Displaying and Summarizing Data

Excel Chart Wizard 本章主要係介紹利用excel的功能將資料以圖形或圖表方式表達，步驟如下： 1.功能選單=>插入=>圖表=>圖形類型 2.標示變數範圍 3.定義標題、XY、等相關資料

直條圖 用於顯示一段時間內的資料變化或說明項目之間的比較結果

橫條圖 橫條圖可顯示個別項目之間的比較情況。縱軸表示類別，橫軸表示值，它主要強調各個值之間的比較，而較不強調時間。

折線圖 可以顯示一段時間內的連續資料，且是根據一般的比例進行設定，因此非常適合於顯示相等間隔內資料的趨勢。

圓形圖 顯示了構成選定資料數列的資料編輯，其相對資料編輯加總的比例大小

區域圖 強調一段時間之內的變化幅度。由於區域圖也顯示了繪製值的總和，因此也可顯示部分與整體間的關係。

XY散佈圖 將二組變數繪製成一個 xy 座標軸數列，顯示兩組或多組資料數值之間的關聯，這類圖表常用於科學資料。

雷達圖 可以用於繪製在工作表上欄或列中排列的資料。可以比較多個的加總值。

其他圖形 一、泡泡圖：類似 XY散佈圖，但使用資料標記的大小，代表第三個變數的大小。 二、環圈圖：環圈圖與圓形圖一樣，都可以顯示部分資料與整體的關係，但環圈圖可包含多個資料數列，每個資料數列均由環圈圖中的一個環所代表。 三、股票圖：最高-最低-收盤-開盤 股價圖表一般用來說明股票價格。也可以指出溫度的變化。但必須以正確的順序來整理資料，才能建立這類圖表與其他股票圖表。 

其他圖形

樞紐分析圖 係利用在 Excel，自動將清單資料彙整，做交叉分析的一種報表，步驟如下： 1.功能選單=>資料=>樞紐分析表及圖報表 2.資料來源類型及報表類型 3.資料來源範圍 4.結果存放位置  

Probability機率

機率架構圖

A.實驗Experiments 例如： 指觀察某些活動或測量某種行為，其出現的可能結果無法確定。 擲一粒骰子，觀察其出現何種點數。 從EMBA學生中任意抽取一名男生，探討其有沒有結婚。

B.樣本空間Sample space 一個實驗中，所有可能出現結果(樣本點)的集合稱為樣本空間。 例一：我們從1到10個正整數中隨機抽取一個數字，樣本空間代表可能抽中的數字。 例二：我們投擲兩粒骰子，其樣本空間代表所有可能出現的結果。

C.結果(樣本點) Outcomes 在一個實驗中所得到的每一個不同結果，又叫做樣本點。 例一：從1到3個正整數中隨機抽取一個數字，其結果(樣本點)為1,2,3。 例二：我們投擲1粒骰子，其結果(樣本點)為1,2,3,4,5,6。

A.實驗&B.結果&C.樣本空間

機率Probability 衡量某一事件可能發生的程度，並針對此一事件發生之可能性賦予一量化的數值(此數值介於0~1之間)。

範例

機率理論  1.古典方法Classical Definition 2.客觀方法Relative Frequency  3.主觀方法Subjective Definition

1.古典方法Classical Definition 機率=n/N n：代表一個或數個樣本點的數目。 N：樣本空間內每一樣本點的總數。 例一：有一對夫妻,想生3胎,希望3個都是男生的機率? n：樣本點為1個”男男男”,故n=1, N：樣本空間內總數為8個,故N=8; 3個都是男生的機率=n/N=1/8

2.客觀方法Relative Frequency Definition(相對次數法) 重複進行此一實驗許多次，並觀察該事件出現次數的比例。 P(E)=A/N , N→ ∞(無窮大) 例一：(有一對夫妻,想……….) 例二:投擲一粒公平的銅板，觀察其結果。有一位英國統計學家Pearson(1857-1936)很神勇的擲一個銅板24,000次，結果出現12,012次正面，出現正面的機率為12012/24000=0.5005。 出現A事件次數 試驗N次數

