数学建模竞赛 简介 刘云 玉溪师范学院

数学建模竞赛的由来 1985年开始由美国工业与数学学会举办“美国大学生数学建模竞赛”MCM（Mathematical Contest in Modeling）。 1989年我国大学生首次开始参加 MCM. 1990年上海率先举办了“上海市大学生数学模型竞赛” 1992年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办“中国大学生数学建模竞赛（CMCM)”。 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月) 1999年， 美国大学生交叉学科建模竞赛ICM（Interdisciplinary Contest in Modeling)开始。 日前 CMCM 已经成为全国高校规模最大的课外科技活动 以下是 CUMCM 历年参赛情况

全国大学生数学建模竞赛 竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。 评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。 竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争

数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质 运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力 面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力 关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风 团结合作精神和进行协调的组织能力 勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志 查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力

历年来的CUMCM题 1992年A题：施肥效果分析 B题：实验数据分解 1993年A题：非线性交调的频率设计 B题：足球队排名次

历年来的CUMCM题 1997年A题：零件的参数设计 B题：截断切割 1998年A题：投资的收益和风险 B题：灾情巡视路线 D题：钻井布局（同 B 题）

历年来的CUMCM题 2000年A题：DNA序列分类 B题：钢管订购和运输 C题：飞越北极 D题：空洞探测 2001年A题：血管的三维重建 D题：公交车调度 (同B题)

历年来的CUMCM题 2002年A题：车灯线光源的优化设计 B题：彩票中的数学 C题：车灯线光源的计算 D题：赛程安排 2003年A题：SARS的传播 B题：露天矿生产的车辆安排 C题：SARS的传播 (同 A 题) D题：抢渡长江

历年来的CUMCM题 2004年A题：奥运会临时超市网点设计 B题：电力市场的输电阻塞管理 C题：饮酒驾车 D题：公务员招聘 B题：DVD在线租赁 C题：雨量预报方法的评价 D题：DVD在线租赁 (同 B 题)

历年来的CUMCM题 2006年A题：出版社的资源配置 B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测 C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计 D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 2007年A题：中国人口增长预测 B题：乘公交，看奥运 C题：手机"套餐"优惠几何 D题：体能测试时间安排

历年来的CUMCM题 2008年A题：数码相机定位 B题：高等教育学费标准探讨 C题：地面搜索 D题：NBA赛程的分析与评价

每年出两道题(甲组:A,B题; 乙组:C,D题), 任选一题. 数学建模竞赛 优秀论文评析 每年出两道题(甲组:A,B题; 乙组:C,D题), 任选一题. A,C 为连续型题目; B,D为离散型题目

CUMCM 2001 年 B 题：公交车调度 考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。 该公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。 公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。 试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

如何将这个调度问题抽象成 一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 上行方向：A13开往A0 站名 A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 … A0 站间距(公里) 　 1.6 0.5 1 0.73 2.04 1.26… 0.53 5:00-6:00 上 371 60 52 43 76 90 48 … 0 　 下 0 8 9 13 20 48 45 … 67 6:00-7:00 上 1990 376 333 256 589 594 315 … 0 　 下 0 99 105 164 239 588 542 … 615 … … … … … … … 22:00-23:00上 19 3 3 2 5 5 3 … 0 　 下 0 3 3 5 8 18 17 … 21 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 下行方向：A0开往A13 站名 A0 A2 A3 A4 A5 A6 A7 … A13 站间距(公里) 　 1.56 1 0.44 1.2 0.97 2.29 … 1.62 5:00-6:00 上 22 3 4 2 4 4 3 … 0 　 下 0 2 1 1 6 7 7 … 9 … … … … … … … …

模型分析 调度方案：全天发车时刻系列 T1, T2, …,Tm（m很大） 便于操作 全天分作若干时段，每一时段等间距发车 决策变量：各时段的发车间距 t1, t2, …tk （k=2或3） 对调度方案提出的要求 1. 乘客候车时间 ta<=10 (分) 尽量实现的 目标函数 2. 早高峰候车时间 tb<=5 (分) 3. 车辆载客人数 p >=50 约束条件 4. 车辆载客人数 p <=120 必须满足的

