格点上的赌博 格点场论介绍 北京大学理论物理所 刘川

古龙式的开头

WWWW.lattice.com What 场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法 Why 提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究量子场论的非微扰特性 Who K. G. Wilson: 格点场论之父 Where 粒子物理、统计物理

金庸式的开头 从我们所知道的自然界谈起： 什么是量子场论  什么是格点量子场论  。。。。。。。

提纲 格点量子场论的简介 格点量子场论的研究方法： 结束语： 从我们所知道的自然界谈起： 什么是量子场论  什么是格点量子场论  什么是量子场论  什么是格点量子场论  格点量子场论的研究方法： 理论基础（path integral） 实战经验（Monte Carlo） 几个例子：统计模型，Higgs质量，QCD 结束语：

第一部分 什么是格点量子场论

God-given units “最自然”的单位制 只有一个量纲，可以取为能量，也可以取为长度，二者量纲互为倒数： 长度、时间同量纲：(能量)-1 质量、动量、温度同量纲： (能量)＋1

尺度 宇观：宇宙尺度 1010ly＝1018 m 宏观：人类尺度 103 －100 m 介观：纳米 尺度 10－9 －10－8 m 微观： 10-10 －??? 原子分子 10-10 m 原子核 10-15 m 基本粒子 10-19 m 37个量级！

构成 费米子： 玻色子：辅助、黏合 轻子（e, m , t 及其相应中微子） 夸克（u, d, c, s, t, b） g，W，Z0，g Higgs(???)

相互作用 相互作用 引力 电磁 弱 强

现实与梦想 一个标准 两个标准模型（standard model） 一个梦想 实验是检验真理的唯一标准 宇宙学标准模型 粒子物理标准模型 描述所有物理的Theory of Everything

Two Standard Models 粒子物理标准模型 关于强、弱、电磁相互作用的量子规范场论 宇宙学标准模型 热大爆炸宇宙学

Two models married 在宇宙早期， 一切结构都 无法存在 能够存在的 只有 基本粒子

我们了解的自然界 量子场论   Theory of Something 宇宙性质  基本/非基本粒子 及其相互作用 物质构成    量子场论 Theory of Something

量子场论 量子的、多自由度体系的、物理理论 相对论性量子场论 研究基本粒子及其相互作用的量子理论 非相对论性量子场论： S=0 玻色子  标量场 S=1 玻色子  规范场（矢量场） S=1/2 费米子  旋量场 相对论性量子场论 研究基本粒子及其相互作用的量子理论 非相对论性量子场论： 研究原子核系统、凝聚态多体系统的量子理论

量子场论的困难 排名不分先后 解析可解的模型少 紫外发散、红外发散 非微扰效应 引力之量子化 除了一些特殊模型、特殊维数 量子场论 >> 微扰量子场论 非微扰的定义 非微扰的计算 引力之量子化

量子场论的微扰定义 一个作用量：S[f ( x); l] 首先定义相应的自由场论 l=0 所有物理量展开为 l 的幂级数 一群无相互作用的简谐振子 所有物理量展开为 l 的幂级数 希望足够好（至少对于小的l ）

微扰定义的问题 树图 一圈图 二圈图 三圈图 紫外发散

紫外发散的原因 k 可以趋于无穷 连续变量 傅立叶变换 连续不可数多自由度

紫外发散的原因 相对论性场论中，存在真空涨落

微扰定义的问题I 树图 一圈图 二圈图 三圈图 所有圈图紫外发散

怎么办？ 正规化 用某种方法，使得 k 有限 重整化 将发散吸收到参数重定义中

微扰定义的问题II 所有圈图紫外发散已消除 但是 级数本身仍然发散！

怎么办？ 按照渐近展开理解 寻找非微扰的定义 格点场论

格点量子场论 场变量定义于（分立的）时空格点上的，研究量子场论的方法 为什么要用格点？ 提供了一个非微扰的理论框架，适宜于研究理论的非微扰特性 避免了连续场论中的红外和紫外发散（提供了一种非微扰的截断） 可用数值方法（Monte Carlo）研究

总结 自然界之理论描述 量子场论 微扰论的各种困难 需要非微扰的方法 格点量子场论

第二部分 格点场论的研究方法

格点场论的理论基础 动力学自由度－场－定义于4维欧几里德空间中的（有限多）时空格点上 场的作用量S[f ]是场的（泛）函数 格点场论的非微扰定义： 生成泛函/配分函数 （路径）积分测度 Boltzmann因子

量子场论/统计物理 的对偶 欧氏空间与闵氏空间的关系 在一定条件下

物理量的计算

格点场论的实际计算 能够解析地计算配分函数的情形是罕见的（严格可积系统） 可以计算微扰展开（费曼图），但… 直接数值计算配分函数是不现实的 计算量指数增长 需要重点取样（Monte Carlo方法）

Monte Carlo方法 需要产生概率密度 利用Markov过程： 从任意概率分布出发: Markov 跃迁： 持续叠代最终： 格林函数：

例子： Lenz-Ising model 研究对称性破缺的范例：Z2被破缺 Ising模型的临界特性不仅仅是这个模型的（气液相变、lf4模型等），它代表了一类模型的临界特性：Z2被破缺 Universality

Monte Carlo处理 Ising model的方法 一台可靠的PC 简单（约300-400行）正确的程序（算法） 一个正确的Random # generator 大约几天的运行时间 可计算出三维Ising模型的大多数的物理量，精度不低于70－80年代的解析RG计算（如e-expansion等）

例子：Higgs质量上限 具有O(4)对称性的lf4理论 Triviality  4维 lf4 是marginal operator 当取连续极限时，l实际上对数地趋于零。因此，必须取格距a为有限大，才能使Higgs质量为有限。 Higgs质量必须小于600-700GeV

例子：禁闭 自然界中没有自由夸克，它们总结合成强子（质子、中子、p介子，K介子等），这称为禁闭 静止夸克-反夸克间有着很强的线性禁闭势 格点量子色动力学（Lattice QCD）是唯一能够从QCD出发给出解释的理论

例子：强子谱 这些以前被认为是基本粒子的质量曾被认为是自然界基本常数。 Lattice QCD允许我们计算这些质量、衰变常数 mp=938.27MeV (uud) mn=939.56563MeV (udd) mp=139.56995MeV (ud, ud) mK=493.677MeV (us, us) 这些以前被认为是基本粒子的质量曾被认为是自然界基本常数。 Lattice QCD允许我们计算这些质量、衰变常数

例子：新强子态、新物态 Lattice QCD允许我们计算尚未发现的新强子（例如胶球）、研究新的物态（例如夸克胶子等离子体）的性质。 胶球是QCD预言的新强子，它纯粹（lie）由胶子组成。目前的计算表明，最轻的胶球（J PC = 0++）质量在1.7GeV附近 混杂态（hybrids）是夸克－反夸克－胶子组成的束缚态（有胶子激发） 夸克胶子等离子体是一种新的物态

第三部分 结束语

成绩是有的… 格点场论提供了一个研究量子场论的非微扰的理论方法 格点场论可以利用Monte Carlo等数值方法进行有效的数值研究 经过20年来的Growing pain，我们已经从一个婴儿，长成一个少年 我们还会继续长大

问题也不少… 高简并度真空（基态）的模拟 多标度问题的模拟：典型的例子是重夸克－轻夸克同时存在的系统。 费米子模拟问题 QCD 模拟：quenching vs. unquenching 符号问题：如何模拟complex actions? 手征费米子（chiral fermions）问题：如果左右手不对称，会带来原则性的问题.