3.主觀方法Subjective Definition 一個人對某事件發生可能的信心 機率=（個人對該事件發生的信心） 例一:有一對夫妻,想生3胎,認為3個都是男生的機率為8成, 故: 3個都是男生的機率=0.8 例二:某甲花很多時間念EMBA，所以他認為畢業時他得到第一名的機率為9成。 故:某甲認為他得到第一名的機率=0.9

事件(events) 當進行一項實驗時，將一個或一個以上的可能結果(樣本點)聚集而成的集合，即為事件。 例:生男或生女中，出現 2 男 1 女 的可能結果(男男女, 男女男, 女男男,) ，即為一事件。

事件(events) 事件(events)可分為: c.獨立事件(Independent Event) a.互斥事件Mutually Exclusive Events b.非互斥事件(Not Mutually Exclusive 相依事件) c.獨立事件(Independent Event)

a.互斥事件Mutually Exclusive Events 在同時間內如果發生一種事件另一事件就不會發生。如果A與B為互斥事件則機率為 A B

生男或生女？ 例:生3 男 P(A)或生3 女P(B)機率為? P(A)+P(B)=1/8+1/8 =2/8=1/4 3女 3男

b.非互斥事件(Not Mutually Exclusive 相依事件) 二事件的可能同時發生，一事件可能影響其他事件發生的機率。如果A與B為非互斥事件則機率為 A B AandB

生男或生女？ 例:生2 男 1 女P(A)或生第一胎為男生 P(B)機率為? P(A)+P(B)-P(A and B)= 3/8+4/8-2/8=5/8 2男1女 第一胎為男 AandB

獨立事件Statistical Independence 係指一事件的發生不影響其他事件的發生，若A、B兩事件互為獨立,如果A 指定的B 的機率合計A 的機率; 換句話說P(A|B) = P(A) 或P(B|A) = P(B)

機率法則 公理一:表示任一事件若可能發生，則其機率必須介於0與1之間。 公理二:將所有結果(樣本點)發生的機率加總合等於1。

機率運算Probability Calculations

a.聯合機率joint probability 第一胎 男生數目 男 女 TOTAL 1/8 1 2/8 3/8 2 3 4/8 8/8 兩個或兩個以上事件同時發生的機率。 在生3胎的情形下,第一胎為男生或女生且男生數目有幾個? 聯合機率

b. 邊際機率Marginal Probability 第一胎 男生數目 男 女 TOTAL 1/8 1 2/8 3/8 2 3 4/8 8/8 在兩個或兩個以上類別的樣本空間中，若僅考慮一類別個別發生的機率稱之。 例:在生3胎的情形下,第一胎為男生發生的機率總合或女生發生的機率總合? 邊際機率

c. 條件機率Conditional Probability P(A|B) = P(A and B) / P(B) 例:有2 男為A 事件,生第一胎為男為B事件機率? A&B=男女男,男男女 P(B)=4/8, P(A&B)=2/8 P(A|B) = P(A&B) / P(B) = (2/8)/(4/8) = ½ 第一胎 男生數目 男 女 TOTAL 1/8 1 2/8 3/8 2 3 4/8 8/8

c. 其他有用之條件機率 P(A and B) = P(B|A)*P(A) P(A) = P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + … + P(A|Bk)*P(Bk) B1, B2, …, Bk 是指 k個互斥事件和其全部結果。

貝氏定理 Bayes’ Theorem P(B|Ai)*P(Ai) 也等於條件機率（Conditional Probability）其實目前網路阻擋垃圾郵件是利用貝氏定理所運作。貝氏定理是結合事前機率與條件機率，算出事後機率的過程。 據稱一位英國物理家Stephen Unwin利用貝氏定理算出有上帝存在機率為67%。 P(B|Ai)*P(Ai) P(Ai|B) = -------------------------------------------------------------------- P(B|A1)*P(A1) + P(B|A2)*P(A2) + … + P(B|Ak)*P(Ak) 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 38

貝氏定理 Example A cup contains two dice identical in appearance. One, however, is fair (unbiased), the other is loaded (biased). The probability of rolling a 3 on the fair die is 1/6 or 0.166. The probability of tossing the same number on the loaded die is 0.60. We have no idea which die is which, but we select one by chance, and toss it. The result is a 3. What is the probability that the die rolled was fair?

