13　动能定理.

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1 13　动能定理

2 能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时更为方便和有效。同时，还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。 本章将讨论力的功、动能和势能等重要概念，推导动能定理和机械能守恒定律，并将综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。

3 13.1　力的功、功率 功的表达式 力的功( Work )是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果将导致物体能量的变化。 设质量为 m 的质点 M，受力 F 作用，质点在惯性参考系中运动的元位移为 d r，如图13-1所示。 力 F 在元位移上累积效果称为力的元功。力的元功定义为力与其作用元位移之点积，即： （13-1）

4 由图13-1可知： （13-2） 力 F 与 d r 可分别用解析式为 （13-3） 质点从位置 M 1 运动到 M 2 ，力在这段路程所作的功等于力在这段路程上元功之和；且用线积分可表示为 ： （13-4） （13-5） 或

5 若 FR为作用于该点的汇交力系 F1，F2，…，Fn 的合力，合力的功 W12由式 ( 13-4 ) 得：
（13-6） 结论：合力在某一段路程上的功，等于各分力在该段路程上所作功的和，称为合力功定理。 力的功是一代数量，其值可正、可负、也可为零。在法定计量单位中，功的单位用焦耳 ( J ) 表示，即 ：

6 几种常见力的功 常力在直线路程上的功 质点 M 在常力 F 的作用下，沿 x 轴方向由 M 1 点运动到 M 2点，路程为s，如图13-2所示。力 F 的功由式 ( 13-5 ) 得： （13-7）

7 重力的功 重为 G 的质点 M ，由M 1 沿曲线运动到 M 2 ，如图13-3所示。对图示坐标系，重力 G 在各轴上的投影分别为： 重力在曲线路程上的功为 ： 或 h = z 1- z 2 为质点始末位置的高度差。 质点重力的功只与质点的重量及起始和末了位置的高度差 h 有关，而与质点所经历的路径无关。

8 设 n 个质点的质点系，其重为 G ，当质点系从位置 1 运动到位置 2 时，第 i 个质点的重力 G i 的功为：
各质点重力的总功即质点系重力的功为： （13-8） 其中 为质点系质心 C 始末位置的坐标高度差。

9 弹性力的功 设弹簧原始长度为 l 0 ，刚度系数为 k ，弹簧的一端 O 固定，而另一端与质点M 相连，如图13-4所示。 当质点作任意曲线运动时，由于弹簧变形而对质点施加弹性力 F 。在弹性极限内，弹性力的大小与弹簧的变形δ = ( r -l 0 )成正比，其方向沿弹簧轴线而指向变形为零的点。 表示质点 M 矢径方向单位矢量， 以 则弹性力 F 表示为：

10 弹性力的元功为： 当质点从 M 1 运动到 M 2 时，弹性力的功为： （13-9） 弹性力的功可简写为： 即弹性力的功，等于弹簧的初变形与末变形的平方差与刚度系数的乘积之半，而与质点运动的路径无关。

11 定轴转动刚体上力的功 定轴转动刚体上的点 M 受力F 作用，如图13-5所示。 当刚体转过微小转角 dj 时，点 M 的微小路程为： 力 F 的元功： （13-10） 即作用在转动刚体上的力的元功，等于该力对转轴之矩与刚体微小转角之积。

12 刚体由位置角j 1 转到j 2 的过程中，力 F 的功为：
（13-11） 若M z 为常量，则有： （13-12） 如果在转动刚体上作用有力偶，式 ( ) 与式 ( )仍然成立。但该式中的M z ，应是该力偶矩矢在转轴 z 上的投影，特别是当力偶的作用面垂直于转轴时，Mz就等于该力偶矩 M 。

13 例13-1 一质量为 m 的质点受力 作用，沿曲线 运动。试求 t = 0 到 t = 2p 时力 F 在此曲线上所作的功。
所以 F 在此曲线上所作的功为：

