課程綱要詮釋與教學示例 林長壽 台灣大學數學系

一到四年級核心教材的分年細目..3 五年級分年細目……………………18 六年級分年細目……………………60 目次 一到四年級核心教材的分年細目..3 五年級分年細目……………………18 六年級分年細目……………………60

一到四年級 核心教材的 分年細目

一、能熟練基本加減法及九九乘法 1-n-05能熟練基本加減法。 2-n-08能理解九九乘法。 二位數乘以二位數的乘法問題。 3-n-05能熟練三位數除以一位數的直式計算。 3-a-02能在具體情境中，認識乘除互逆。 4-n-02能熟練整數的加、減、乘、除直式計算。

熟練是指計算時，能不透過表徵物(如積木、手指等) 的幫助，而能夠做加減乘除的計算。換句話說，小朋友在一年級到四年級，經過理解，經常的練習以及適當的應用後，對基本加減乘法和九九乘法應該都會背起來。 四年級對乘除計算的要求是要能掌握乘數、除數是一位數的計算，但對於乘數、除數是兩位數(但被乘數或被除數是4位數或以上)或更多位數的計算，在五年級時雖然不再有關於計算的分年細目，但仍要有適當的教學與練習。特別是對10、100甚至是1000乘除計算，要做到熟練的地步。

二、數(包括整數、分數、小數) 整數 3-n-07能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識 數線，標記整數值，並在數線上作比較、加、減 的操作。 4-n-01能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含 「億」、「兆」之位名)，並作位值單位的換算。 4-n-05能用四捨五入的方法，對大數在指定位數取概數， 並作加、減之估算。 在四年級已經認識到兆位，也認識估計的意義，同 時在三年級也教過數線。因此，在四年級完成時，學生 對整數的十進位制以及數在數線的關係已有相當了解。 在五、六年級的分年細目不再有數概念教學，但在五、 六年級的課程上，仍要把數線及大數作適當的課程安排 ，以便讓學生對大數有較好的認識。

分數 2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的 單位分數，並比較不同單位分數的大小。 同分母分數的比較與加減問題。 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」 的意涵。 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分 數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比 較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比 較，並用來做簡單分數與小數的互換。

分數在92年綱要的安排是以單位分數作為計數單位，如 是指有5個 為認識的基礎。在二、三年級的數教學，原則上，是遵循學生學習整數的經驗，而發展出來的。 四年級分數的教學是以二、三年級為基楚，而作更進一步的發展，例如在概念上能認識2÷3是指2個蘋果平分給3人，每人得到的結果，也就是 。因此，能夠增加分數作為「數」的數感。另外一方面，能認識真分數、假分數、帶分數以及帶分數和假分數的互換，而後者是學生在乘法、除法最重要的應用之一。在四年級等值分數教學是首次比較有系統的認識到二個看起來不相同的分數，其實其數值是一樣，例如2個蘋果

平分給4個人，和1個蘋果平分給2個人一樣的。因 此四年級的等值分數是首重於概念的理解，而並 非有約分或擴分的運算內涵。這就是為什麼會把 分母限制在2、3、4、5等較小的整數的原因。 要提醒的是，四年級的分數乘以整數只限於 假分數(或真分數)乘以整數，當然其乘積可以用 帶分數呈現。

小數 3-n-10能認識一位小數，並作比較與加減計算。 4-n-09能認識二、三位小數與百分位、千分位的 位名，並作比較。 數的計算。 4-n-11能用直式處理二、三位小數加、減與整數 倍的計算，並解決生活中的問題。 小數的計算，原則上是遵循整數計算的經驗。

三、代數 認識代數運算規則的前置經驗 2-n-05能作連加、連減與加減混合計算。 2-n-09能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含併式)。 3-n-06能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與除，不含併式)。 4-n-02能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 4-n-03能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學 習併式的記法(包括連乘、連除、乘除混合。) 4-n-04能作整數四則混合計算(兩步驟)。 4-a-01能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘 再除與先除再乘的結果相同，也理解連除 兩數相當於除以此兩數之積。

注意：整數四則計算的規則已包含在下面的指標 4-n-04 能作整數四則混合計算(兩步驟) 初步學習整數四則混合計算時，併式的約定如下： (1)有括號時，括號內的運算先進行。 (2)當式子中只有乘除或只有加減的運算時， 由左向右逐步進行。 (3)先乘除後加減。 在整數四則混合運算時，除法應能整除。 (1)89-71+9=18+9=27 (2)9×8÷6=72÷6=12 (3)89-(71+9)=89-80=9 (4)9×(8+3)=9×11=99 (5)100-7×8=100-56=46

最基本的代數運算規律有 1.加法的交換律。 2.加法的結合律，包括 18＋5－8＝18－8＋5 3.乘法的交換律 4.乘法的結合律，包括 18×65÷9 ＝18÷9×65 5.乘法對加法的分配律 18×(32＋18)＝18×32＋18×18 18×(32－22)＝18×32－18×22

6.另外去括號的規則： (1)91-(51+23)＝91-51-23＝40-23＝17 (2)36÷3÷4＝36÷(3×4) 上面1-4的運算規則，在一到四年級的分年細目， 從具體情境裡，認識到這些規則。五、六年級的分年 細目僅有5-n-02、5-a-03有關，但是上面的(5)、(6)需要在五、六年級透過具體情趣而逐漸熟悉。這些運算的靈活應是整個國小數學計算的總結，並且是國中代數演算的基礎，在五、六年級應該要熟練這些規則，並且要會應用這些規則去簡化計算。

