第五章 刚体的定轴转动 §5.1刚体模型及其运动 一、 刚体 形状和大小永远保持不变的物体. 刚体是一个特殊的质点系.

二、刚体的定轴转动 固定轴 转动平面 质元

三、刚体定轴转动的角速度、角加速度 . O x 图5-1 角位置： 刚体的运动方程 角位移： 平均角速度： 角速度：

角加速度： 线速度与角速度之间的关系：

角量与线量的关系 角量运动学方程

例题分析 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图所示. 滑轮的半径为 ，如果升降机从静止开始以加速度 匀加速上升，求： （1）滑轮的角加速度； （2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度； （3）在这5秒内滑轮转过的圈数； （4）开始上升后 末滑轮边缘上一点的加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）.

解 （1） （2）

（3） (4)

这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为

§5.2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 P * O 图5-2 一、力矩 对于定轴转动而言： 图5-3 注意: 力矩是对点或对轴而言的;

B

二、刚体定轴转动的转动定律 对质元 ， 其中 是质元 绕轴作圆运动的加速度，

法向力的作用线过转轴,其力矩为零. 外力矩为M 内力矩为零 刚体定轴转动的转动定律

M F J m a ~ β ì í ï î 与牛II比较： J 反映刚体转的惯性

三、转动惯量 适用于离散分布刚体 适用于连续分布刚体 单位

计算转动惯量：1 、由定义计算转动惯量 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1） 【例题5-1】求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. P100 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1）

（2）

例.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解

P101: 【例题5-2】试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解

o ´ m l 1 12 J = 2 、平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 R

（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。 【例题5-1】求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. P100 （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。 h 图5-10

刚体转动惯量的大小与下列因素有关： （1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同.

C (0289)C

P101 【例题5-3】一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m 和M 的物体，且 . 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ，半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用. 设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.

解 若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，

联立以上三个方程，得

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§5.3 定轴转动中的功能关系 一、力矩所做的功及功率

二、刚体的转动动能

三、定轴转动的动能定理

四、刚体的重力势能

解： O  dm gdm P105【例题5-5】一根长为 质量为 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑 水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。  O gdm dm 图5-14 解：

解： P106 【例题5-6】一根质量为 、长为 的均匀细棒 （如图5-15），可绕 通过其一端的光滑轴 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆， 求细棒摆到竖直位置时其中点 和端点 的速度。  G A A O  图5-15 解：

§5.4 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 一、刚体的角动量( 动量矩 ) 对于定点O转动而言： 单位

Oz: 质元 oz :整个刚体: 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述.

二、刚体的角动量定理 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。

三、角动量守恒定律 注意：在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适用范围却远远超过了这些限制.

如: 滑冰运动员的表演.

如: 滑冰运动员的表演. 跳水运动员

花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速 P113:T5 D ω

物体系的角动量守恒： 对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。

P116:附加题：T25 解： o R dr r

P116:附加题： T25

解： P108:【例题5-7】如5-18所示，一质量为 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶 端长棒的下端，穿出后速度损失 求子弹穿出后棒的角速度 。已知棒长为 ,质量为 . 图5-18 解：

解： P108:【例题5-8】一匀质细棒长为 ，质量为 ，可绕通过其端点 的水平轴 转动，如图5-19所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面 上的物体相撞。该物体的质量也为 ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地面的最大高度 ，并说 明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 C O 图5-19 解： 向右摆。 碰后棒向左摆；

解： P108:【例题5-8】一匀质细棒长为 ，质量为 ，可绕通过其端点 的水平轴 转动，如图5-19所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面 上的物体相撞。该物体的质量也为 ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地面的最大高度 ，并说 明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 C O 图5-19 解： 碰后棒向左摆条件 向右摆条件

P109:【例题5-9】 如图所示，一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体，问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少？

解法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解. 小于物体自由下落的速率

解法二 利用动能定理求解. 对于物体m 对于滑轮

解法三 利用机械能守恒定律求解. 把滑轮、物体和地球看成一个系统

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小结：