貝氏定理 Example (continued) We know that: P(fair) = 0.50 P(loaded) = 0.50 P(3|fair) = 0.166 P(3|loaded) = 0.60 Then: P(3 and fair) = P(3|fair)P(fair) = (0.166)(0.50) = 0.083 P(3 and loaded) = P(3|loaded)P(loaded) = (0.60)(0.50) = 0.300 - marginal probability - joint probability

貝氏定理 Example continued A 3 can occur in combination with the state “fair die” or in combination with the state ”loaded die.” The sum of their probabilities gives the marginal probability of a 3 on a toss: P(3) = 0.083 + 0.300 = 0.383 Then, the probability that the die rolled was the fair one is given by: - marginal probability - conditional probability

Random Variables隨機變數 and Probability Distributions機率分配

Basic Terms m 母數平均數 x 樣本平均數 Relative frequency 相對的 Cumulative frequency 堆疊的 Population Average Sample Average 0.3,0.1,0.2…sum=1 0.3,0.4,0.6…more=1

Basic Terms Mean 平均數 Median中位數 Mode 眾數 Average Middle value ex：甲80、90/乙75，95班分數平均 Middle value ex：先將資料大小排序然後找中間位置 most frequently; for grouped data ex：8、10、10、10、12、14

Basic Terms Range最大----最小 Quartiles 4分法 Deciles 10分法 Percentiles 100分法 difference between the maximum and minimum observations four equal parts 10 equal parts 100 equal parts

Basic Terms Arithmetic Mean：算術平均數 Population Sample

Basic Terms Variance：變異數 ，分散得程度有多少 Population Sample n＞30以上，樣本數愈大愈接近真實n＝N

Basic Terms Standard Deviation：標準差 Population = Sample =

Chebyshev’s Theorem（柴比雪夫） 任何資料分配中觀測直落於平均數左右k個標準差的區間內之比率 1 – 1/k2, for any k > 1（鍾型形狀） For k = 2, at least ¾ of the data lie within 2 standard deviations of the mean For k = 3, at least 8/9, or 89% lie within 3 standard deviations of the mean For k = 10, at least 99/100, or 99% of the data lie within 10 standard deviations of the mean

Basic Terms CV = Standard Deviation / Mean Coefficient of Variation：變異係數 CV = Standard Deviation / Mean 變異數與變異係數不一定相同

Skewness：偏斜係數 一群事實的次數分配不對稱謂其具有偏斜。 Coefficient of skewness (CS) -0.5 < CS < 0.5 indicates relative symmetry 對稱、正向、負向偏斜

Kurtosis：峰態係數 也就是常態分配圖形之中,最高的部分 。 Coefficient of kurtosis (CK) CK < 3 indicates relative flat 3 < CK distribution becomes more peaked

Stem and Leaf：枝葉圖 線左方為枝右方為葉，外觀類似長方圖。

Box and Whisker Plots：盒鬚圖 以5個數值描繪一組資料之分配狀況。 min 1st quartile median 3rd quartile max

Statistical Relationships： Correlation coefficient 用來測量兩個變化無規律 變量之間相互依存的量度 Covariance 共變異數：觀察或 測量同一時間兩個任意變量的變化的一個統計值

Sample correlation coefficient 需假設x、y非相關才能做. 數值介於-1與1之間 正相關、負相關、無相關

隨機變數 Random Variables 是以量化樣本空間的事件，也就是當我們執行一試驗時，我們通常比較用一個實數值來描述，試驗結果，例如，多少壞產品、多少時間、多長多短．．．等。 而隨機變數有可能離散並旁隨有限或無限且與自然數有一對一的對應則皆有離散型變數，如不良品的數目，某一營業日進入銀行顧客皆是，而某一區間或區間集合的所有數值，如重量、時間、溫度，皆為連續型隨機變數（ Continuous random Variables） 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 57

機率分配Probability Distributions 機率分配以描述隨機變數中每一變數值發生的可能性，它可能定義在前述所述兩種（離散型及連續型）的隨機變數。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 58