四、量的教學 常用單位以及比較加、減、乘、除等計算。 已教過的常用單位有： 長度：公里、公尺、公分、毫米 容量：公升、毫升 重量：公斤、公克 面積：平方公尺、平方公分 體積：立方公分 常用單位的換算(包括小數的應用，如1公里200公尺=1.2公里等)及複名數的簡單加減

時間的教學 報讀鐘面的時刻(1、2年級) 1日=24小時，1時=60分，1分=60秒(三年級) 24時制的時間報讀(三年級) 複名數的時間量加減計算(四年級)

五、幾何 1.認識簡單平面圖形及其特性 三角形、正三角形(三邊相等；三角相等)、等腰三 角形(兩腰相等；兩底角相等)、四邊形、正方形(四 角均為直角；四邊相等)、長方形(四角均為直角)， 長方形的對邊，平形四邊形的對邊相等、角、圓等。 2.能理解平行、垂直、直角的意義以及之間的關鍵，以 及應用這些性質去認識簡單平面圖形。 3.能利用量角器實測角的度數。 4.能用圓規或直尺畫圓、半徑、直徑。 5.能用直尺或三角板畫出直角與平行線段，並用來描繪 圖形。 6.能理解長方形或正方形的面積。

五年級分年細目 詮釋與教學示例 林長壽 國立台灣大學

數與量

5-n-01能在具體情境中，解決三步驟問題。 說明： 三步驟問題是指能混合加減乘除的三步驟問題，包括列式。對多步驟問題，能列成一個算式，是國中利用符號，來列式解題的前置經驗。 例一本筆記本65元，一支筆35元，秀英買了8本筆記本及8支筆，她付了1000元，可以找回多少錢？ 列式：1000－(65＋35) × 8＝1000－100 × 8 ＝1000－800＝200

5-n-02能熟練整數四則混合計算。 說明： ■ 這是小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟練整數四則運算的性質，來簡化計算。此時數量範圍要配合年級逐漸加大。 五、六年級數的計算一方面要熟練不同型式，多步驟的計算(四年級只作兩步驟的計算)，同時也要整合5-a-02的代數運算規則，使得計算過程能夠簡化迅速。而另一方面，這樣的學習是國中代數計算能力養成的前置經驗。 例 (1)8×11－7×9＝88－63＝25 (2)123＋9×(12－5)＝123＋9×7＝123＋63＝186 (3)172－9×11＋80＝172－99＋80＝73＋80＝153 (4)9×8÷(4×3)＝9×8÷12＝72÷12＝6 或9×8÷(4×3)＝72÷(4×3)＝72÷12＝6

5-a-02能熟練運用四則運算的性質，做整數 四則混合計算。 說明： ■ 四則運算的性質指加法、乘法的交換律、加(減)法、乘(除)法 的結合律、乘法對加法、乘法對減法的分配律，及去括號規則： 例 (1)187＋69－87＝187－87＋69＝100＋69＝169 (2)387－(95＋87) ＝387－95－87＝387－87－95＝300－95 ＝205 (3)245÷(7×5) ＝245÷5÷7＝49÷7＝7 (4)25×400＝25×4×100＝100×100＝10000 (5)625×(80÷5) ＝625×80÷5＝625÷5×80＝125×80 ＝10000 (6)125×(4＋8) ＝125×4＋125×8＝500＋1000＝1500

5-n-03能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 說明： ■ 用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數 的乘積一定是此兩數的公倍數。 因數、倍數的概念是由整數系的乘法結構，自然就有的概念。數概念的形成在一到四年級是以理解十進位為主，融合數的加減乘除的運算而成。之後，以整數的乘法結構為其理解的教學，是數概念的主要教學。在國中能利用(正)整數的因數分解，來解一元二次方程式(十字叉乘法)是最重要的運用。在五、六年級，基本概念如因數、倍數、整數的分解方式、質數等應要做到熟練的地步。

5-n-04能用約分、擴分處理等值分數的換算。 說明： ■ 在4-n-08的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。在本細目 教學時，可由具體情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用 因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。

5-n-05能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 說明： ■本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一（1）分母均為一位數；（2）一分母為另一分母的倍數；（3）乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數（例如兩分母為12與18）。 ■通分是利用約分或擴分，將兩異分母的分數，變成兩同分母之等值分數後，再來做兩同分母分數的比較與加減。 ■由於本細目只作通分概念的認識，並不要求化成最簡分數（參見6-n-02）。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數。 ■注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。 ■例：當比較 ， 的大小時，由通分分別為 及 。因此，發 現不需算出12×7就可得出 ＞ 。 最後一個例子是比較有挑戰性，但是卻是很重要的 一個例子。

5-n-06能在測量情境中，理解分數之「整數相 除」的意涵。 說明： 四年級已經做過「在平分情境下」，理解分數之「整數相除」，如 (P111) ■ 例：給定一條長繩長度為35公分，以一段長度為4公分的木條去測量並標記（想成要將長繩剪成4公分長的短繩）。由整數計算知35÷4除以4＝得到8（段），但還剩下3公分。3公分的長度，相當於4公分的 ，因此可將剩下的3公分的繩子，記成段 。於是可以將整個測量結果，記成35÷4＝8＋（段）或8 （段）。

