Evaluation of an Analytical Model for the Maximum Intensity of Tropical Cyclones Reference: Bryan, G. H., and R. Rotunno, 2009c: Evaluation of an 　　analytical model for the maximum intensity of tropical 　　　 　　cyclones. J. Atmos. Soc., 66, 3042–3060. 報告人：林柏旭

大綱 前人研究 簡介 實驗設計與結果 EPI之分析 非平衡流的影響 針對非平衡流的可能強度理論 討論與結論

前人研究 近來許多研究發現模擬出來的熱帶氣旋強度可能會大於利用Emanual於1986年提出的解析模式所估計出來的最大可能強度(EPI)之理論值 Persing & Montgomery(2003, 2005)、Hausman等人(2006)、Cram等人(2007)、Yang等人(2007)、Bryan & Rotunno(2009a, b) PM03： EPI中的熱力假設（moist slantwise neutrality）與他們模擬出的颶風不符，原因是EPI缺少颶風眼中的地表熵通量以及颶風眼與眼牆之間熵的交換 Smith等人2008（SMV08）： EPI的主要缺點是沒有明確的考慮邊界層中的徑向動量收支 假設邊界層中為梯度風平衡 BR09a的分析中發現PM03的機制在數值模擬裡定量上算很小，故並不是缺乏moist slantwise neutrality的主因

簡介 PM03 →熱力假設 SMV08→動力假設 最大強度理論（PI）是採用Emanual於1986年所提 出的理論（EPI/E86） 研究目的： 找出造成所模擬出來的熱帶氣旋強度大於理論最大強度之因素

簡介-EPI E86在熱力上忽略了冰相作用，並可採用可逆熱力過 程或是假絕熱熱力過程來做進一步簡化 自由大氣（此處黏滯項可被忽略） 假設流體處於靜力平衡、梯度風平衡 忽略動量方程中液相、氣相的水 假設總濕熵沿著梯度風的等角動量面守恆 沿著通過vg,max處氣流軌跡線積分，並忽略地球自轉影響

簡介-EPI（續） 邊界層（此處黏滯項與地表的交互作用很重要） 作法是考慮變數s、u、M在邊界層中混合均勻（為常數） 進一步假設s、M經由徑向平流與垂直混合的平衡所維持 BE98加入了耗散加熱效應 將海面的熵通量、角動量通量由地面積分到邊界層頂( z=h) 並假設亂流通量在該處為零 利用總體氣體動力公式即可將交換係數（CD、CE）帶入 最後將耦合自由大氣、邊界層之兩式，得 E86採用了一個簡單的行星邊界層模式來耦合自由大氣與洋面

實驗設計與結果 採用BR09b的軸對稱數值模式: 包含耗散加熱 採用保守方程組 地表熵交換係數CE=地表動量交換係數CD Domain Size 1500km x 25km △z=250m，△r=1km(R<64km) 輻射冷卻效應為2K / day

實驗設計與結果 BR09b-當使用假絕熱、自由大氣中為無黏滯流的設 定可得最大強度，故Ctl Run設定為: 其他實驗設定 水平亂流長度尺度lh=94m 垂直亂流長度尺度lv=100m 當ql=0.1g/kg時將其移除 SST=28。C 環境場對濕對流維持中性 初始渦旋與RE87同 其他實驗設定 SST=26.1。C 垂直亂流長度尺度lv=200m 液態水終端落速Vt=7m/s

實驗設計與結果(CTL) Vmax≒120 m/s (day 2) Vg > EPI：表示EPI偏低 眼牆（w>0.5m/s） EPIB=67m/s B Z=1.1km 108m/s 位置與E86假定的相同 　91m/s 72m/s EPI來自： vg 來自：

EPI之分析 探討為何EPI過低，並檢驗其固有的假設是否可用於 數值模擬中，針對三個主要的因素做分析 熱力：Moist slantwise neutrality PBL closure 動力：梯度風平衡、靜力平衡 分析中，不著墨於數值模擬的真實性，以及EPI的內 容對真實的熱帶氣旋來說是否恰當（如Ctl Run中強 度過強的問題） 探討影響數值模擬中最大可能強度的因素

EPI之分析-Moist slantwise neutrality 熵 c.i.=10 Jkg-1K-1 氣塊沿軌跡線運動通過 最大風速之處： 事實上並非每條軌跡線都與輪廓線重合（亂流造成） 熵與角動量在邊界層之上的眼牆中可視為常數（與E86的假設相同） 眼牆中可達到Moist slantwise neutrality故 此因素應不是造成 Vg,max > EPI之原因 角動量 c.i.=0.2×106 m2s-1 先檢驗模式輸出是否符合

EPI之分析-PBL closure EPI中的PBL closure用了一些假設使其不正確 邊界層內M、s的徑向平流與垂直傳輸平衡 u、s、M的垂直分佈混合均勻 本研究不探討這些假設，而直接對closure做探討， 因EPI是建立在這些假設上所得出的 利用模式輸出結果來檢驗 定性上此式兩側特性相似，定量上兩者平均相差50% 代換時會消去左式，而右式的絕對值大小較大，故會 造成正偏差，因此無法解釋為何Vg,max>EPI BR09b:徑向亂流傳輸過程很重要