14 例 弹簧的刚度系数 k = 40 N / m ，自然长度 l 0 = 40 cm，此时弹簧两端分别固定在水平线上的 A 和B点，如图 13-6( a )所示，现给弹簧中点中点附一重为9.8 N的小球 C ，当 C 下降 5 cm 时，试求作用在小球 C 上的所有力的功。 解：对于小球，如图13-6（b）所示。 重力的功： 弹性力的功： 所有力的功

15 功率与机械效率 （1）功率。 表示力作功的快慢程度。 力在单位时间内所作的功，称为功率 ( Power )。 （13-13） 由元功的定义，得作用力表示的功率为： （13-14） 即力的功率，等于力与其作用点速度矢的标积。 力矩 ( 或力偶矩 ) 表示的功率 ： （13-15） 即力矩的功率，等于力矩与刚体转动角速度的乘积。

16 功率计量单位为焦耳/秒 ( J / s )，瓦 ( W )：
（2）机械效率。 分别表示输入功率、有用阻力的输出功率和无用阻力的损耗功率，则机器的输入功率等于有用功率与损耗功率之和。当机器稳定运转时，机器的输出功率与输入功率的比值，称为机械效率，用h表示，即 ： （13-16） 机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏的重要指标之一。

17 动 能 动能 ( Kinetic energy ) 是物体机械运动的又一种度量，是物体作功能力的标志。 质点的动能 质点的动能定义为质点的质量 m 和质点速度 v 平方的乘积之半，即为： 动能是与速度方向无关的恒正标量。在法定计算单位中，动能的单位与功的单位 J 相同，为 ： 质点系的动能 质点系内各质点动能的总和，称为质点系的动能。 （13-17）

18 刚体运动时的动能 平动刚体的动能 刚体平动时，其上各点的速度都相等。即 v i = v C （13-18） 即平动刚体的动能等于刚体的质量与质心速度平方的乘积之半。

19 定轴转动刚体的动能 设刚体以角速度 w 绕 z 轴转动，如图13-7所示。刚体内任一点 M i 质量为 m i ，速度为 v i ，转动半径为 r i （13-19） 即定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。

20 平面运动刚体的动能 取刚体质心 C 所在的平面图形如图13-8所示。设图中点 P 是某瞬时的速度瞬心 ，w 是平面图形转动的角速度，于是作平面运动的刚体动能为： 是刚体对于瞬心轴(Instantaneous axis of rotation）的转动惯量，于是： （13-20）

21 即平面运动刚体的动能，等于刚体对瞬心轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半。
根据平行轴定理 M 为刚体的质量，d = P C ，J C 为对于质心的转动惯量。 （13-21） 即作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。

22 例13-2 如图13-9 所示坦克履带单位长度的质量为 m ，两轮的质量均为m 1，可视为均质圆盘，半径为r，两轮轴间距离为 l ，当坦克以速度 v 沿直线行驶时，求此系统的动能。
解：两轮瞬心分别 为 D、E ，轮的角速度为： 履带 AB 部分作平动，平动速度为 2v。履带 DE 部分速度为零。 （1）轮的动能：

23 （2）履带 AB 部分动能： （3）两轮上履带（合并为一均质圆环）动能： 系统的动能为：

24 动能定理 质点的动能定理 设质量 m 的质点在 M 在力 F 作用下作曲线运动 ，在任意位置 M 处(见图13-10) ，根据牛顿第二定律 两边同时乘以元位移 得： （13-22） 质点动能定理 ( Theorems of kinetic energy of a particle ) 的微分形式。

25 当质点 M 从点 M 1 运动到点M 2 时，其速度由 v 1变为v 2 。将式 ( 13-22 ) 沿路径积分得 ：
（13-23） 质点动能定理的积分 形式。质点的动能在任一路程中的变化量，等于作用于质点上的力在该路程上所作的功。 作用力作正功时，质点的动能增加；当力作负功时，则质点动能减少。因此，动能表明由于质点运动而具有的作功能力。