5-n-07能理解分數乘以乘數為分數的意義及計 算方法，並用來解決日常生活中的問題。 說明： ■在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童認為「乘積 一定比被乘數大」，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下，就要開始處理。 ■應以倍數的概念為整合所有乘法的概念。乘數為分數的乘法，即為分數倍。「分數倍」的理解比較抽象，可讓學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。如：一盒水果有12顆， 盒有幾顆？ 列式：12× ，而其算法可由12÷3來做， 盒有幾顆？ 12× ( 盒是 盒有4份) 其算法可以12÷3×4 ■如果要一次完成分數乘以分數，也可以深入探討長方形面積公式。例 如要處理長為 公分，寬為 公分的長方形，則可將長方形分 割成15個長為 公分，寬為 公分的小長方形，再將 小長方形與邊長1公分的正方形比較，知道其面積是 平方公分，因此總面積為 ×15＝ 平方公分。

5-n-08能認識多位小數，並作比較與加、減的 計算，以及解決日常生活中的問題。 說明： ■所謂多位小數，只是讓學童知道小數的位數，原則上跟大數一樣，可以一再細分下去。實際教學時，不特別自限於固定的位值限制即可。 ■ 要教導學童「小數點以下(後)第4位」的講法。 ■在進行多位小數教學時，要同時將已知關於小數的直式計算加以延伸，讓學童理解多位小數的計算，與小位數小數的計算方式相同。 ■教師也不妨引用自然科學的實際例子，讓學童知道在微小的世界中，小數派得上用場，例如細菌大概是0.0003公分長，更小的病毒，大概0.00001公分長。如果細菌像10元硬幣那麼大，那麼小朋友就跟聖母峰一樣高。

5-n-09能用直式處理乘數是小數乘以小數的計 算，並解決日常生活中的問題。 說明： ■教學以二位小數的互乘為原則。 ■先處理整數的小數倍的計算方式。乘數可先從0.1與0.01著手，其效果相當於移動小數點的位置。再考慮例如乘數為0.2，或乘數為1.2。

5-n-10能用四捨五入的方法，對小數在指定 位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。 說明： 例如：1.2549用四捨五入，在百分數取概數，就是1.25，而在十位數取概數就是1.3。這裡做加、減、乘、除的估算是指先取概數後，再行計算。 ■在應用上計算百分率，經常要用到四捨五入（參見5-n-12）。例如 全班有32人，女生有18人，則女生佔全班的 ，轉換成小數為 0.5625，換成整數值的百分率，則約為56％，若允許到小數一 位，則為56.3％。

5-n-11能將分數、小數標記在數線上。 說明： 1 2 3 4 5 0.4 1.3 分成十格 1 2 3 4 5 ■本細目要在數線上標示整數、分數、小數，如 ■小數的標示以一位為原則。 ■分數的標示應以如2、3、4、10等簡易分母為教學重點。 1 2 3 4 5 0.4 1.3 分成十格 1 2 3 4 5

5-n-12能認識比率及其應用（含「百分率」、 「折」）。 說明： ■百分率是最常用的比率表示法，學童應理解其意義、記法與應 用，知道100％就是1，也就是全部。例：知道 ＝0.75，可記 成75％。知道這次考試有75％的同學及格，則不及格的同學佔全 班25％，知道這相當於計算1－75％＝100％─75％＝25％。 ■在五年級處理的部分量與全部量為整數或可恰當轉化為整數的 量。例如：「100個人中有75人及格」，所以及格人數的比率是 ＝0.75。而不及格人數的比率是1-0.75＝0.25。 ■也要能處理全部量與比率已知，推得部分量的情況，例如：「全校500名學童，其中的 是女生，請問女生有多少人？」，答案 是500× ＝265

有275人，則男生佔全校人數的百分之多少？」。 100％＝1（全部），50％＝ （一半）， 25％＝ ，75％＝ ，20％＝ ， ■部分量與所佔比率已知，推得全部量的問題則到六年級再處 理（參見6-n-03，6-n-04）。 ■例：「500人的75％是多少人？」，「若全校有500人，女生 有275人，則男生佔全校人數的百分之多少？」。 ■熟練常用的百分率與分數轉換，如： 100％＝1（全部），50％＝ （一半）， 25％＝ ，75％＝ ，20％＝ ， 40％＝ ，60％＝ ，80％＝ ， 10％＝ 。

知道「書店全面七五折」的意思相當於以定價的75％計價， 若買600元的書，只要付600× ＝450元。學童應理解這樣省 ■「折」的日常用法要熟悉並能計算。小學畢業前應熟練到， 知道「書店全面七五折」的意思相當於以定價的75％計價， 若買600元的書，只要付600× ＝450元。學童應理解這樣省 了1－75％＝25％。另外要注意「七五折」不是「七十五折」 。另外要注意「七五」的用法，相當於「七點五折」，而不 是「七十五折」。 ■要處理全體中有多少子類的情況，可與統計機率的細目一 起處理。 ■日常生活中的加成，如服務費加兩成；比去年的犯罪成長率20％也是比率的例子。

5-n-14能認識重量單位「公噸」及「公噸」、 「公斤」間的關係，並作相關計算。 說明： ■本細目的單位換算與計算限於整數範圍。 ■例：如果知道練習彈奏一首鋼琴曲要5分30秒，連續彈奏三次需要 多少時間？ ■例：連續播放一首歌曲五遍共需31分15秒， 只播放一遍需要多少時間？ 5-n-14能認識重量單位「公噸」及「公噸」、 「公斤」間的關係，並作相關計算。 說明： ■ 1公噸＝1000公斤。 ■本細目的單位換算與計算可引入分數或小數，如 1公斤＝0.001公噸， 10公斤＝0.01公噸。

