密度計算如下：

習　　題 1.說明Maxwell方程式 (a) 微分式；(b) 積分式；(c) 物理意義；(d) 應用；(e) 相量式。 2.推導 (a) 非齊次波動方程式；(b) 齊次波動方程式。 3.說明時間諧波場 邊界條件。 4.說明Maxwell四個方程式是否彼此獨立。 5.說明勞侖茲規範與電荷守恆的關連性。 6.說明波恩廷定理 (a) 微分型式；(b) 積分型式；(c) 物理意義。