26 质点系的动能定理 对于质点系内的任一质点，设其质量为 m i ，速度为v i 。应用质点动能定理的微分形式 得 ： 将每一个质点所写出的上述方程相加得： （13-24）

27 即质点系动能的微分等于作用于质点系上所有力的元功之和，式 ( ) 称为质点系动能定理 ( Theorems of kinetic energy of system of particles ) 的微分形式。 若质点系在某运动过程中，起始和末了位置时的动能分别以 T 1 、T 2 表示，积分式 ( ) 得： （13-25） 即质点系在某运动过程中，动能的变化量等于作用于质点系的所有力在各相应路程中的作功之和。式 ( ) 称为质点系动能定理的积分形式。

28 注意：虽然质点系的内力系的主矢和主矩恒为零，但内力作功之和一般并不等于零。因此，在质点系的动能定理中，应包含质点系内力的功。
例如，在机器运转中，轴和轴承间的摩擦力对整个机器而言虽属内力，但此内力却作负功而消耗机器的能量。 理想约束 ( Ideal constraints ) ：约束反力不作功或作功之和等于零的约束。 在理想约束条件下,动能定理将不包含约束反力的功。式 ( ) 可写成 ： （13-26） 表示所有主动力作功的代数和。

29 约束反力的功 质点系和刚体内力的功 设质点系内的任意二质点 M 1和 M 2，它们相互作用的内为 F 1和 F 2 ，则 F 1 = -F 2 ，当两质点分别发生元位移 d r 1和d r 2 时（见图13-11） ，这对内力元功之和为： d r 21 称为质点 M 1相对 M 1 的元位移。 当质点系内两点相互作用的内力连线始终与两点间的相对元位移垂直时，则两力作功之和为零。

30 当力 F 1 与d r 21 共线时： （13-27） d r 21 表示两点间距离的微小变化。 在一般质点系中，由于任意两点间的距离可以变化。所以，可变质点系内力作功之和不一定等于零。例如变形体内力功之和不等于零。 对于刚体，其中任意两点的距离始终保持不变，故刚体在任一运动过程中，所有内力作功之和恒等于零。如不可伸长柔索，其内力功之和等于零。

31 光滑接触反力的功 当系统内两刚体的接触处是理想光滑时，则接触处相互作用的力始终与相对微小位移垂直。 光滑的固定支承面、轴承约束、铰链支座以及光滑的铰链约束，其约束反力作功之和都等于零，这些约束都是理想约束。

32 滑动摩擦力的功 车轮沿地面作纯滚动如图13-12所示。以轮为研究对象，支承面的静滑动摩擦力为 F S 。由运动学知 ，接触点 P 为车轮的速度瞬心 ，即v P = 0 ，由功的定义有： 车轮作纯滚动时的静滑动摩擦力不作功。 皮带轮的传动中，若皮带与轮的接触处无相对滑动发生，则它们之间相互作用的摩擦力都是静摩擦力，这一对摩擦力作功之和为零。

33 动能定理的应用 动能定理直接建立了速度与力和路程之间的关系，应用动能定理可以求解与这些量有关的动力学问题。 对于常见的理想约束系统，动能定理直接给出了主动力与运动量的关系，因而求解有关的运动量特别简便。 由于动能定理是一个标量方程，一般只能求解一个未知量。

34 应用动能定理时，解题步骤如下： （1）取研究对象，一般情况下，取整个质点系作为研究对象。 （2）分析运动，计算动能，应首先明确系统内各刚体的运动形式，再根据相应的动能公式计算。并且应根据各刚体 (或质点) 的运动学关系，将动能用同一个已知量或待求量表示。质点系的动能是系统内各质点或刚体动能之和。采用动能定理积分形式时，应明确系统运动过程的起始和末了的两个瞬时，分别计算两瞬时的动能。 （3）分析受力，计算力的功。对于常见的理想约束系统，只需计算主动力的功，在受力图上可以只画出作功的力，应特别注意，是否有内力作功？ （4） 应用动能定理求解有关的未知量。