離散型隨機變數Discrete Random Variables   當我們以函數 f(x) 描述離散型隨機變數中每個數值所對應的機率則函數f(x) 稱為機率質量函數（Probability mass function） Two properties: 0  f(xi)  1 f(xi) = 1 累積分配函數（Cumulative distribution function）以函數F(x) 描述隨機變數中某部份變數值相對重要性。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 59

Example: Census Data 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 60

Charts for f(x) and F(x) 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 61

Joint Probability Distributions Marginal Joint 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 62

連續性隨機變數 continuous Random Variables 機率密度函數，因連續性隨機變數 X 的變數值所集合至少包含一個實數區間，故連續性隨機變數X 所要討論的機率分配函數，其定義域至少包含一個實數區間，因此，若 X 為連續性隨機變數，則 X 所對應的機率分配函數 f(x) 稱為之。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 63

期望值與共隨機變數 Expected Value and Variance of Random Variables 隨機變數X期望值是平均數理論定理，簡單來說，就是平均數(mean)公式如下： 一般來說，在統計學及機率論下，通常是透過RV來說明期望值（平均數） 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 64

Example 本例題可知當RV(X)代表你的可能數值則賠50元機率為0.999，相對地賺24950元機率為0.001。 x f(x) -$50 0.999 $24,950 0.001 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 65

Calculations E[X] = -$50(0.999) + $24,950(0.001) = -$25.00 Var[X] = (-50 - [-25.00])2(0.999) + (24,950 - [-25.00])2(0.001) = 624,375 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 66

隨機變數方程式 Functions of Random Variables 兩個常用方程式 E[aX] = aE[X] Var[aX] = a2Var[X] 在a常數的情況下。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 67

離散機率分配 Discrete Probability Distributions 可分為 白努利（Bernoulli）分配 二項（Binomial）分配 卜瓦松（Poisson）分配 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 68

白努利分配Bernoulli Distribution 在隨機變數中其兩個結果，不是0就是1。就如同我們在試驗時只有兩種結果，成功或失敗。 f(x) = p if x = 1 f(x) = 1 – p if x = 0 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 69

二項分配Binomial Distribution 為一個離散型機率函數為機率質量函數（P.m.f）也是所謂一種間斷型機率分配，而二項分配是n次配白努力試驗而成。 而其對應機率分配公式如上 = 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 70

卜瓦松分配Poisson Distribution 卜瓦松分配（Poissou Distribution）是一種重要的間斷型機率分配。 其模式下所產生現象如每小時服務台訪客人數，某路段每月發生車禍次數生產線上疪品數．．．等，大致上都有一些共同的特徵，在某時間區段上平均會發生若干次『事件』，但有時很少有時有異常多，因此事件發生次數是一個隨機變數，它所對應機率函數為Poisson 分配。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 71

連續型分配 Properties of Continuous Distributions 連續性分配，有一個或一個以上參數它的密度函數可分為 形狀參數Shape parameter 測量單位參數Scale parameter 位置參數Location parameter 連續型分配，可分為：均勻分配、常態分配、標準常態、指數分配．．．等 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 72

均勻分配（一制型分配） Uniform Distribution Density function Distribution function f(x) m = (a + b)/2 s2 = (b – a)2/12 a = location b – a = scale x 2017/9/10 a b © 2007 Pearson Education 73

常態分配Normal Distribution 它是一種呈現鐘型分配(Bell-Shaped)曲線，因由德國數學家高斯在利用常態分配成功描述物理測量誤差的變異，因此常態分配有時也稱高斯分配。 Range is unbounded: the curve never touches the x-axis Parameters Mean, m (location) Variance s2 > 0 (scale) Density function: 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 74

標準常態分配 Standard Normal Distribution 標準常態下；平均數=0、變異數1 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 75

標準常態值 Standardized Normal Values Transformation from N(m,s) to N(0,1): Standardized z-values are expressed in units of standard deviations of X. 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 76

Areas Under the Normal Density(在正常密度下的區域) About 68.3% is within one sigma of the mean About 95.4% is within two sigma of the mean About 99.7% is within three sigma of the mean 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 77

