Ch2-波動 §2-1 波的傳播 §2-2 週期波 §2-3 繩波的反射和透射 §2-4 波的重疊原理 §2-5 駐波 §2-6 惠更士原理 §2-7 水波

§2-1 波的傳播 1. 波動的現象： 石子落入水中形成漣漪。 繩子的一端上下振動，形成脈動傳播。 將彈簧前後壓縮，形成疏密部向前傳遞。

2. 波動的性質： 3. 波的種類： 波動是一種質點的集體動作，波所傳播的不是質點而是能量，而質點只是在原處附近振動。 波在同一介質中具有相同的波速，與質點振動速度及振幅無關。 波動在同一介質中傳播時，波形保持不變。 3. 波的種類： (1) 依是否需要介質來傳遞： 力學波：需借介質來傳播的波動。本章所討論的皆為力學波。 非力學波：不需介質來傳遞的波動，如電磁波、重力波等。

(2) 依介質的振動方向來區分： 橫波：介質的振動方向與波的前進方向垂直。 縱波：介質的振動方向與波的前進方向平行。 (3) 依傳播空間的維度來區分： 一維波：傳播空間為一維者，如繩波、彈簧波等。 二維波：傳播空間為二維者，如水波。 三維波：傳播空間為二維者，如聲波、電磁波等。 (4) 依傳播情形來區分： 行進波：波形以某一速度前進之波動。 駐波：波形不前進之合成波動。

例題：考慮一繩上沿 +x 方向傳播的脈波，在時間 t = 0s時的波形如圖所示。假設繩上的波速為 20m/s，考慮繩上 P 點的運動，其坐標為 x = 30m，下列敘述何者正確？ (A) P 點將朝 +y 方向移動 (B) P 點將朝 – y 方向移動 (C) P 點在 t = 0.5s 時的位移最大 (D) P 點在 t = 1.0s 時的位移最大 (E) P 點在 t = 0.5s 時，沿 +y 方向的速度為 20cm/s。 答案：A D

§2-2 週期波 1. 週期列波： 一細繩連接於鉛直振動的彈簧，可產生正弦的週期列波。 振幅 A：質點振動時與其平衡位置的最大距離。 週期 T：質點完成一次振動的時間。 頻率 f：單位時間內振動的次數。f = 1 / T 波長λ：波動經過一個週期所行進的距離，亦即相鄰 兩波峰或相鄰兩波谷之間的距離。 波速 v：由波長的定義可知 v＝λ/T＝fλ

例題：波列很長的四個橫波，都沿正 x 軸方向傳播，若 x 軸上 O 與 P 兩點間距離為 L，在時間看到此四個波的部份波形分別如圖的甲、乙、丙及丁所示，其波速分別為 4v、3v、2v 及 v。則下列敘述中哪些正確？ (A)頻率大小依序為丁>丙>乙>甲 (B)甲與丁的週期相同，乙與丙的頻率相同 (C)甲的波長是乙的兩倍，乙的波長則是丁的兩倍 (D)在時間後，O點最早出現下一個波峰的是乙 (E)在時間後，O點最早出現下一個波谷的是丙 【96指考】 答案：BCDE

例題：如圖示，一正弦的波動沿彈簧向右前進，則 如圖之瞬間： (1)哪些點的位移向下？ (2)哪些點的振動方向向上？ (3)哪些點的瞬時速率最大？ (4)哪些點是瞬間靜止的？ A B C G D E F 答：(1) DEF (2) CGD (3) G (4) BE

(C) 18公尺∕秒 (D) 10公尺∕秒 (E) 2公尺∕秒。 例題：右圖中實線為一列向右方 行進的橫波在 t = 0 時的波形， 而虛線則為此列橫波在 t = 0.5秒 時的波形，若此列橫波的週期為 T，且 0.3秒 < T < 0.5秒，則此 列橫波的波速為 [81.日大] (A) 34公尺∕秒 (B) 26公尺∕秒 (C) 18公尺∕秒 (D) 10公尺∕秒 (E) 2公尺∕秒。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 公分 x 公尺 答案：D