35 例 刚度系数为k的弹簧，A端固定于位于铅垂平面的大圆环的最高点 A ，B 端连一质量为 m 的小环，如图13-13所示 ，已知大环的半径及弹簧的自然长度均为 R。当小环于弹簧原长处无初速沿大环滑至点 C 时，不计摩擦，试求小环速度的大小。 解：( 应用动能定理的积分形式求解 ) （1） 取小环为研究对象。 （2） 小环初瞬时速度为零，初动能为零；小环在 C 点时为瞬时 ，末速度为 v C ，末动能为 m ( v C ) 2 / 2 。

36 （3）小环在运动过程中，受重力 m g 、弹性力 F 和反力 FN 作用。反力 FN 不作功，重力的功 W1 和弹性力的功 W2 分别为：
（4）由动能定理： 当 时：

37 例 卷扬机如图13-14 所示。鼓轮在常力偶 M 作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为 R 1 ，质量为m 1 ，质量分布在轮缘上，圆柱的半径为R 2，质量为 m 2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心 C 经过路程 S 时的速度。 解：（1）圆柱和鼓轮一起组成质点系。 （2）作用于质点系的外力有：重力 m 1 g 和 m 2 g ，外力偶 M ，水平轴支反力 F O x 和 F O y ，斜面对圆柱的作用力 FN 和静摩擦力 FS 。作功的力有 m 2 g 和外力矩 M ，其功为：

38 （3） 计算动能： （4） 动能定理 ：

39 例 如图13-15（a） 所示提升重物系统中，重物 A重 G = 980 N，定滑轮质量为 m 1 = 10 k g ，半径 R = 20 cm，动滑轮质量为 m 2 = 6 kg，半径为 r = R / 2。两滑轮均为均质圆盘，现用常力F = 600N的拉力提升重物，试求重物 A 上升的加速度。 解：( 应用积分形式动能定理) （1）取整个系统为研究对象。 （2）动能：

40 （*） （3）外力功：系统为理想约束系统，只有拉力和重力作功，当重物 A 上升 h 时，力 F 沿其作用线方向的位移为 2 h （4）动能定理：

41 讨论： 求物A的加速度，可应用动能定理的微分形式。重物在任意位置 h 处的动能仍如式（*），即： 系统主动力的总元功为： 由动能定理的微分式形式 得： 将上式两边除以 d t ，即可求得重物 A 的加速度。所以，若求速度 ( 或角速度 )，宜采用动能定理的积分形式；若求加速度（或角加速度），宜采用动能定理的微分形式。

42 例 水平面内的椭圆规尺机构如图13-16所示。设曲柄 OC 和规尺 AB 为均质细杆，其质量分别为 m 1 和2m 1 ，且 OC = AC = BC = l ，滑块 A 和 B 的质量均为 m 。当曲柄上作用常值转矩 M 0时，不计摩擦，试求曲柄在 OB线上从静止开始转过一周时的角速度和角加速度。 解：此机构为理想约束系统。用动能定理微分形式求曲柄角加速度，用动能定理积分形式求曲柄的角速度。 （1）求角加速度a 。以机构为对象，设曲柄 OC 转至任一角时，角速度为w。P为 AB 杆的速度瞬心，

43 动能为： （a） 微分得： （b） 外力功： （c） 将式 ( b ) 和式 ( c ) 代入动能定理：

44 角加速度a 为一常量，即曲柄作匀加速转动。
（2）求曲柄的角速度w2 。 初瞬时系统静止： j = 2p 瞬时为末瞬时： 外力功： 动能定理： j = 2p 时：曲柄的角速度

45 机械能守恒定理 势力场与势能 势力场 力场——若质点在某一空间中所受力的大小和方向完全由质点的位置决定，则称这部分空间为力场。 势力场或保守力场————当质点在力场中运动时，作用于该点的力的功，只决定于质点的起始和末了位置，而与该质点的运动路径无关。质点所受势力场的力，称为有势力 ( Potential force ) 或保守力 ( Conservative force ) 。 例如重力、弹性力、万有引力都是有势力。