模型准备 需要全天任意时刻到达各站的和下车的乘客数 已知数据：每小时第 j 站上车人数 (j=1,2, …n) 只能如此 插值或拟合 (分段线性插值即可) 时刻 t 单位时间到达第 j 站乘客数 uj(t)——来站密度 已知数据：每小时第 j 站下车人数 (j=1,2, …n) 插值或拟合 (分段线性插值即可) 时刻 t 单位时间从第 j 站下车人数 dj(t) ——离站密度

模型建立 决策变量 一般时段发车间距t1, 早高峰时段发车间距 t2 目标函数 约束条件

模型中的难点 计算候车时间超过10分（5分）的人数 设定 t1, t2 第 k 班车驶离第 j 站的时刻 Tkj 车速、站间距 uj(t), dj(t) 第 k 班车驶离第 j 站时 车上的人数 pk(Tkj) 站上等候h班车未上车的人数 wkj (h) h 的最大值 hkj 候车时间超过10分的人数 乘客数小于50的车次路段数

模型求解 模型无法用现成的方法、软件直接求解 给定一系列 t1, t2, t3, 在满足约束（乘客数不超过120）下计算目标函数，经过比较得到较优的方案. 一般间隔t1,早高峰间隔t2,晚高峰间隔t3 (t1, t2, t3) g(t1, t2, t3 ) C u d (4,2,3) 0.1930 331 22 22 (5,2,3) 0.1748 295 22 22 (5,2,4) 0.2067 280 22 22 (6,2,2) 0.1803 299 22 22 C~全天发车班次数 u ~上行所需车辆数 d ~下行所需车辆数

建模的误区 对题意分析不够——怎样评价调度方案的优劣； 能否满足题目的所有要求。 没有明确、完整的数学模型（不一定要写出精练的数学式子）。 计算粗糙——未考虑乘客会等候几班车。 舍本求末——在插值（拟合）来站密度、离站密度，划分早、晚高峰时段上大做文章。 方案不便操作，如未考虑上、下行方向的配合。

CUMCM2004 A题 奥运会临时超市网点设计 1.根据给出的问卷调查，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。 2. 假定每位观众平均出行两次，出行采取最短路径, 测算20个商区的人流量分布。 3. 有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出20个 商区内MS网点的设计方案，以满足三个基本要求: 购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。 4. 阐明方法的科学性，说明结果是贴近实际的。

1. 由问卷调查找规律 3次调查共1万人, 数据为: 性别, 年龄 (4档) , 出行方式 (公交、地铁、私车、出租) ，餐饮方式 (西餐、中餐、商场) ，购物欲 (6档) 。 单因素统计 双因素统计：不同性别、年龄的人在出行方式 、餐饮方式 、购物欲方面的区别 统计检验 数据挖掘

2. 人流量分布 确定从各个出行点（车站）、餐饮点到20个看台的最短路 确定这些最短路通过的商区 若不只一条最短路，如何处理？ 若一条最短路通过几个商区，如何处理？ 需考虑不同性别、年龄的人在购物欲方面的区别 结果：20个商区的人流量分布；分为几个（3或4）档次

MS网点设计 估计两种大小不同规模的MS的成本和利润 商业上赢利 总体满足需求，还是满足各商区需求 满足购物需求 分布基本均衡 目标函数与约束条件的选择 3个场馆一起设计，或3个场馆分开设计 结果的合理性

成功参赛的要素 浓厚的兴趣 敏锐的洞察力和活跃的思维； 获取新知识的能力 扎实的数学基础 熟练的计算机编程 清晰的论文表达

参加数学建模竞赛需要准备的内容 1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容） 2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，可以用计算机求解的问题不必涉及求解的理论。

参加数学建模竞赛需要准备的内容 3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如MATHEMATICA, MATLAB, LINDO等。 4）历届赛题的研讨。 5）撰写数学建模论文的练习。 参考资料 姜启源等, 数学模型(第3版), 高等教育出版社, 2003年. 赵静, 但琦,数学建模与数学实验, 高等教育出版社, 2003年 竞赛优秀论文,见《工程数学学报》(2001年起)及《数学的实践与认识》(2001年前), 我在网上发发布的资料.