5-n-15能認識面積單位「公畝」、「公頃」、 「平方公里」及其關係，並作相關計算。 說明： ■ 1公畝＝100平方公尺。1公頃＝100公畝。 1平方公里＝1000000平方公尺。 ■本細目的計算可引入分數或小數，例如： 1公畝＝0.01公頃 1平方公尺＝0.000001平方公里 ■例：1平方公里＝10000公畝＝100公頃。 ■例：「若某正方形區域之公園，面積為1公頃，請問其邊長為多少公尺？」

5-n-16 （同5-s-05）能運用切割重組，理解 三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 說明： ■ 三角形面積公式＝(底×高)÷2。 ■ 平行四邊形面積公式＝底×高。 ■ 梯形面積公式＝(上底＋下底)×高÷2。

5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，及 「立方公分」、「立方公尺」間的關係，並 作相關計算。 說明： ■ 1立方公尺＝1000000立方公分。 1立方公分＝0.000001立方公尺

5-n-18（同5-s-07）能理解長方體和正方體 的體積公式。 說明： ■長方體體積公式＝長×寬×高。 ■正方體體積公式＝邊長×邊長×邊長。 ■可讓學童計算由長方體與正方體組成的簡單複合圖形，只處理相 接而不相內嵌的圖形。如下圖

5-n-19能理解容量、容積和體積間的關係。 說明： 佔有的空間，容量、容積代表的是實體內可負載的量，其區別如 下： ■容量、容積與體積均為空間大小的量。一般說來，體積代表實體 佔有的空間，容量、容積代表的是實體內可負載的量，其區別如 下： 體積：物體所佔空間的大小。 容積：某一具有確定三度空間的周界內的空間大 小，通常此空 間有容納物質可以隨時存取的功能。換言之，容積是指容 器內部空間的大小，其概念是體積概念。例如：冰箱內部 的容積。 液量：指容器內液體的量。如：水量。 容量：指容器可裝載的最大液量。

始討論，引導用多少個1立方公分積木才能填滿，才由教 師宣告盒子內部空間的體積就是這個盒子的容積。 ■ 「容積」概念的引入：可從容器內部空間的形狀和大小開 始討論，引導用多少個1立方公分積木才能填滿，才由教 師宣告盒子內部空間的體積就是這個盒子的容積。 ■ 「容積」、「容量」的關係：聯絡發生的舊經驗：盒子的容積是多少？同一個盒子的容量是多少？再由教師配合活動操作的結果宣告1公升的水所佔的空間是1000立方公分；讓兒童了解水所佔空間的體積是多少，進一步才討論容器內部空間不是長方體時，可由容量推算容積。 ■ 當兒童認識水也有體積之後，便可以討論「沉入水中的物體的體積，等於此物體所排開的水的水量，也就是水所佔空間的體積」。 1立方公分＝1毫升＝0.001公升 1公升＝1000立方公分

幾何

5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為 180度。 說明： ■操作可以測量、剪裁等方式進行。如用下圖摺紙方式理解直角三角形，另外兩角和為90°。 (兩對褶) (對褶)

5-s-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和 大於第三邊。 說明： ■ （討論活動題，不宜評量）如果學童理解兩點間的線段長度是最短距離，也可以用推理知道為什麼這個性質是正確的。 5-s-03能認識圓心角，理解180度、360度的 意義，並認識扇形。 說明： 兩個直角合起來是180°(一條線) 四個直角並置合起來是360°。

5-s-04能認識線對稱，並理解簡單平面圖形 的線對稱性質。 說明： ■能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱 軸（可能不只一條）。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性 質。 ■知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並知道對稱軸兩側 圖形全等（不需要證明）。 如一等腰三角形，經對褶後，知道高就是等腰三角形對稱軸，因此兩底角一樣。(如圖) ■知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。

5-s-06能運用「頂點」、「邊」與「面」等 構成要素，辨認簡單立體形體。 說明： ■例：正方體的各面都是邊長相等的正方形，且相對的兩面互相平 行，相鄰的兩面互相垂直。正方體總共有8個頂點、12個邊、6個 面。 ■例：正四面體4面都是邊長相等的正三角形，共有4個頂點、6個 邊。

5-s-08能認識面的平行與垂直，並描述正方 體與長方體中面與面的平行與垂直關係。 說明： ■只要具體觀察即可，不必說明面垂直與面平行的定義。

代數

5-a-01能在具體情境中，理解乘法對加法的 分配律，並運用於簡化心算。 說明： ■本細目為「檢查細目」，應併入整數教學單元中進行（參見5-n-01 ，5-n-02），不應另立單元教學。「分配律」一詞建議不出現在教 學與課本中。 ■解釋乘法直式計算時，會用到分配律，學童可以從錢幣的情境來理 解，也可以透過乘法的「排列模型」來理解。如下圖： 4×12＝4×10＋4×2。

有3打黃色鉛筆，7打粉紅色鉛筆，拆開來放在筆筒裡，共有多 少枝鉛筆？」，這個問題可以分開成黃色鉛筆12×3＝36枝，粉 ■也可透過下面的例子來理解，例：「一打鉛筆有12枝，文具店 有3打黃色鉛筆，7打粉紅色鉛筆，拆開來放在筆筒裡，共有多 少枝鉛筆？」，這個問題可以分開成黃色鉛筆12×3＝36枝，粉 紅色鉛筆12×7＝84枝，總共有36＋84＝120枝來計算，也可以 先算有3＋7＝10打鉛筆，再算共有12×10＝120枝鉛筆。所以 12×(3＋7) ＝12×10＝12×3＋12×7＝36＋84＝120。 ■例：「一束花中有10朵玫瑰、12朵康乃馨，7束花總共有多少朵 花？」，這個問題可以分開成7束花有10×7＝70朵玫瑰， 12×7＝84朵康乃馨，合起來共有154朵花；也可以先算每束有 10＋12＝22朵花，再算總共有22×7＝154朵花。所以 (10＋12) ×7＝22×7＝10×7＋12×7＝70＋84＝154。 ■解釋帶分數乘以整數的計算時，會用到分配律，如： 3 ×3＝3×3＋ ×3＝9＋ ＝10 。

