哈尔滨市阿城区第一中学 授课教师：孙玲

探究引入： 问题一：将一元人民币兑换成角票，共有多少种不同的兑换方法？ 10种 问题二：按照美国著名经济学家米尔顿·弗里德曼的观点，世界上所有的花钱都可以归结为以下情形：钱可能是自己的，也可能是别人的；花钱可能为自己，也可能为别人.据此分析共有多少种不同的花钱方式？ 4种

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

思考1：用一个大写字母或者一个阿拉伯字母给班级的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情有几类方案 每类方案能否独立完成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 给班级的座位编号 两类 能 26种、10种 26+10=36

思考2：从甲地到乙地，可以乘火车，或者乘汽车。一天中火车有4 班, 汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情有几类方案 每类方案能否独立完成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 从甲地到乙地 两类 能 4种、2种 4+2=6

思考3：从师大声乐系某6名男生或8名女生中任选一人表演独唱，共有多少种不同的选派方法？ 问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情有几类方案 每类方案能否独立完成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 任选一人表演独唱 两类 能 6种、8种 6+8=14

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。 说明： 1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.

5+4=9 例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 5+4=9 变式：如果A大学也有数学专业，那么这名学生可能的专业选择共有多少种？

探究： 如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有 种不同方法，在第2方案中有 种不同方法，在第3方案中有 种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？ 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种方法，在第2方案中有种不同方法，在第3方案中有种不同方法，在第n方案中有种不同方法，

思考4：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少不同的走法 ？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3×2＝6种不同的走法．

问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情要分几步 每步方法能否独立完成这件事情 每步方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 从甲到乙地 两步 不能 3种，2种 3x2=6

用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 思考5： 用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 这个问题与前面的座位编号不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任何一个，都可以给出一个座位号码。而在这个问题中，号码必须有一个英文字母和一个座位下标的阿拉伯数字组成，得到一个号码必须先确定一个英文字母后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤。如图

字母　　　　　数字　　　　　得到的号码 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 树形图

问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情要分几步 每步方法能否独立完成这件事情 每步方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 给座位编号 2步 不能 6种、9种 6x9=54

因此共有6×9＝54个不同的号码 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同方法，做第2步有n种不同方法，那么完成这件事共有 N=mxn 说明： 1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.

例2 设某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男女各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的方法 分析：选出一组参赛代表，可以分为两个步骤：第一步，选男生；第2步选女生。 解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择。 根据分步乘法计数原理，共有30x24=720种不同选法。

探究： 如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 种不同方法，做第2步有 种不同方法，做第3步有 种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事需要n个步骤，在第1步中有 种方法，在第2步中有 种不同方法，在第3步中有 种不同方法，在第n方案中有 种不同方法，那么完成这件事有多少种不同方法？

例3 书架有三层，其中第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本书，有多少种不同的取法？ （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第1类办法从第 1层中任取一本书, 共有4 种不同的方法; 第2类办法, 从第2层中任取一本书, 共有 3 种不同的方法;第3类办法：从第3层中任取一本书,共有 2 种不同的方法 所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4+3+2= 9 种。

例3 书架有三层，其中第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本书，有多少种不同的取法？ 解：(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取2本文艺书，有3中方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=4x3x2=24

N=3x2 例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，求共有多少种不同的挂法？ 解法一：从3幅画中选出2幅分别挂在左右两边墙上，可以分成两个步骤完成：第1步，从三幅中选一幅挂在左墙上，有3种选法：第2步，从剩下的两幅中选一幅挂在右墙上，有2种选法；根据分步乘法计数原理，不同的挂法的种数是 N=3x2 解法二：第1步，从2幅画中选2幅有3种选法（“甲乙”、”甲丙“、“乙丙")；第2步，将选出的2幅画挂号，有2种，将选出的2幅画挂好，有2种挂法，所以共有3x2=6种挂法。

例5 如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第1类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第2类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。 甲地 乙地 丙地 丁地

课堂练习 1.填空： （1）一件工件可以用2种方法完成，有5人只会用第1，另有4人只会用第2种完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法种数是（ ） 9 （2）从A村去B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村到B村去C村，不同的路线的条数（ ） 6 2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三学年的学生4名，问： （1）从中任选1人参加接待外宾的工作，有多少种不同的选法？ 12 （2）从2个年级的学生各选1人参加外宾的工作，有多少种不同的选法？ 60

3、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？ 最多可以给1053个程序命名

4、 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？ Ａ Ｕ Ｃ Ｇ

小结：分类计数与分步计数原理的区别和联系 加法原理 乘法原理 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 联系 完成一件事情共有n类 办法，关键词是“分类” 完成一件事情,共分n个 步骤，关键词是“分步” 区别一 每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。 区别二 每类办法都能独立完成 这件事情。 各类办法是互斥的、 并列的、独立的 区别三 各步之间是相关联的

课后作业： 题篇