2. 弦上橫波的波速： v

例題：一弦長10m，質量為100g，兩端施以 5 kgw 的拉力，並使之連續振動產生週期波，每秒振動 70次，則此弦波的波長若干？

例題：一彈簧之力常數為 k，原長為 L，將其伸長至總長度為 2L 與 3L 時，波動在其中之傳播速率之比為若干？

例題：一遵守虎克定律之均勻彈性繩，其長度為 L，將此彈性繩均勻拉長至1 例題：一遵守虎克定律之均勻彈性繩，其長度為 L，將此彈性繩均勻拉長至1.2L 之長度，並將其兩端固定，測得繩上橫波之波速為 v；今將此彈性繩再均勻拉長至1.6L，並將其兩端固定，則繩上橫波之波速應為 。 [88.日大] 答案：2 v

§2-3 繩波的反射和透射 1. 固定端： 反射波上下顛倒，左右相反。 2. 自由端： 反射波左右相反， 上下不顛倒。 固定端 自由端

3. 細繩到粗繩： 反射波：上下顛倒，左右相反，波速不變，波長不變，振幅變小。 透射波：上下不顛倒，左右不相反，波速變小，波長變短，振幅變小， 。

4. 粗繩到細繩： 反射波：上下不顛倒，左右不相反，波速不變，波長不變，振幅變小。 透射波：上下不顛倒，左右不相反，波速變快，波長變長，振幅變大， 。

5. 一般公式： 波由線密度為 μ1 之繩傳至線密度為 μ2 之繩中，則入射波、反射波與透射波的振幅 y0、y1 與 y2 具有下列關係： 振幅符號相反表波形上下顛倒

例題：當脈動波沿第一彈簧通過接點傳到第二彈簧時，如第二彈簧的重量與第一彈簧相比小得可以忽略時，則反射脈動較原有入射脈動 [62.日大] (A)振幅變為極小，且形狀上下相同 (B)振幅變為極小，但形狀上下顛倒 (C)振幅大為增加，且形狀上下相同 (D)振幅大約相等，但形狀上下顛倒 (E)振幅大約相等，且形狀上下相同。 答案：E

例題：由一彈性繩之一端送一脈動，脈動在連結點的反射波，波形與入射波比較是上下顛倒且波幅減小，則透射波與入射波比較時 (A) 反射波的波速較小 (B) 透射波的波速較小 (C) 同一時刻，透射波離連結點較近 (D) 透射波的波幅較小 (E) 透射波的波長較長。 答案：BCD

§2-4 波的重疊原理 1. 重疊原理： 數個脈波在同一介質交會時，則任何時刻，合成波上介質的位移等於數個脈波各自獨立時位移的總和，此稱為波的重疊原理。 重疊原理不僅適用於介質的位移，亦可適用於介質的速度與加速度。若 y 、v、a 分別表介質的位移、速度與加速度，則

例題：一繩上正在傳遞正立及倒立的兩個三角形波A及B。設在 t = 0 時，其波形如圖一所示，而在 t = T 時，繩上的波形變成圖二。則在 t = (1∕4)T 時的波形為何？（畫圖表示，並標明縱座標與橫座標之刻度）。 [78.日大] 3 -3 2 4 6 8 y x （圖一） 2 4 6 8 3 -3 y x （圖二） y 3 -3 2 4 6 8 x

例題：下圖中的兩正弦波的行進方向反方向，其振幅均為10cm，波長均為20cm，頻率均為1次∕秒，此時兩波前端相距5cm，則經 1∕2 秒，P 點振動的位移、速度和加速度的大小各為若干 ？ 速度大小為 20πcm∕s 加速度的大小為 40π2 cm∕s2

2. 相位差： 同相：兩波重疊時，若兩波波峰（或波谷）同時抵達同一位置時，稱為同相。 異相：兩波重疊時，若兩波的波峰（或波谷）不是同時抵達同一位置時，稱為異相。 反向：當兩波重疊時，若一波的波峰與另一波的波谷同時抵達同一位置時，稱為反相。 相位差 P： Δx （0 < P <1） Δx 為波程差；Δt 為時間差 相角差Δθ：Δθ= 2π× P

3. 干涉： 干涉：波重疊時引起相互干擾而組成合成波的現象。 相長干涉：當兩波重疊時所組成之合成波的振幅大於各成分波的振幅時，亦可稱為加強性干涉。若兩波為同相干涉時，稱為「完全相長性干涉」。 相消干涉：當兩波重疊時所組成之合成波的振幅小成各成分波的振幅時，亦可稱為破壞性干涉。若兩波振幅相同且為反相干涉時，稱為「完全相消性干涉」。