5-a-03能解決使用未知數符號所列出的單步 驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。能透過 具體情境，解決用未知數符號列出之單步驟 算式填充題，並嘗試發展策略及驗算其解。 說明： ■能解決使用△、□、甲、乙、？、…等符號所列出的單步驟乘除法算式題，並嘗試發展策略解題及驗算其解（符號代表未知量）。 ■例如：「小明原有8張怪獸卡，又獲得幾張怪獸卡之後，總共有13張怪獸卡？」，學生將題目列成8+□＝13後，透過加減互逆運算，得知□的答案等於13-8。 ■例如：一包口香糖有7片，需要購買幾包才會有28片的的乘法問題， 學生將題目列成7×□＝28後，透過乘除互逆，得知□的答案等於 28÷7。 ．前面二例：8+□＝13求解時，13－8＝5， □＝5 7×□＝28，28÷7＝4，□＝4

5-a-04能用中文簡記式表示簡單平面圖形的 面積，並說明圖形中邊長或高變化時對面積 的面積。 說明： ■本細目為一「檢查細目」，不需另立單元教學。 ■例：梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，再以紀錄觀察高改變時，面積變化的情形，這是變數的前置經驗，如上底＝100，下底＝80時，梯形的面積如下表 高 2 4 6 8 10 面積 180 360 540 720 900

5-a-05能用中文簡記式表示長方體和正方體 的體積公式。 說明： ■長方體體積公式＝長×寬×高。 ■正方形體體積公式＝邊長×邊長×邊長。

統計與機率

5-d-01能整理生活中的資料，並製成長條圖。 說明： ■學童可將現成資料，藉由次數、數量或人數做成長條圖。 ■例：各國每人每日垃圾量（中國時報88.6）。因為想要了解每個人每 天會製造多少垃圾，而收集了下面的資料：台灣每個人每天的垃圾量 為1.14公斤、日本1.09公斤、新加坡1.10公斤、德國1.09公斤、美國 2.00公斤、南韓1.07公斤、英國1.34公斤、法國1.53公斤、荷蘭1.58 公斤。並將資料以長條圖表現。問：從下圖中可以看出什麼？你有什 麼想法？ 圖1

小 馨想要了解台灣哪些宗教有較多的信徒，於是從網路上收 集有關的資料，將收集到的資料分類整理後如下表，並從資料 ■例：台灣地區主要宗教的信徒人數統計（內政部，民88）。 小 馨想要了解台灣哪些宗教有較多的信徒，於是從網路上收 集有關的資料，將收集到的資料分類整理後如下表，並從資料 中挑出擁有最多信徒的6種宗教，將之以長條圖表現。 宗教別 道教 佛教 回教 天理教 一貫道 基督教 信徒人數（千人） 4505 4863 52 22 942 421 圖2

引用【台灣學童近視罹患率（康健雜誌，88.2）】，來製作 如下的長條圖，如圖3。 ■若以百分率表示資料的量，也可以看出資料顯現的資訊。如 引用【台灣學童近視罹患率（康健雜誌，88.2）】，來製作 如下的長條圖，如圖3。 圖3

5-d-02能報讀生活中有序資料的統計圖。 說明： 料。 【92年五月全國各縣市人口數】，其橫軸即具有各縣市地理位置 的規則性。 圖4 ■有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資 料。 ■圖4是以睡眠時間的長短為序來製作橫軸，而4-d-02圖7是顯示 【92年五月全國各縣市人口數】，其橫軸即具有各縣市地理位置 的規則性。 圖4

5-d-03能整理有序資料，並繪製成折線圖。 說明： 來說明有序資料。 幾個變化的資料製作折線圖，來了解對應變化間的關係。 ■本階段，不宜引進變數或函數的概念，僅須以時間、數量的變化 來說明有序資料。 ■可使用在一種有序變化下，如時間改變、數量變化等，同時對應 幾個變化的資料製作折線圖，來了解對應變化間的關係。 ■教學上，資料不宜過於複雜，且折線以不多於兩條為宜。

六年級分年細目 詮釋與教學示例 林長壽 國立台灣大學

數與量

6-n-01能認識質數、合數，並作質因數的分 解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 說明： ■在5-n-03，製作整數的因數表時，可以發現有一些整數不能再被 分解成更小的數相乘，這些數稱為質數。大於1，且不是質數的整 數稱為合數。 1不是質數也不是合數，2、3、5、7、11、13、17、19都是質數，4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20都是合數。 ■在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來。 例：60＝6×10＝（2×3）×（2×5）＝2×2×3×5， 或60＝15×4＝（3×5）×（2 ×2）＝2×2×3×5＝2²×3×5等， 每一項的乘數均由小排到大。 ■牽涉因數分解的細目（參見6-n-02），都應遵循如下原則： 質因數＜10，被分解數＜100。 ■讓學童熟悉20以內的質數之倍數（小於200）。