46 势能函数 势能 ( Potential Energy ) 或位能——质点在势力场中某位置时，有势力所具有的作功能力。 在势力场中任选一点 M 0 作为势能零点，即 M 0 点的势能为零。当质点从任一点 M 运动到 M0的过程中，作用于该质点的有势力所作的功，定义为质点在 M 处的势能。 质点的势能在势力场中是一个相对值。在确定势能前，必须先选定势能零点。

47 有势力的功只和质点运动的始末位置有关，质点的势能可表示成质点位置坐标(x，y，z)的单值连续函数，称为势能函数，即 ：
（13-29） 对势能零点 M 0 ，质点在 M 1、 M 2 点处的势能为V 1 和 V 2 ，根据有势力作功与路径无关的特点 ，质点从 M 1 至 M 0 时有势力的功，与质点由 M 1 径过点 M 2 再到点 M 0 的有势力的功应相等，即： （13-30） 或 表明：有势力的功等于质点在运动始末位置时的势能之差。因此，势能零点可任选，而不影响有势力的作功。

48 势力场中，势能相等的各点所组成的曲面，称为等势面。例如重力场的等势面是一个水平面。由全部势能零点所构成的等势面，称为零势面。
常见势力场中的质点势能 （1）重力场 取势零点为 M 0 ( x 0 ，y 0 ，z 0 ) ，根据重力功的公式，可得重力为 G 质点在重力场中点 M (x ，y ，z ) 处的势能为 ： （13-31） （2）弹性力场 取弹簧无变形的原长处为势能零点，根据弹性力的功的表达式，可得质点在弹性力场中弹簧变形为δ的 M 处的势能为 （13-32）

49 机械能守恒定理 当质点系在势力场中运动时，设其始末位置的动能分别为T 1和 T 2 ，而势能分别为 V 1 和 V 2 ，根据动能定理的积分形式有： 有势力的功等于质点系在始末位置时的势能之差，即： （13-33） 机械能 ( Mechanical energy ) ：质点系在任一位置处的动能和势能之和。

50 式 ( ) 表明，质点系在势力场中运动时，其机械能保持不变。这就是机械能守恒定理( Theorems of conservation of mechanical energy ) 。这样的质点系通常称为保守系统 ( Conservative system ) 。 在势力场中，质点系的动能和势能可以相互转化，但机械能保持不变。若质点系在非保守力作用下运动，则机械能不再守恒。例如摩擦力作功將使机械能减少，而转化为另一种形式的热能。但机械能与其它形式能量的总能量仍是守恒的，这就是物理学中众所周知的能量守恒定律。

51 例 摆重 G，点 C为其重心，O 端为光滑铰支，在点 D 处用弹簧悬挂，摆可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴O 的转动惯量为 J0 ，弹簧的刚性系数为 k ；摆杆在水平位置时 ，弹簧的长度恰好等于自然长度 l 0 ，OD = CD = b。求摆从水平位置无初速地释放后作微幅摆动时，摆的角速度与 j 角的关系。 解：研究摆的运动。作用于摆的力有F 、G 和反力 F O x 和 F O y ，前两力为有势力，后两力不作功，因此摆的机械能守恒。

52 取水平位置为摆的零势能位置，摆在运动过程中机械能恒等于零。
解此方程得：

53 例 图示系统，物块A质量为 m 1 ，定滑轮质量为m 2 ，视为均质圆盘，滑块B质量为m 3 ，置于光滑水平面上，弹簧刚度系数为k ，绳与滑轮间无对滑动。当系统处于静平衡时，若给 A 块以向下速度 v 0 ， 试求 A 块下降距离为 h时的速度。 解：对于整个系统，在系统运动过程中，只有有势力 ( 重力和弹性力 ) 作功，故可应用机械能守恒定理求解。 动能计算： 取物块 A 的静平衡位置为初位置：

