生活中的幾何圖形 點、線、角 三角形 四邊形 圓與扇形 自我評量

上面是一些在生活中常見的圖形。國小時，我們已經認識了一些圖形，如三角形、四邊形、圓，也知道一些比較特殊的圖形，如直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形等，這些都是「平面的幾何圖形」。

「幾何」一詞在我國古代原為「多少」之意，而 Geometry 的原意為「測量大地之學」。 明朝時（西元 1607 年）利瑪竇、徐光啟翻譯古希臘時期歐幾里德（Euclid of Alexandria，西元前 325-西元前 265）的經典名著《原本》（Elements），因為書籍內容大多為討論圖形相關內容，所以將書名加上「幾何」二字，成為「幾何原本」。由於「幾何」一詞能同時兼顧 Geo 的音與義，從此「幾何」一詞就成為探討圖形性質這門學科的名稱。

頂點和邊是幾何圖形最基本的元素。「點」是幾何中最基本的圖形，我們用「點」來表示位置，而不考慮它的大小。 習慣上我們用英文字母A、B、C、P、Q、……等來代表點，如圖2-1。 圖2-1

平面上相異兩個點，可以用直尺畫出一直線通過這兩個點，事實上，通過相異兩點的直線僅有一條。也就是說，平面上相異兩點恰可決定一直線。 我們可以用英文字母如 L、M、……來代表直線；有時平面上有多條直線，為了容易區分，也會用 L1、L2、……來代表直線。 如果已經知道 A、B 是直線上的兩個點，可以將該直線記為 或直線 AB（ 也可以記為 或直線 BA ），如圖2-2。在平面幾何中，直線是沒有寬窄，而且可以無限延長的。

線段AB（ ） 圖2-2

如果A、B是直線L上的相異兩點，直線 L在A、B兩點間的部分，記為 或線段AB（也可以記為 或線段BA ），如圖2-2，其中A、B 兩點是 的端點。

以固定的一點A為端點，通過B點並無限延長的線，稱為射線AB，可記為 。但　　與 代表不同的射線，如圖2-3。

當我們畫 時，是以線段連接A、B 兩點而成；而 的畫法，則是將 的兩端再延長一些。同學們可仔細觀察圖2-2及圖2-3中 、 、及 的畫法，看看有何不同。

如右圖，已知平面上A、B、C、D、E 五點， 請畫出 、 、 、 。

有共同端點的兩射線可形成一個角。如圖 2-4， 與 所形成的角，通常以頂點 A 來記錄，可以記為∠A，也可以記為∠BAC 或∠CAB。 我們也用∠A 來表示該角的度數。例如，若∠A 的度數為 53°，則可記為∠A＝53°。 圖 2-4

如果一個角的度數大於 0° 且小於 90° ，稱為銳角；大於 90°，小於 180°稱為鈍角；等於 90° 稱為直角。 一個平角為 180°，一個周角為 360°。

∠A、∠B 是兩個已知角， 若∠A 的度數比∠B 大，記為∠A＞∠B； 若∠A 的度數比∠B 小，記為∠A＜∠B； 若∠A 與∠B 的度數相等，記為∠A＝∠B。 若∠A＋∠B＝180°，則我們稱∠A 和∠B 互為補角，或稱∠A 和∠B 互補。 若∠A＋∠B＝90°，則我們稱∠A 和∠B 互為 餘角，或稱∠A 和∠B 互餘。

如圖 2-5， A、 C、 B 三點在一直線上（三點共線），∠ACD 和∠BCD 形成一個平角，所以∠ACD 和∠BCD 互補。而如圖 2-6， 垂直 ，所以∠ABD和∠CBD 互餘。

1 補角和餘角 已知∠A＝125°，且∠B 與∠A 互補，求∠B。 解 ∠B 與∠A 互補，即∠A＋∠B＝180°。 ∠B＝180°－∠A＝180°－125°＝55°

1.若∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互餘，且∠A＝127°，求∠C。 ∠B＝180°－∠A＝180°－127°＝53° ∠C＝90°－∠B＝90°－53°＝37°

