課程大綱 第一章 Laplace 變換 1.1 基本概念與定理 1.2 常係數之線性微分方程式的 Laplace 變換解 1.3 Laplace 變換的重要性質 1.4 線性系統的 Laplace 變換解

第二章 向量場與線積分以及面積分 2.1 向量場以及向量微分與積分 2.2 線積分與面積分

第三章 Fourier 級數 3.1 Fourier 級數 3.2 偶函數與奇函數 3.3 週期函數的 Fourier 級數 3.2 偶函數與奇函數 3.3 週期函數的 　Fourier 　　級數 3.4 半幅展開式

第四章 偏微分方程式 4.1 常係數偏微分方程式 4.2 常係數二階偏微分方程式的解 4.3 偏微分方程式的 Laplace 變換解

第一章 Laplace 變換 1.1 基本概念與定理 定義 1.1.1 Laplace 變換 設 f 是一個實數變數 t 的實數值函數，當 t >0 時被定義。假設 s 是一個實數變數，而且對某些 s 而言，連續函數 F 的積分都存在，此處

，R 為一個實數常數。函數 F 被方程式 (1.1.1) 所定義時則稱是函數 f 的　 Laplace 　變換。我們將把 f　 的Laplace 變換 F 　表示為 ，亦即 F(s)= █

例 1.1.1 試求函數 的 Laplace 變換。 解: 因此對於所有的 s>0 , 我們有 █

例1.1.2 試求函數 的 Laplace 變換。 解:

因此對於所有的 s>0 , 我們有 █

例1.1.3 試求函數 的 Laplace 的變換 。 解:

因此對於所有 s　>a , 我們有 █

例1.1.4 試求函數 f( t )=sin b t , t >0 的 Laplace 變換。 解:

因此對於所有 s　>0 , 我們有 █

例 1.1.5 試求函數 f( t )=cos b t , t > 0 的 Laplace 變換。 解:

因此對於所有 s>0 , 我們有 █

例1.1.6 試求函數 的 Laplace 變換。 解:

此處Γ(a+1)= aΓ(a)為一 　Gamma　 函數 ,當 a N 因此我們得到 ■

定義 1.1.2 函數 f 被稱為在一個有限區間　 　裡是分段連續的, 如果這個區間可以被分割成有限個子區間, 使得 f 在這些子區間的內部是連續的 , 而且 當 t 趨近於各個子區間的端點時, f( t ) 將趨近於一個 有限的極限值。 █

我們必須指出: 如果函數 f 在區間 　 裡是連續的， 則它在這個區間裡必定是分段的連續的 ; 但是倘若函數　 f　 在區間 　 是分段連續的， 則它在這個區間裡未必是連續的。

例1.1.7 函數 是一個分段連續函數 , 對於每個有限區間 。 █

對於所有 。 定義 1.1.3 如果存在一個常數 a 以及正常的常數 與 M 使得 則我們說函數 f 是一個指數階。█ 換句話說，如果存在一個常數 a 使得對於相當大的 t 值而言 是有界的，則我們說 f 是一個指數階。 也就是 對於所有 。

因此每個有界的函數一定是一個指數階 , 只要令常數 即可。例如 與 是指數階。

定理1.1.1 瑕積分的比較審查法 令 g 與 G 是實數函數 , 使得在 裡有 2. 假設 存在 , 而且 假設 g 在每個有限封閉的子區間 裡為可積分函數, 則 存在。 □

定理 1.1.2 假設實數函數 g 在每個有限封閉的子區間 裡為可積分函數, 2. 假設 存在 , 則 存在。□

定理 1.1.3 Laplace 變換的存在定理 假設 f 是一個具有下面性質的實數函數: 1. f 　在一個有限封閉子區間 　　　　裡是分段連續的。 f 　是個指數階, 也就是存在α , M > 0 以及 使得對於所有的 而言有

則 Laplace 變換 存在, 對於所有的 s >α 而言。□

定理1.1.4 線性運算 令函數 　　 的 　Laplace 　變換均存在, 而且令 　　 為兩個常數 , 則 □

例1.1.8 試求函數 的 Laplace 變換。 解: 我們有

同理,我們可以得到 　■

例1.1.9 試求函數 解: 由

■

■ 定義 1.1.5 已知一個函數 F , 我們必須尋找一個函數 f , 使得它的 Laplace 變換為已知 F 。我們介紹一個符號 表示 f (t) , 而且稱如此的一個函數為 F的Laplace 反變換。也就是用 表示函數 f (t) 有 ■

例 1.1.10 試求 解: ∴我們有 ■

例 1.1.11 試求

■

例 1.1.12 試求

■

習 題 . 試求下面各函數 f (t) 的 :