54 取重物 A 下降距离为 h 时作为末位置： 势能计算：取弹簧末变形的末端为弹性势能零点，取物块 A 下降 h 的位置为重力势能零点。 初变形： 末变形：

55 系统在初始位置时的总势能： 系统在末了位置时的总势能： 机械能守恒定理（T1+V1= T2+V2 ）： 重物 A 下降 h 时的速度为：

56 动力学普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理 ( General theorems of dynamics ) 。 动量和动量矩定理为矢量形式，不仅能求出运动量的大小，还能求出它们的方向；对于质点系，动量和动量矩的变化只取决于外力的主矢和主矩，与内力无关。 动能定理是标量形式，不反映运动量的方向性；作功的力则包含外力和内力。 若已知主动力求质点系的运动，对于理想约束系统，尤其是多刚体系统，应首选动能定理求解。 若已知质点系的运动求未知力，可选取质心运动定理，动量矩定理或刚体平面运动微分方程。 动力学普遍定理的综合应用：

57 二．普遍定理综合应用三方面的问题 已知主动力和运动初始条件 已知主动力和运动初始条件 系统的运动 ① ③ ② 约束反力 系统的运动 约束反力
质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。 质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。 动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。 动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。 ③ ② 约束反力 系统的运动 约束反力

58 例 均质细直杆 OA 重 G = 100 N，长为 l = 4 m ，O 处为光滑铰链，A 端用刚度系数 k = 20 N / m的弹簧连于 B 点如图所示。此时弹簧无伸长。当杆在铅垂位置时，施加矩为 M =20 N · m 的力偶作用，使杆从静止开始作转动， 求杆转到水平位置时 O 处的反力。 解：（1）求 OA 杆的w。 分别取杆的铅垂线和水平位置为 杆运动的初瞬态和末瞬态。 由题设知， T 1 = 0 ， 杆在末瞬时的动能为：

59 重力、弹性力和力偶的功： 动能定理 ： （2）求OA杆的a ：杆在水平位置时受到弹性力大小： 应用刚体转动微分方程得：

60 （3）求反力 F O x ，F O y ：杆在水平位置时，其质心加速度
应用质心运动定理：

61 例13-11 均质细杆长为 l ，质量为 m ，静止直立于光滑水面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。
解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。 杆的角速度： 杆的动能： 动能定理：

62 当q = 0 时解出： 杆刚体达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程得： （1） （2）

63 点 A 的加速度 a A 为水平，由质心守恒，a C 应为铅垂。由运动学得：
沿铅垂方向投影得： （3） 联立求解式（1）、式（2）、式（3）解得：

64 动量定理 质心运动定理 动量矩定理 刚体平面运动微分方程

65 [例] 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。
解：（1）取圆盘为研究对象 圆盘平动。

66 （2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时： 代入数据，得

67 （3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。 由于 所以 a＝0 。 杆质心 C的加速度： 盘质心加速度： （4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。 代入数据，得

68  相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。  可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆AB在
一般位置进行分析。 [例] 基本量计算 (动量,动量矩,动能)

69 [例] 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为　的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力　时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。
解：(1)用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度 系统的动能 主动力的元功之和： 由动能定理的微分形式： 两边除以　，并求导数，得

70 (2) 用动量矩定理求解 　取系统为研究对象 根据动量矩定理：　　　　　，得

71 例 均质杆AB，l, m,初始铅直静止，无摩擦 求：1.B端未脱离墙时，摆至θ角位 置时的　 ， ，FBx , FBy 2. B端脱离瞬间的θ１ 3.杆着地时的vC及

72 解：（ 1 ）

73 ( ) 2 cos 3 sin 4 - = q mg a m ma F n C t Cx Bx _

74 （ 2 ）.脱离瞬间时

75 （ 3 ）.脱离后，水平动量守恒， 脱离瞬时

76 杆着地时，AC水平 由铅直——水平全过程

77 式中