常態分配的計算 Normal Probability Calculations Customer demand averages 750 units/month with a standard deviation of 100 units/month. Find P(X>900), P(X>700), P(700<X<900) and the level of demand that will be exceeded only 10% of the time. 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 78

三角分配Triangular Distribution Three parameters: Minimum, a Maximum, b Most likely, c a is the location parameter; (b – a) the scale parameter, c the shape parameter. Mean = (a + b + c)/3 Variance = (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)/18 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 79

指數分配(Exponential Distribution) 它描述第一次事件發生和所時間此兩隨機變數之間的關係。 一般來說此分配理論常用到當作服務時間的機率密度函數。如要排多久，那個服務櫃台較快等問題，故又稱”排隊理論”。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 80

對數常態分配 Lognormal Distribution 此圖為股市和不動產價格分析使用 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 81

伽碼分配Gamma Distribution 用於存貨盤點及一個事件發生所須時間。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 82

韋伯分配Weibull Distribution 韋伯分配常應用在失敗率研究，如設備不良率、燈泡壽命測試．．． 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 83

貝它分配 Beta Distribution 定義範圍為（0.1） 它來描述n次白努力試驗中成功率及試驗成功次數此兩隨機變數之間的關係。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 84

幾何分配Geometric Distribution 描述第一次事件發生所須試驗次數的機率分配函數，如同以連續以白努力試驗一樣。意謂在多少次數下才出現”第一次”的意思。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 85

Negative Binomial 此為負二次分配描述第 rth次事件所須試驗次數的機率分配函數。意謂作多少次直到多少次成功， 一般來說它與二項（Binomial）分配一樣，以問卷方式做成。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 86

Logistic Distribution 描述人口在此期間的成長。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 87

Pareto Distribution 柏拉圖分配(Pareto Distribution)最初是用在分析財富之分布上，其目的是說明少部份的人〈20%〉佔有大部份財富〈80%〉。柏拉圖為一通用之工具，可用在其他領域中，在品質改善活動中，柏拉多圖通常用來區分造成品質問題之少數重要〈vital few〉原因，及多數不重要〈trivial many〉原因。在存貨管理上，它被稱為ABC分析。 2017/9/10 © 2007 Pearson Education 88

假設檢定 Hypothesis Testing © 2007 Pearson Education

假設檢定Hypothesis Testing 對母體參數作出一適當的假設，根據隨機抽樣之樣本，利用樣本統計量決定接受或拒絕假設的過程。 所以假設檢定是推論統計的核心，用統計數字『證明』成立或不成立

假設檢定之程序 Hypothesis Testing Procedure 建立假設 選擇檢定統計量 決定決策法則 搜集資料，並計算檢定統計量的值 根據決策法則，下結論。

建立假設 Hypothesis Formulation 虛無假設（null hypothesis） 對母體參數值的某一假設，通常假定此假設是真實的，通常以H0表示之。 對立假設（alternative hypothesis） 對母體參數值提出與虛無假設相反的假設，通常以H1表示之。

四個結果Four Outcomes 虛無假設為真的,收集及檢視資料正確地檢定虛無假設無法拒絕。 虛無假設是不為真的，假設檢驗正確達到這一結論 虛無假設為真的，卻拒絕它。型一錯誤 虛無假設不為真的，卻無法拒絕它。型二錯誤

Quantifying Outcomes 型一錯誤的發生機率a ，（也就是拒絕一個真實的虛無假設H0之機率） 發生機率正確無法拒絕虛無假設H0 = 1 – a 。 型二錯誤的機率β，即不拒絕一個假的虛無假設之機率。 發生機率正確無法拒絕虛無假設= 1 – b

Quantifying Outcomes

Decision Rules 驗證那一個假設是對的，須透過隨機抽樣，並將此隨機樣本組成一個統計量，再以此統計量之值的大小來判斷那一個假設為真。檢定虛無假設真偽之統計量，統計上稱為檢定統計量（test statistic）。 劃分抽樣分佈變為拒絕區和接受地區 作出結論判斷是否接受H0亦或拒絕(reject)H0