EPI之分析-PBL closure(續) 利用BR09b的模擬結果進一步檢查PBL Closure的 設定是否正確 可以發現在這個結果中仍舊有著|RHS|>|LHS|的 現象 左、右式的差異比 Ctl Run中兩者之差來得小， 可能是因BR09b中lv較大 導致邊界層深度較深之 故（如此能更好的解析 出邊界層） Vmax出現在PBL之上

EPI之分析-梯度風平衡、靜力平衡 眼牆中很明顯並非梯度風平衡 最大風速區Uce、Uco之影響為Upg之兩倍=>超梯度流 （離心力使空氣向外移動）

EPI之分析-梯度風平衡、靜力平衡 主要不平衡的區域出現在眼牆中 WB>Wpg約20% 結果與BR09b的結論一致

非平衡流的影響 對模擬出來較弱的颱風(lh較大)其結果較為接近此兩 平衡，但都有非平衡流的存在 非平衡流來自於： Howells 等人(1988)研究發現氣壓擾動與氣流中非平 衡擾動一致 因此作者認為vg不能直接與EPI相比 此處所得之梯度風應視為用以平衡氣壓場的徑向速度 前述三個因素僅動力因素不合假設，故對動力做進一步探討

非平衡流的影響（續） 根據E86中的公式： 畫出處於梯 度風平衡下之軌跡線 不應該將EPI視為強度上限，因為EPI沒考慮非平衡流 理論軌跡線位在半徑較大之處 理論軌跡線沒有震盪的情形 不應該將EPI視為強度上限，因為EPI沒考慮非平衡流 vg的計算若使用了包含氣壓擾動的氣壓場則會大於EPI 反之，若對平衡場做估計則vg不會大於EPI 實際軌跡 理論軌跡 震盪現象是因為氣流在次梯度、超梯度間震盪所造成 利用理論軌跡之處的值所計算出的最大Vg,max=72m/s 與EPI吻合

PI Theory for Unbalanced Flow 此理論是建立在D.K. Lily(1970)的研究上 利用質量、動量、熵保守的方程式導出了一條包含 流函數的式子，並隨著控制體積積分 流函數觀測不易，進一步用流函數之定義、動量方 程改寫 耦合邊界層後，得：

PI Theory for Unbalanced Flow-模式輸出之評估 RE87採用lh=3000m，EPI與其結果吻合 當水平亂流尺度大時，EPI是個合理的估計法

PI Theory for Unbalanced Flow-觀測資料之評估 γ項可經由對穩定的軸對稱的颱風觀測得來 最大差異在12日，可能是颶風尚未發展到穩定所致 差異可能來自於觀測的不確定性 wb為不確定性最大之項，此項與飛機觀測、模擬輸 出相比似乎偏弱（5-10m/s） Date vmax(m/s) EPI(m/s) rb(km) wb(m/s) ηb(1/s) PI+(m/s) Sep.12 80 61 25 2 0.006 64 Sep.13 76 57 45 3 0.012 74 Sep.14 59 50 0.008 68 使用Bell & Montgomery(2008)對颶風Isabel(2003)的分析資料

討論與結論 PM03所用的數學方法無法使Mg面上的s守恆，故模 擬出來的颱風並不符合moist slantwise neutrality 針對EPI三個因素（熱力、PBL closure、動力）的 分析中，發現其值偏低是動力因素所致 眼牆內的非平衡流由PBL一直往上延伸到對流層頂 EPI中的梯度風平衡、無黏滯流假設為其主要缺點 非平衡流的存在是造成vg大於EPI的原因 模式裡的徑向亂流設定會使非平衡流減小 雖然E86有缺點，但對觀測到的大量颱風來說，它仍 然可以是一個合理的上限 應更進一步發展包含非平衡流、徑向亂流的PI理論

The End

方程式 梯度風平衡： 靜力平衡：

推導-自由大氣 假設流體處於靜力平衡、梯度風平衡 可進一步導出熱力風平衡方程 再利用針對假學熱的熱力學第一定律導出近 似的Maxwell關係式 熱力風平衡方程可改寫為 假設忽略動量方程中的水汽，即1/(1+qv)=1， 並將不易積分的最後一項忽略，得 假設s沿著Mg面守恆（即s為Mg之函數）

推導-邊界層 將海面的熵通量、角動量通量由地面積分到邊界層頂 (z=h)並假設亂流通量在該處為零 利用Bulk Aerodynamic formula將通量、應力代換 掉，並假設ε/T由地面往上到邊界層頂(z=h)線性遞減 至0 τs：海面的熵通量 τM：海面的角動量通量 ε：耗散加熱率

推導-PI+ 假定穩定、軸對稱、無黏滯、無水汽的動量方程 徑向速度： 垂直速度： 利用 切向渦度、動量方程 流函數： 利用 切向渦度、動量方程 流函數： 則可將徑向、垂直速度改寫 利用熱力學第一定律： 　　　消去壓力項 得

推導-PI+（續） D.K. Lily利用質量、動量、熵保守的方程式導出了 一條包含流函數的式子： 隨著控制體積積分 忽略柯氏力則動量方程Mb≒rvb ，並假設r0>>rb 流函數觀測不易，進一步用流函數、動量方程改寫 耦合邊界層後，得：

slantwise convection 一種由重力、離心力所驅使的對流 Slantwise convection can occur in baroclinic flows in which the slantwise-upward displacement of air parcels, elongated in the direction of the thermal wind, results in a vector combination of buoyancy and Coriolis (or centrifugal) and pressure-gradient accelerations that drive the parcel in the same direction as the displacement. See also symmetric instability.