6-n-02能認識兩數的最大公因數、最小公倍 數與兩數互質的意義，理解對大公因數、最 小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡 分數。 說明： ■最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟 悉其意義後，再介紹短除法，計算兩數的最大公因數與最小公倍數 ，數目大小原則參見6-n-01。 ■兩數的最大公因數是1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如 14與15雖然都是合數，但兩者互質。

6-n-03能理解除數為分數的意義及其計算方 法，並用來解決日常生活中的問題。 說明： ■分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著 手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。本細目在教學 上可先處理分數除以整數的問題，再處理整數除以分數的情 況，最後處理被除數為一般分數的情形。 ■在除數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童會認為商 一定比被除數小，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師 需細心處理。最好在最容易理解的「除數為單位分數」的情況下 ，就要開始處理。

■先從「分裝」（包含除）的觀點，來處理以分數的課題。先從單位分數的情況開始。例如：「披薩4個，如果每位小朋友可分得 個，共可分給多少人？」，先理解1個披薩，每位小朋友可分得 個，則1個披薩可分給3個小朋友，因此÷ ，相當於3倍，亦即×3，因此可分給12位小朋友。（教師可以在長度測量的情境中處理這問題。） ■例：「披薩4個，如果每位小朋友可分得 個，共可分給多少人？」，由於除數變為原來 的兩倍，從包含除的經驗知道，÷ 的結果相當於÷ 的結果還要再÷2，所以÷ 的結果，相當於×3÷2。結合5-n-08，知道這相當於× 。最後將算式記為4÷ ＝4× ＝6。

■以上是答案為整數的簡單情形，答案非整數的情形宜以測量問題繼續討論，例：「一繩長3公尺， 公尺剪成一段，可剪成多少段？」，結果依照上面的計算答案為 （段），也就是7段再加上 段。由於3- ×7＝ ，的確等於 × 。因此這與以前處理的結果相同。

÷ ＝ × ＝ ＝ 。 ■由此得到一般的分數計算方式：例如： ■如果要將分數除以分數處理到最細緻（教師不見得要說明到這種地步），則需用到通分來說明。例：一繩長 公尺，以一根長 公尺的木條去度量。將 化成 ， 化成 ，以 公尺為共同單位，問題變成15÷4，等於3段加 段，其中這 段是因為剩下的 公尺相當於 公尺（也就是 公尺）的 。 ■由此得到一般的分數計算方式：例如： ÷ ＝ × ＝ ＝ 。

多少元？」、「若用一木棒測量一 長100公分之物，結果為 段，請問木棒之長度？」、「若班上戴眼鏡的小朋友有9 ■另外的除法重要課題是下列問題：「半包麵粉50元，1包麵粉 多少元？」、「若用一木棒測量一 長100公分之物，結果為 段，請問木棒之長度？」、「若班上戴眼鏡的小朋友有9 人，佔全班的30％，請問班上有少人？」，這些雖然是「平 分」情境中的問題，卻不宜用平分的方式來思考，應改用比 例方法解釋。 ■能在分數的脈絡中，理解乘除互逆，例如：知道 × ＝ ，可用 × ＝ 來檢驗（也就是知道÷ ，相當 於× ）。

6-n-04能用直式處理除數為小數以小數的計 算，並解決日常生活中的問題。 說明： ■被除數小數點位數不超過3位。 ■若直接從小數著手，先理解÷0.1，相當於×10；÷0.01，相當於×100。由此知道例如6÷0.12相當於6÷（0.01×12）＝6÷0.01÷12＝600÷12＝50，並由此說明整數除以小數之直式計算，再解釋被除數為一般 小數的情形。 ■也可直接由6-n-03著手，例如：3.24÷1.2＝ ÷ ＝324÷12×10 ，並解釋如何將此併入直式計算。 ■以上所談為一般的直式計算，但如果依照題目的情境，需要處理餘 數的問題時（例如：測量情境中，商為整數的情形），可以討論如 何處理這種情況。 ■除非要求在對商取概數，否則教師布題時，應注意商需 為有限小數。

6-n-05能作分數的兩步驟四則混合計算。 6-n-06能理解等量公理。（同6-a-01） 說明： 說明： ■本細目為小學教學關於數與量計算之總結細目。由於學童對分數 尚未熟悉，在六年級，只要求學童理解與練習即可。 6-n-06能理解等量公理。（同6-a-01） 說明： ■能理解「等式左右同加、減、乘、除一數時，等式仍然成立」的概 念。 例：1.甲＋85＝139求甲。用等量公理兩邊同減85， 甲＋85－85＝139－85 ，得甲＝54， 2.乙－15＝63，求乙。用等量公里兩邊同加15， 乙－15＋15＝63＋15，得乙＝78。 注意：不要有如100－乙＝8或98＝乙+72等類型 。

6-n-07能認識比和比值，並用來解決日常生 活中的問題。 說明： ■從日常問題中，可發現許多問題的解決，需要用到比及比值。例 如，透過單位價格如1斤麵粉16元，知道2斤麵粉32元，3斤麵粉48 元…，由此 知道這些數對共享一個關係，可運用列表的方式： ■我們將它記為1:16＝2:32＝3:48＝…，或16:1＝32:2＝48:3 ＝….，學童要能發展策略判斷4:64＝5:80是正確的。引導學童 理解前項除以後項的不變性，並說明這些數對具有共同的商，就 是比值，因此「一斤麵粉16元」與「1 元可買 斤麵 粉」是一樣的。 麵粉重量（斤） 1 2 3 4 5 價錢（元） 16 32 48