. 試求下面已知函數 F(s) 的

1.2 常係數之線性微分方程式的 Laplace 變換解 定理 1.2.1 假設 定理 1.2.1 假設 F 是一個實數函數 ,對於 則 f 是連 續的以及是個指數階 。 2. 在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的。 則 存在 , 對於 s > α ; 以及 □

定理 1.2.1 假設 F 是一個實數函數而且對於 而言 是連續的 ; 以及令 都是個指數階 。 2. 在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的。則 存在 , 對於 ; 以及 □

例 1.2.1 試解起始值問題 解:

亦即得到已知起始值問題的解 ■

例 1.2.2 試解起始值問題

∵ ∴ 我們有 亦及得到起始值問題的解為 ■

例 1.2.3 試解起始值問題 解:

∴ 我們有 亦即得到起始值問題的解 ■

例 1.2.4 試解起始值問題

∵ ∴我們有 亦即得到起始值問題的解為 ■

習 題 一. 試用 　Laplace 　變換解下列各起始值問題 :

1.3 Laplace 變換的重要性質 定理 1.3.1 s 空間的平移性質 對於 s >α 而言 , 假設函數 f 的 L{ f } 存在 , 則對於任何常數 α 以及 s > α+a , 我們有 此處 F( s ) 表示 L{ f( t ) } 。□

例 1.3.1 試求 解: 且 ∴原式 ■

例 1.3.2 試求 解: 又 ∴ 原式 ■

例 1.3.3 試求 解: ∵ ∴原式 ■

例 1.3.4 試解起始值問題 解:

∴我們有 亦即得到已知起始值問題的解 ■

定理 1.3.2 假設 F 是函數 f 的 Laplace 變換 , 也就是 則我們有 □

例 1.3.5 試求 解: ■

例 1.3.6 試求 解: ■

單位階梯函數亦稱為 Heaviside 函數。 定義 1.3.1 對於各個實數 , 單位階梯函數 被定義成 ■ 單位階梯函數亦稱為 Heaviside 函數。 定理 1.3.3 □

例 1.3.7 試求下列函數的 Laplace 變換 : ■

例 1.3.8 試求下列函數的 Laplace 變換 : ■

定理 1.3.4 t 空間的平移性質 假設 f 的 Laplace 變換存在 , 表示為 而且考慮平移函數被定義成下式: 則我們有 □

例 1.3. 9 試求 ■

例 1.3.10 無阻尼系統對單一方波的響應 試解起始值問題 其中

■

例 1.3.11 阻尼震動系統對單一方波的響應 試求對應於下列阻尼震動系統的響應 其中 r(　t　) 如前例。 解:

∴ 得到阻尼震動系統的響應為 ■

例 1.3.12 試解起始值問題 此處 解:

∴ 我們有

亦即得到起始值問題的解為 ■

定理 1.3.5 週期函數的 Laplace 變換 假設 f 是一個週期為 P 的週期函數 , 而且 f (t)的 Laplace 變換存在 , 則我們有 □

例 1.3.13 試求函數 而且 的Laplace 變換

解: ■

例 1.3.14 試求下列函數的 Laplace 變換: 解:

■

定義 1.3.2 假設 f 與 g 兩個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f 與 g 都是指數階。函數 f * g 被定義成 稱為是函數 f 與 g 的摺積。■ 倘若令 u = t –τ , 則

假設 f 與 g 兩個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f 與 g 都是指數階 。則我們可以證明 f * g 在每個有限的封閉區間 裡也是分段連續的 , 同時 f * g 也是個指數階 , 此處 是任何極微小的正數。因此對於 s 相當大時則 存在。更明白地說 ,當 時 ,我們可以證明 是存在的。

定理 1.3.6 摺積定理 ( The Convolution Theorem ) 假設 f , g 與 h 三個函數在每個有限的封閉區間 裡是分段連續的 , 同時 f , g 與 h 都是指數階 。倘若我們有 而且

則我們可以得到 對於 , 換句話說 , 我們有 □

例 1.3.15 試求 解: ■

例 1.3.16 試求 解: (解一) ■

(解二) 亦即我們得到 ■

習 題 . 試求下列已知函數 f (t) 的 L{ f( t ) } : 二. 試求下列已知函數 F(s) 的

. 試求 Laplace 變換解下列各起始值問題 :

. 試用兩種方法解下列各題 : 五. 試求下列週期函數的 Laplace 變換 :

與 為常數以及 與 為己知函數 , 此系統滿足起始條件 1.4 線性系統的 Laplace 變換解 我們應用 Laplace 方法去發現一階線性系統 的解 , 此處 與 為常數以及 與 為己知函數 , 此系統滿足起始條件

此處 與 為常數。

例1.4.1 試解系統 解:

也就是 ■

例 1.4.2 試解線性系統 解:

■

習 題 試用 Laplace 變換解下列各起始值問題 :