八年级下数学课题学习 格点多边形的面积计算 数格点 算面积
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形. 概念 A B C D E
你会求图中格点多边形的面积吗？请试一试！ 问题1
A A 补 E 割 E B B C D C D
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为a，它的边界上的格点数为b，那么S与a、b三者之间有怎样的数量关系呢？ 问题2 A B C D E 设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为a，它的边界上的格点数为b，那么S与a、b三者之间有怎样的数量关系呢？
活动一 如图①②③④都是满足条件a=0的格点多边形，请填写表格： 3 0.5 4 1 1.5 5 6 2
活动二 如图①②③④都是满足条件a=1的格点多边形，请填写表格： 3 1.5 4 2 5 3 6 3
2 3 4 活动三 S a b 如图①②③都是满足条件a=2的格点多边形，请填写表格： 6 2 10 4 6 2 图形序号 S a b ① ② ③ … 如图①②③都是满足条件a=2的格点多边形，请填写表格： 6 2 10 4 6 2 2 3 4 当a=2时，S与b之间又有什么关系呢？
3 6 5 4 3 4.5 5 3 活动四 S a b 如图①②③都是满足条件a=3的格点多边形，请填写表格： 图形序号 S a b ① ② ③ … 如图①②③都是满足条件a=3的格点多边形，请填写表格： 3 6 5 4 3 4.5 5 3 当a=3时，S与b之间的关系又发生了怎样的变化呢？
活动任务 设格点多边形的面积为S，它的边上的格点数为b，内部的格点数为a。 探究S与a、b之间的数量关系。
猜想归纳
背景介绍 ☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。 ☆ 1889年发现了S、a、b 三者数量关系的“皮克公式”，并进行了证明，得到“皮克定理”。 ☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一。
学以致用 b=15；b=17，红色多边形的S较大？ b=15；a=17，S=7.5+17-1=23.5 a=17；a=16，黄色多边形的S较大？ b=17；a=16，S=8.5+16-1=23.5
拓展研究 如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
拓展研究 如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
活动小结
3 3 3 3 3 3 3
预备知识 格点多边形的面积记为 S 格点多边形的内部的格点 的数量记为a 格点多边形的边上的格点 的数量记为b
问题情境 b=15；b=17，红色多边形的S较大？ a=17；a=16，黄色多边形的S较大？
探究模拟 探究a=0的格点多边形中S与b之间的数量关系 a b b 3 0.5 S= b－1 4 1 1.5 5 2 6
探究开始啦！
验证猜想 你将如何验证归纳所得 S= 的正确性？
活动一 S a b 1 4 2 6 3 8 当a=0时，S与b有什么关系？ 如图①②③都是满足条件a=0的格点多边形，请填写表格： 图形序号 … 如图①②③都是满足条件a=0的格点多边形，请填写表格： 1 4 2 6 3 8 当a=0时，S与b有什么关系？
如图①②③都是满足条件a=1的格点多边形，请填写表格： 活动二 图形序号 S a b ① ② ③ … 如图①②③都是满足条件a=1的格点多边形，请填写表格： 2 4 1 1 5 2.5 1 9 4.5 当a=1时，S与 b－1仍相等吗？