2.若∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互補，且∠A＝100°，求∠C。 ∠B＝180°－∠A＝180°－100°＝80° ∠C＝180°－∠B＝180°－80°＝100°

如圖2-7，直線L與直線M相交於一點，形成四個角，此時我們可以在角的內部靠近頂點的地方，寫上數字來命名。例如，圖2-7中有∠1、∠2、∠3、∠4 四個角。

兩直線相交時產生的四個角，其中不相鄰的兩個角，稱為一組對頂角；相鄰的兩個角稱為鄰角。在圖2-7 中，∠1 和∠3 為一組對頂角，∠2 和∠4 則是另一組對頂角。 因為 所以∠1＋∠2＝∠2＋∠3 ∠1＝∠3 同理，∠2＝∠4。 ∠1＋∠2＝180° ∠2＋∠3＝180°

也就是說， 兩直線相交，對頂角相等，鄰角互補。

如右圖， 、 交於一點，且∠1＝47°，求∠2、∠3、∠4 的度數。 2 對頂角的應用 配合習作基礎題 1 如右圖， 、 交於一點，且∠1＝47°，求∠2、∠3、∠4 的度數。 解 ∠2＝∠4＝180°－∠1＝180°－47°＝133° ∠3＝∠1＝47°

用線段連接不在同一直線上的三個點A、B、C，可以作出一個三角形，記為△ABC，如圖2-8。其中A、B、C三點稱為△ABC的頂點， 、 、 稱為△ABC的邊，∠A、∠B、∠C稱為△ABC的內角。

除了一般三角形外，我們還曾經學過一些特殊三角形。例如，直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形與正三角形。以下我們將說明這些三角形。

直角三角形：有一內角為直角的三角形。如圖2-9，△ABC中，∠B＝90°，直角的對邊 稱為斜邊， 、 稱為股。 鈍角三角形：有一內角為鈍角的三角形。如圖2-10，∠A＞90°，所以△ABC為鈍角三角形。 銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形，如圖2-8。

直角三角形 鈍角三角形 圖2-9 圖2-10

等腰三角形：有兩邊等長的三角形。如圖2-11 ，△ABC中，若 ＝　 ，則 、 稱為腰， 稱為底邊， ∠B、∠C 稱為底角，∠A 稱為頂 角。 等腰三角形 圖2-11

正三角形：三邊長均相等的三角形，也稱為等邊三角形。如圖2-12，△ABC 中，若 ＝ ＝ ，則△ABC 為正三角形。正三角形的三內角相等，∠A＝∠B＝∠C＝60°。正三角形是等腰三角形的一種，但等腰三角形不一定是正三角形。 正三角形 圖2-12

若已知三角形有一個角是銳角，是否可確定此三角形為銳角三角形？ 必須三個角都是銳角，才可確定一個三角形是否為銳角三角形。

正如太陽的光芒使繁星失色，學者提出代數問題而使滿座高朋遜色；若他能給予解答，則更使同儕相形見絀。 ——婆羅門笈多(Brahmagupta，598-670)

一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。如圖2-13，連接頂點A、C得 ，連接頂點B、D得 ，在四邊形ABCD中可以連接出兩條對角線 、 。 配合習作基礎題 2 一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。如圖2-13，連接頂點A、C得 ，連接頂點B、D得 ，在四邊形ABCD中可以連接出兩條對角線 、 。 圖2-13

日常生活中我們也常見到一些特殊的四邊形。例如平行四邊形、長方形、菱形、正方形、梯形及箏形等。

平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。如圖 2-14，平行四邊形 ABCD 中， 平行 ， 平行 。有關平行四邊形的性質，我們將在第4章詳細討論。

平行四邊形 長方形 圖2-14 圖2-15

菱形：四邊等長的四邊形，如圖2-16。 正方形：四邊等長且四個角都是直角的四邊形，如圖2-17。正方形是長方形的一種，也是菱形的一種。但菱形及長方形都不一定是正方形。

