2B_Ch11(1)

2B_Ch11(2) 11.1 三角比簡介 A 一些基本名詞 B 正弦 C 餘弦 D 正切 目錄

2B_Ch11(3) 11.2 三角比的應用 A 利用三角比解答平面圖形問題 B 利用三角比解答日常應用問題 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(4) A) 一些基本的名詞 1. 在直角三角形中，一個銳角的大小與它各邊長度的比有關，這些比稱為三角比。在數學的範疇裏，專門研究及應用三角比的學問稱為三角學。 目錄

一些基本的名詞 A) 2. 對於一個直角三角形 XYZ， 設 ∠YXZ =  ，則 i. 最長的邊 XY 稱為三角形的斜邊； 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(5) 例題演示 A) 一些基本的名詞 2. 對於一個直角三角形 XYZ， 設 ∠YXZ =  ，則 i. 最長的邊 XY 稱為三角形的斜邊； ii.  角所對的邊 YZ 稱為  角的對邊； iii. XZ 與  角相鄰而又不是斜邊， 稱為  角的鄰邊。 目錄 11.1 目錄

在附圖所示的直角三角形 PQR 中， PR 是斜邊； PQ 是  角的對邊； QR 是  角的鄰邊。 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(6) 在附圖所示的直角三角形 PQR 中， PR 是斜邊； PQ 是  角的對邊； QR 是  角的鄰邊。 重點理解 11.1.1 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(7) 例題演示 B) 正弦 ‧ 銳角  的正弦，記作 sin 。 sin = 對邊 斜邊 目錄

正弦 B) 1. 我們可先將計算機定在度的模式，然後便可直接利用計算機求 sin（或 sin）。 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(8) 例題演示 B) 正弦 1. 我們可先將計算機定在度的模式，然後便可直接利用計算機求 sin（或 sin）。 2. sin 的值在 0 和 1 之間。 3.  角越大，sin 的值也越大。 4. 一般來說， i. k sin  sin (k ) ii. sin + sin  sin ( + ) iii. sin – sin  sin ( – ) 目錄

正弦 B) ‧ 我們將計算機定在度的模式後，便可根據已知的正弦值 (sin) 求與它對應的角 ( )。 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(9) 例題演示 B) 正弦 ‧ 我們將計算機定在度的模式後，便可根據已知的正弦值 (sin) 求與它對應的角 ( )。 目錄

正弦 B) ‧ 利用正弦的知識，我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 三角比簡介 例題演示 目錄 11.1 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(10) 例題演示 B) 正弦 ‧ 利用正弦的知識，我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 目錄

(a) 求下圖中的 sin。 (b) 求下圖中的 sin。 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(11) (a) 求下圖中的 sin。 (b) 求下圖中的 sin。 (a) sin = 對邊 (YZ) 斜邊 (XY) (b) sin = 對邊 (QR) 斜邊(PQ) = = = = 目錄

參看附圖，求 sin 及 sin 的值。（答案須準確至三位小數。） 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(12) 參看附圖，求 sin 及 sin 的值。（答案須準確至三位小數。） sin = 對邊 (YZ) 斜邊 (XZ) sin = 對邊 (XY) 斜邊 (XZ) = = = 0.923 （準確至三位小數） = 0.385 （準確至三位小數） 習題目標 已知直角三角形的對邊及斜邊，求正弦的值。 重點理解 11.1.2 目錄

求 sin 30° 的值。 按鍵次序 0.5 答案 sin 30° = 0.5 sin 30 EXE 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(13) 求 sin 30° 的值。 按鍵次序 sin 30 EXE 答案 0.5 sin 30° = 0.5 目錄

求 sin 50.8° 的值。 （答案須準確至三位小數。） 按鍵次序 0.7749… 答案 sin 50.8° = 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(14) 求 sin 50.8° 的值。 （答案須準確至三位小數。） 按鍵次序 sin 50.8 EXE 答案 0.7749… sin 50.8° = 0.775 （準確至三位小數） 目錄

(a) 利用計算機求 2sin 17° – sin 34° 的值。 （答案須準確至三位小數。） 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(15) (a) 利用計算機求 2sin 17° – sin 34° 的值。 （答案須準確至三位小數。） (b) 根據 (a) 部的結果，2sin 17° 是否等於 sin(2  17°)？ 按鍵 次序 (a) 2 sin 17 – sin 34 EXE 答案 0.0255… 2sin 17° – sin 34° = 0.026 （準確至三位小數） 目錄

(b) 由 (a) 部的結果， 2sin 17° – sin 34°  0 即 2sin 17°  sin(2  17°) 習題目標 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(16) 返回問題 (b) 由 (a) 部的結果， 2sin 17° – sin 34°  0 即 2sin 17°  sin(2  17°) 習題目標 利用計算機求正弦或涉及正弦的數式的值。 重點理解 11.1.3 目錄

已知 sin = 0.358，求 的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 20.97… 答案 由於 sin = 0.358， 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(17) 已知 sin = 0.358，求 的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 SHIFT sin 0.358 EXE 答案 20.97… 由於 sin = 0.358， 所以  = 21° （準確至最接近的度） 目錄