假設檢定之形式 右尾檢定（right-tailed test） H0：  0（或H0： = 0 ） H1： > 0 左尾檢定 （left-tailed test） H0：  0（或H0： = 0 ） H1： < 0 雙尾檢定（two-tailed test） H0： = 0 H1：  0

雙尾檢定（two-tailed test） 1 - a 接受區 臨界值 拒絕區 a 2 a 2

左尾檢定 （left-tailed test） 接受區 拒絕區 臨界值 1 - a a

右尾檢定（right-tailed test） 拒絕區 接受區 1 臨界值 a

母體平均數μ的假設檢定—大樣本

銀行客戶等待時間的檢定 銀行經理懷疑客戶平均等待時間大於10分鐘，因此設立虛無假設與對立假設 H0：10 H1：>10 銀行經理設定顯著水準為0.05 。 銀行經理決定抽取36位客戶，故檢定統計量選擇為 拒絕域：Z> 1.645

銀行客戶等待時間的檢定 檢定統計量值 因檢定統計量之值落入拒絕域內，所以在0.05的顯著水準下，拒絕虛無假設H0；亦即，由此36位客戶的等待時間有充分證據顯示銀行客戶平均等待時間超過10分鐘。

母體平均數—小樣本（σ已知）

母體平均數—小樣本（σ未知）

銀行客戶等待時間的檢定 銀行經理懷疑客戶平均等待時間大於10分鐘，因此設立虛無假設與對立假設為 H0：10 H1：>10 銀行經理設定顯著水準為0.05 由於銀行經理想儘快瞭解結果，決定僅抽取9位客戶，故檢定統計量 拒絕域：t > 1.860

銀行客戶等待時間的檢定 檢定統計量值 因檢定統計量之值沒有落入拒絕區域內，所以在0.05的顯著水準下，不拒絕虛無假設H0。亦即，由此9位客戶的等待時間沒有充分證據顯示銀行客戶平均等待時間超過10分鐘。

使用P值 抽取樣本資料後，計算檢定統計量之值，再將其轉換成一個機率值。此機率值即為決策者在此樣本資料下，拒絕虛無假設之最小顯著水準，稱為p 值。 若 p 值小於決策者之 ，則決策者應拒絕 H0 若 p 值不小於決策者之 ，則決策者不拒絕 H0。

使用P值 p-value = probability of obtaining a test statistic value equal to or more extreme than that obtained from the sample data when H0 is true m0 m0 Test Statistic Test Statistic Lower one-tailed test Two-tailed test

銀行客戶等待時間的檢定 銀行經理懷疑客戶平均等待時間大於10分鐘，因此委託顧問公司進行調查。顧問公司設立虛無假設與對立假設為 H0：10 隨機抽取36位客戶，並計算 p值=P(Z>2.7653)=0.0028。

銀行客戶等待時間的檢定 若銀行經理的顯著水準是0.05，則因p值小於顯著水準，所以，在0.05的顯著水準下，拒絕虛無假設H0。亦即，由此36位客戶的等待時間有充分證據顯示銀行客戶平均等待時間超過10分鐘。 若此分析結果最後將由銀行總經理來定奪參考，而總經理較為保守，其顯著水準雖是0.01，但仍因p值小於顯著水準，所以在0.01的顯著水準下，仍拒絕虛無假設H0；亦即，由此36位客戶的等待時間有充分證據顯示銀行客戶平均等待時間超過10分鐘。

兩常態母體平均數差的檢定 假設二母體平均數μ1,μ2未知，但已知變異數 σ12和 σ22。 虛無假設為 H0：μ1- μ2 =△ 現自第一個母體抽取n1個隨機樣本，其樣本平均數為 X1，另外從第二個母體抽取 n2個隨機樣本，其樣本平均數為 X2 。 檢定統計量可寫成

兩常態母體平均數差的檢定 在不同的對立假設下，拒絕H0之條件如下 對立假設條件 拒絕H0之條件 H0 ： μ1- μ2 ＞△ Z > Z a H0 ： μ1- μ2 < △ Z < Z a H0 ： μ1- μ2 ≠ △ Z ＞ Z a/2或 Z＜-Z a/2