菱形 正方形 圖2-16 圖2-17

梯形：只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊分別稱為上底及下底，不平行的兩邊稱為腰。如圖2-18，四邊形ABCD中， 平行 ， 、 稱為上底及下底， 、 稱為腰。當一個梯形的兩腰相等時，我們 稱它為等腰梯形。 箏形：有兩組鄰邊分別等長的四邊形，也稱為鳶形。如圖 2-19，四邊形 ABCD中， ＝ ， ＝ ，我們就稱 ABCD 為箏形。

梯形 箏形 圖2-18 圖2-19

1.由上頁的說明，請問長方形可以算是平行 四邊形的一種嗎？ 2.由上面的說明，請問正方形可以算是平行 是 是

除了四邊形之外，還有五邊形、六邊形等多邊形。如果一個多邊形的各邊長均相等且每一內角也相等，這樣的多邊形稱為正多邊形。例如，正五邊形、正六邊形、正七邊形等，如圖2-20。

如果一個多邊形的對角線都在圖形內部，這樣的多邊形稱為凸多邊形；如果一個多邊形有任意一條對角線（或對角線的一部分）在圖形外面，這樣的多邊形稱為凹多邊形，如圖2-21。 在本教材中，如果沒有特別說明時，我們討論的多邊形都是指凸多邊形。

在大多數的科學，新的世代要推倒舊世代所修築的東西；一個人所樹立的，要由另一個人加以摧毀。只有數學，每一代都在舊建築上增添一層樓。 ——漢克（Hermann Hankel，1839-1873）

在日常生活中，我們常見到許多圓形的物品。例如，硬幣、時鐘等。 國小時，我們已經學會用圓規畫圓。你看過木工師傅如何不用圓規畫圓嗎？我們可以將一條繩子的一端固定在一點上，另一端綁上鉛筆，將繩子拉緊後繞固定點(圓心)旋轉一圈，就可以畫出一個圓。

在平面上和一個定點等距離的所有點所形成的圖形就是圓，這個定點稱為圓心，圓心到圓上任一點的距離稱為半徑。如果圓心為點O，我們就稱此圓為圓O。 圖2-22

連接圓上任意兩點所成的線段稱為弦。如圖 2-23， 即為圓O的弦。如果一弦通過圓心，此弦就是直徑。任意一條直徑將圓分成相等的兩部分，稱為半圓。 圖2-23 圖2-24

一弦將圓周分成兩部分，兩部分都稱為弧。小於半圓的弧稱為劣弧，大於半圓的弧稱為優弧。圖2-24 中，弦 將圓周分為兩個弧，這兩個弧有相同的端點，都可記為AB。但為了加以區別，通常我們將其中的劣弧以AB 表示，而優弧則在其上多取一點C，以ACB 表示。在本教材中，如果沒有特別指明時，AB 都是指劣弧。 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 弦 與 AB 有相同的端點，我們說弦 所對的弧為AB，而AB 所對的弦為　 。 ︵

試說明半徑是不是圓的一弦？直徑是不是圓的一弦？ 半徑有一端點不在圓周上（在圓心），所以半徑不是弦。直徑是一圓中最長的弦。

圓上一弦與其所對的弧所圍成的圖形稱為弓形，如圖2-25。 圓的兩半徑及一弧所圍成的圖形稱為扇形。如圖2-26。 扇形中兩半徑的夾角稱為圓心角。如圖2-26 中，∠AOB 、∠COD都是圓心角。若圓心角為θ（讀作theta）度，則0＜θ＜360。 圖2-25 圖2-26

在國小時，我們曾經學過圓的面積是「半徑 × 半徑 × 3. 14」，事實上3. 14是圓周率的近似值。在國中階段，我們不再用3 在國小時，我們曾經學過圓的面積是「半徑 × 半徑 × 3.14」，事實上3.14是圓周率的近似值。在國中階段，我們不再用3.14 代表圓周率，習慣上用希臘字母「π」（讀作pai）來表示。也就是說，如果一圓的半徑為r，則此圓的面積為r‧r‧π＝πr 2，此圓的周長為2‧r‧π＝2πr。