6-n-08能理解速度的概念與應用，認識速度 的常用普遍單位及換算，並處理相關的計算 問題。 說明： ■這是比或比值的應用課題。小學的速度教學一律在等速的情境中教 學。 ■教學上，可先固定一個因次，去理解速度大小的意義，例：100公 尺賽跑，小英跑20秒，小麗跑25秒，那麼小英跑得比小麗快。 ■例：若小英5秒跑25公尺，10秒跑50公尺，15秒跑75公尺，20秒跑100公尺（可運用列表的方式，參見6-a-06），發現這些數對形成比的關係。可運用5-n-15，知道可用「每秒跑5公尺」或「跑1公尺需要0.2秒」來刻畫這個關係。續引前例，以相同的推理知道小麗跑步的速度是每秒4 公尺，而小英跑得比小麗快的事實，可以用5＞4來說明。 ■由此引入速度的公式：速度＝ 或距離＝速度×時 間。並能應用此公式解題。引導學生觀察、發現 「當速度一定時，距離與時間成正比」。

估計，他每秒可走1.5公尺，則家裡到學校的距離大概 有多遠？」，在這樣的例子中，讓學童理解速度單位換算規 ■例：「小明從家裡走到學校，花了15分鐘，如果小明自己 估計，他每秒可走1.5公尺，則家裡到學校的距離大概 有多遠？」，在這樣的例子中，讓學童理解速度單位換算規 則的必要。另外，雖然速度可能不均勻，但是這樣的估計， 對日常應用還是有意義的。 ■常用的速度為每小時幾公里、每分鐘幾公尺與每秒鐘幾公尺，公 里/時，公尺/分或公尺/秒。學童應能處理如下問題：「如果小 麗每秒可走1公尺，則小麗每時可走多少公里？」，小麗每時可 走1×60×60＝3600公尺，也就是3.6公里。 ■本細目的時間單位換算與計算可引入分數，應讓學生也應熟悉時 間單位的分數換算，如： 20分鐘＝ 小時。

6-n-09能理解正比的現象，並發展正比的概念 ，解決有關的日常生活中的問題。 說明： ■正比關係與6-n-08密切相關，如速度固定時，距離與時間成正； 正方形的周長與邊長成正比。但比的相等關係強調將相比的兩類 量寫在一起，直覺上較簡單。而正比則是兩類量關係中的一種， 應採用列表的方式紀錄，並強調要使用比值來紀錄正比關係，兩 者間的關係，可運用列表的方式來統整，如 麵粉重量（斤） 1 2 3 4 5 價錢（元） 16 32 48

比關係，且其比值就是單位換算的值。可以問學童，如果是 面積的情況呢？ 現象，並不見得是正比關係，並能判斷。例如：爸爸的年齡與女 ■知道用不同長度單位去測量長度時，兩種記法的量呈現正 比關係，且其比值就是單位換算的值。可以問學童，如果是 面積的情況呢？ ■也要讓學童知道兩量在變化時，一量增加，另一量也跟著增加的 現象，並不見得是正比關係，並能判斷。例如：爸爸的年齡與女 兒的年齡，雖然都會增加，但非正比。又例如：正方形的面積與 邊長的關係並不是正比關係。

6-n-10能利用常用的數量關係，列出恰當的 算式，進行解題，並檢驗解的合理性。 說明： ■本細目在六年級課程應佔相當份量，作為國小課程之總結。本細 目之重點在解題，希望能整合國小階段所學到之數、量、運算、 數量關係，解未知數等式之經驗，進行應用問題之解題，包含說 明題意，列式表述問題，發展策略解題。傳統之應用問題：雞兔 問題、年齡問題、龜兔賽跑等，皆屬於本細目。 ■希望學童能分析問題，列出多步驟之算式來解題（不一定用算 式填充題）。 ■常用的數量關係包括：和不變、差不變、積不變、比例關係等。 ■例：（年齡問題）「小麗今年12歲，爸爸與小麗的年齡相差24歲， 再過幾年爸爸的年齡是小麗的兩倍？」

90分，問小明的數學要考多少分才會讓四科平均達到88分？」 步的速度是每秒4公尺，兩人賽跑，如果小麗在小英前方 ■例：（平均問題）「小明的國語、社會、自然三科平均為 90分，問小明的數學要考多少分才會讓四科平均達到88分？」 ■例：（追趕問題）「小英跑步的速度是每秒5公尺 ，小麗跑 步的速度是每秒4公尺，兩人賽跑，如果小麗在小英前方 40公尺，請問小英何時可以趕上小麗？」 ■例：（雞兔問題）「倉庫中有一種輪胎100個，可以裝在六 輪小貨車上，也可以裝在四輪汽車上，今天裝配了22輛車子 ，剛好將輪胎都用光，請問這些車子中，有幾輛是六輪小貨 車，有幾輛是四輪汽車？」

6-n-11 （同6-s-03）能以適當的正方形單 位，對曲線圍成的平面區域，能以適當的正 方形單位估算其面積。 說明： ■本細目為「次要細目」。 ■對曲線圍成的平面區域進行面積的估算。只要能估計面積的上下限 即可，不需要對跨周界的面積單位，進行更細緻的估算。 6-n-12 （同6-s-044）能認識理解圓面積與 圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。 說明： ■可由圓周長的實測理解圓周長與直徑成正比率，其比例比率(比值) 稱為圓周率，在教學上教師應說明將圓周率定大約為3.14。 ■理解圓面積面積公式為圓周率×半徑×半徑。 ■簡單扇形面積的計算可與分數平分的操作相互加強。 知道半圓、 圓、 圓的面積計算方式。