例題：設有相同頻率及波長的兩個波列相互重疊，互相干涉，二波之振幅分別為 A 及 3A，則 (a)二波相位差為多少才能達到最大之合振幅？此時合振幅為多少？ (b)二波相位差為多少才能達到最小之合振幅？此時合振幅為多少？ (c)如兩波間之相位差為 1∕4（即相角差為 90o），其合振幅為多少？ [75.日大] 答案：(a) 0；4A (b) ½；2A

§2-5 駐波 1. 駐波的形成： 若一弦上同時有兩正弦波，振幅、波長與頻率（週期）皆相同，且以相反方向行進，互相干涉後形成駐波。 2. 波節與波腹： 波節：合成波上某些質點的振動位移始終為零，這些質點的位置稱為節點或波節。 波腹：相鄰兩節點間的中點有最大振幅，稱為腹點或波腹。

3. 駐波的特性： 在節點與節點之間波幅作週期性漲落，而波形步前進。 除節點外，介質上各點在原處作簡諧振盪，其振幅隨各質點的位置而異。 節點靜止不動，所以波形並沒有傳播，能量以動能和位能的形式交換儲存，能量不會傳播出去，故稱為駐波。

4. 長為 L，兩端固定的弦 產生駐波的條件 L

n = 1 稱為基音或第一諧音。 n = 2 稱為第一泛音或第二諧音。 n = m ： 稱為第 m – 1 泛音又稱為第 m 諧音。

例題：質料及張力均相同之甲乙二弦線兩端均被固定，如果甲弦的基音頻率為乙 弦的第三諧音頻率的二倍，則甲弦長度為乙弦長度的幾倍？ [82.夜大] 例題：當我們使用正確的頻率來回撥動浴缸裡的水，可以產生駐波，而使靠浴缸壁兩邊的水交替起伏（即一邊高時，另一邊低）。若水的波速為 1m/s，浴缸寬 75cm，則下列何者為正確的頻率？ (A)0.67Hz (B)1.4Hz (C)2.65Hz (D)3.7Hz (E)4.23Hz [91.指定科考] 答案：A

例題：兩端固定，長度為 L 之弦，當其張力為 F 時，頻率為 f 的振動恰可在弦上形成共有 6 個波腹的駐波。如果張力變為 4F，而弦長不變，則下列頻率的振動，何者可在弦上形成駐波？ [90.日大] 答案：B

例題：一弦兩端固定，弦之線密度為 4克∕公尺，弦的張力為 8 例題：一弦兩端固定，弦之線密度為 4克∕公尺，弦的張力為 8.1牛頓。當弦線振動產生 n 及 n+1 個波節的駐波時，所量得的波節間距分別為 18 公分及 15 公分。 (1)求弦線的長度。 (2)求基音的頻率。 [86.日大] 答案：(1) 90cm (2) 25Hz

§2-6 惠更士原理 波前：所有相鄰且作同相位振動的各點所連接而成的線或面。波前恆與波的行進方向相垂直。 惠更士原理：波前上的各點可視為新的點波源，各自發出它的圓形波或球面波，這些圓形波或球面波的包絡面（envelope）就是新的波前。 海更士原理可以解釋波的反射、波的折射、波的干涉及繞射。

§2-7 水波 水波的反射： 水波的反射定律：入射線，法線和反射線三者在同一平面上，且入射角等於反射角。

2. 水波的折射： 深水區 淺水區 深水區：波長較長，波速較快。 淺水區：波長較短，波速較慢。

水波的干涉：

例題：水波槽內有兩個振源，相距為 d，同時發出同相的水面波，其波長為λ；當 d =3λ∕2 時，則介於二振源之間，(1)可以見到的節線（即水波振動位移最小 處）共有幾條？ (2)若兩振源改為反相振動，則介於兩振源之間，可以見到的節線有幾條？ [79.日大] 答案：(1) 2條 (2) 3條

例題：水波槽內有兩個振源，相距相距 16cm，同時發出同相的水面波，其波長為 6cm，則介於二振源之間，可產生若干條節線？ 答案：6條

例題：水面上兩同相點波源相距 40cm，以兩波源連線之中央點為圓心，25cm 為半徑所畫出的圓周線上共有 10 個節點，則水波波長為若干 cm？

水波的繞射 1. 同樣障礙物，波長較長繞射較明顯。

2. 同樣開口，波長較長繞射較明顯。

3. 同樣波長，開口較小，繞射較明顯。

繞射是否明顯與波長λ和障礙物或開口的尺寸 d 有關，

THE END