那麼扇形的面積該如何計算呢？我們知道一個周角是360°，如果將一周角分成360等分，則圓心角1°的扇形面積為πr 2‧ ，此扇形所對的弧長為2πr‧ 。 圖2-27

如右圖，扇形AOB 中， ＝6 公分，∠AOB＝60°，求此扇形的周長及面積。 配合習作基礎題 3 3 扇形面積和周長 如右圖，扇形AOB 中， ＝6 公分，∠AOB＝60°，求此扇形的周長及面積。 解 扇形周長＝弧長＋兩半徑長 ＝2‧π‧6 ‧ ＋2 × 6 ＝2π＋12（公分） 扇形面積＝ π‧62 ‧ ＝6π（平方公分）

求右圖扇形的周長及面積。 周長＝ 2‧π‧10‧ ＋10 × 2 ＝ π＋20（公分） 面積＝π‧102‧ ＝ π（平方公分）

如右圖，正方形ABCD的邊長為10公分，且ABC為一扇形，求紅色區域的面積與周長。 4 扇形的應用 配合習作基礎題 4 如右圖，正方形ABCD的邊長為10公分，且ABC為一扇形，求紅色區域的面積與周長。

解 正方形ABCD 的面積＝10 × 10＝100 (平方公分) 扇形ABC的面積＝ π‧102‧ ＝25π(平方公分) 紅色區域的面積＝100－25π（平方公分） 紅色區域的周長＝ ＋ ＋AC ＝10＋10＋2‧π‧10‧ ＝20＋5π（公分） ︵

如右圖，正方形ABCD的邊長為8公分，四個角落各有一半徑為4公分的扇形，求綠色區域的面積及周長。

綠色區域面積＝正方形面積－四個扇形面積 ＝82－（π‧42‧ ）× 4 ＝64－16π（平方公分） 綠色區域周長＝（2‧π‧4‧ ）× 4 ＝ 8π（公分）

1.互補：若∠A＋∠B＝180°，則稱∠A 和∠B 互補。

2.直角三角形：有一內角為直角的三角形。 鈍角三角形：有一內角為鈍角的三角形。 銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形。 等腰三角形：有兩邊等長的三角形。 正三角形：三邊長均相等的三角形。

3.平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。 長方形：四個角都是直角的四邊形。 菱形：四邊等長的四邊形。 正方形：四邊等長且四個角都是直角的四邊 形。 梯形：只有一組對邊平行的四邊形。 箏形：有兩組鄰邊分別等長的四邊形。

4.扇形面積與周長：圓心角θ度，半徑為r 的扇 形面積為πr2 ‧ ，周長為2πr ‧ ＋2r 。

2-1 自我評量 1.∠A 的補角和∠B 的餘角度數相同，已知∠A＝108°，求∠B。 180°－∠A＝90°－∠B 180°－108°＝90°－∠B 72°＝90°－∠B ∠B＝18°

2.如右圖，A、B、C 三點在同一 直線上，D、B、E 三點也在同 一直線上，且∠ADC 和∠ECD 都是直角，∠DBC 為鈍角，以 A、B、C、D、E五點為頂點， 所構成的三角形中，哪些是直 角三角形？哪些是鈍角三角形 ？哪些是銳角三角形？ △ADC、△ECD 為直角三角形， △BDC 為鈍角三角形， △ABD、△EBC 為銳角三角形。

3.如右圖，求著色部分弓形的面積。 著色部分的面積 =扇形ABC面積－三角形ABC面積 = × π × 62 － × 6 × 6 = 9π－18

4.如右圖，ABCD為正方形，邊長 ＝8公分，且藍色區域為兩扇形重疊的部分，試計算藍色區域的面積與周長。 藍色區域面積＝扇形ABC面積＋扇形ADC面積 －正方形ABCD面積 ＝π‧82‧ ＋π‧82‧ －82 ＝32π－64（平方公分） 藍色區域周長＝(2‧π‧8) × × 2＝8π（公分）

邏輯是不可戰勝的，因為要反對邏輯必須使用邏輯。 ——布特魯（ Pierre Leon Boutroux， 1880-1922） ′