6-n-13 （同6-s-06）能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 說明： 例1一直立三角柱體的底面積為100平方公分，高為20公分， 求此柱體的體積？ 柱體＝100×20＝2000(立方公分) 例2一直立四角柱體的底面積為800平方公分，體積320000立 方公分，求此柱體的高？ 高＝ ＝400(公分)

幾何

6-s-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾 何問題。 說明： ■例：由三角形的內角和為180度（參見5-s-01），推知四邊形之 內角和為360度。 ■例：能計算複合或重疊圖形的面積或體積，如下圖：

6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、 角度與面積的影響，並認識比例尺。 說明： ■從影印機的縮小放大（如50％），利用實測，知道任兩點之間 的距離也以相同的比例縮小放大（如變成一半），但是角度沒 有變化（而面積卻變成原來的 × ＝ ）。如果將圖形 放大成3倍，角度不變，長度變3倍，但面積變成3 ×3＝9倍。 ■能利用平行四邊形、三角形與梯形的面積公式，說明面積變 化的事實。 ■介紹地圖的使用，認識比例尺，並經由地圖的實測來計算距離。

代數

6-a-02能使用未知數符號，將日常生活具體 情境中的的問題列成兩步驟的算式題，並作 兩步驟的嘗試解題及驗算其解。 說明： ■本細目為「次要細目」。 ■本細目之發展為讓學生嘗試使用△、□、甲、乙、？、…等符號， 將具體情境中之問題列成含有△、□、甲、乙、？、…等符號的算 式，透過加減互逆運算、乘除互逆運算、四則運算規則等經驗，學 童應可依題意與自己的解題步驟，將解法列出。所以布題應貼近學 生生活面，提供學生熟悉的問題情境，協助學生思考。 ■學生使用△、□、甲、乙、？、…等符號，將具體情境中之問題列 成算式後，可讓學生再嘗試將具體情境中之問題列成含有x、y、… 等符號的算式。

難。本細目旨在讓學童練習根據問題的敘述，將欲求的答案 用未知數表示，並根據題目的敘述，列出恰當的算式填充題 ■對國小學童，運用未知數來列出問題中的數學關係，比較困 難。本細目旨在讓學童練習根據問題的敘述，將欲求的答案 用未知數表示，並根據題目的敘述，列出恰當的算式填充題 。由於只是代數的前置經驗，在學童列題時不管未知數出現 在哪裡都可以（例如：15＋5×□＝45）。難度的上限為兩步 驟問題。 ■例如：「小明買一支15元的原子筆和5枝鉛筆， 總共花了45元，請問一支鉛筆多少錢？」，學生可以依題意列式成15＋5×□＝45，或列出15＋5×甲＝45的算式，透過對問題情境的了解，可以發現全部所花掉的錢減去原子筆的錢就是5枝鉛筆的錢，所以5×□就等於30元，再透過30÷5即可算出一支鉛筆的錢。 ■本細目與四年級及五年級相關能力指標之差異為符號係數可以不是1，但建議為整數。 ■本細目配合分數計算之教材，計算之結果可為分數。

6-a-04能在比例的情境或幾何公式中，透過 列表的方式認識變數。 說明： ■本細目為「次要細目」，不必另立章節。 ■例：當變化長方形的邊長時，長方形可能變化為正方形。這 時面積公式也會變為相對應的面積公式。 ■例：當變化梯形的一個平行邊長時，梯形可能變化為平行四 邊形或三角形。這時面積公式也會變為相對應的面積公式。

20秒跑100公尺，用一維表格清楚紀錄（如下表），有助於 學童釐清其關係。 ■例：若小英5秒跑25公尺，10秒跑50公尺，15秒跑75公尺， 20秒跑100公尺，用一維表格清楚紀錄（如下表），有助於 學童釐清其關係。 ■可以空下某些位置，讓學童填寫，在這個過程中讓學童理解 這是 兩個在變化的量，但是這兩個量有一個關係，此即正比 關係。 ■這是國中變數、函數的前置經驗，不宜過份評量。 時間（秒） 5 10 15 20 30 40 50 60 距離（公尺） 25 75 100 200 300

6-a-05能用中文簡記表示圓面積、圓周長與 柱體的體積公式。 說明： ■圓面積＝半徑×半圓弧長×半徑＝， 或是圓面積＝半徑×半徑×圓周率×半徑×半徑。 ■圓周長＝直徑×圓周率＝， 或是圓周長＝半徑×2×半徑×圓周率。 ■柱體體積＝底面積×高。

統計與機率

6-d-01能整理生活中的資料，並製成圓形圖。 說明： ■本細目應納入6-s-04扇形面積的教學活動，不須另立教學單元。 ■若無先後、大小、位置關係的資料也可以圓形圖來表現。教 學時，可以各組次數除以所有資料次數總和所得的百分率或 比值，轉換成圓心角的角度後來製作圓形圖。 ■例：對50位國中男生最喜歡的休閒活動作調查後，將各項活 動的人數加以整理後如表1，來製作圓形圖，如圖1。 8 12 7 15 人數 畫圖 聊天 閱讀 跳繩 打籃球 活動別 表1 圖1

■圖1以百分率來取代人數，可以從圓形圖中看出喜好各項活動人數的比例。若將各組資料以人數表示，也可由圓形圖中看出各組資料間的相對關係。 圖2