如果 sin = sin 20° + sin 30°，求  的大小，準確至一位小數。 是否等於 50°？ 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(18) 如果 sin = sin 20° + sin 30°，求  的大小，準確至一位小數。 是否等於 50°？ 按鍵 次序 sin 20 + sin 30 EXE SHIFT sin Ans EXE 答案 57.35… 由於 sin = sin 20° + sin 30°， 所以  = 57.4° （準確至一位小數） 習題目標 已知 sin，求 。 ∴  不等於 50°。 重點理解 11.1.4 目錄

求圖中 的大小。 （答案須準確至最接近的 0.1°。） sin = 對邊 斜邊 = ∴  = 48.6° （準確至最接近的 0.1°） 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(19) 求圖中 的大小。 （答案須準確至最接近的 0.1°。） sin = 對邊 斜邊 = ∴  = 48.6° （準確至最接近的 0.1°） 習題目標 利用正弦求直角三角形中的未知量。 目錄

求下列各圖中 x 的值。（答案須準確至一位小數。） (a) (b) 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(20) 求下列各圖中 x 的值。（答案須準確至一位小數。） (a) (b) = (a) sin 35° ∴ x = 12sin 35° = 6.9 （準確至一位小數） 目錄

(b) sin 27.4° = ∴ x = = 13.0 （準確至一位小數） 習題目標 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(21) 返回問題 (b) sin 27.4° = ∴ x = = 13.0 （準確至一位小數） 習題目標 利用正弦求直角三角形中的未知量。 重點理解 11.1.5 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(22) 例題演示 C) 餘弦 ‧ 銳角  的餘弦，記作 cos 。 cos = 鄰邊 斜邊 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(23) C) 餘弦 1. 利用計算機求一個銳角 ( ) 的餘弦值，或者求已知餘弦值的對應角的方法與正弦的情況相似，不同的地方便是以「cos」鍵代替「sin」鍵。 目錄

餘弦 C) 2. cos 的值在 0 和 1 之間。 3.  角越大， cos 的值反而越小。 4. 一般來說， 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(24) 例題演示 C) 餘弦 2. cos 的值在 0 和 1 之間。 3.  角越大， cos 的值反而越小。 4. 一般來說， i. k cos  cos (k ) ii. cos + cos  cos ( + ) iii. cos – cos  cos ( – ) 目錄

餘弦 C) ‧ 利用餘弦的知識，我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 三角比簡介 例題演示 目錄 11.1 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(25) 例題演示 C) 餘弦 ‧ 利用餘弦的知識，我們可以求直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 目錄

(a) 求下圖中的 cos。 (b) 求下圖中的 cos。 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(26) (a) 求下圖中的 cos。 (b) 求下圖中的 cos。 (a) cos = 鄰邊 (XZ) 斜邊 (XY) (b) cos = 鄰邊 (PR) 斜邊(PQ) = = = 目錄

參看附圖， 求 cos + cos 的值。 鄰邊 (AC) cos = 斜邊 (AB) = = 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(27) 參看附圖， 求 cos + cos 的值。 cos = 鄰邊 (AC) 斜邊 (AB) = = 目錄

鄰邊 (BC) cos = 斜邊 (AB) = = ∴ cos + cos = = 習題目標 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(28) 返回問題 cos = 鄰邊 (BC) 斜邊 (AB) = = = ∴ cos + cos 習題目標 已知直角三角形的鄰邊及斜邊，求餘弦的值。 = 重點理解 11.1.6 目錄

求 cos 62.5° 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） 按鍵次序 0.4617… 答案 cos 62.5° = 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(29) 求 cos 62.5° 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） 按鍵次序 cos 62.5 EXE 答案 0.4617… cos 62.5° = 0.462（準確至三位有效數字） 目錄

已知 cos = 0.747，求  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 41.6… 答案 由於 cos = 0.747， 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(30) 已知 cos = 0.747，求  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 SHIFT cos 0.747 EXE 答案 41.6… 由於 cos = 0.747， 所以  = 42°（準確至最接近的度） 重點理解 11.1.7 目錄

求圖中  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） cos = 鄰邊 斜邊 = ∴  = 42°（準確至最接近的度） 習題目標 目錄 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(31) 求圖中  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） cos = 鄰邊 斜邊 = ∴  = 42°（準確至最接近的度） 習題目標 利用餘弦求直角三角形中的未知量。 目錄

求圖中 a 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） = cos 67° ∴ a = = 15.1（準確至三位有效數字） 習題目標 目錄 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(32) 求圖中 a 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） = cos 67° ∴ a = 習題目標 利用餘弦求直角三角形中的未知量。 = 15.1（準確至三位有效數字） 重點理解 11.1.8 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(33) 例題演示 D) 正切 ‧ 銳角 的正切，記作 tan 。 tan = 對邊 鄰邊 目錄

11.1 三角比簡介 2B_Ch11(34) D) 正切 1. 利用計算機的「tan」鍵或「SHIFT」「tan」 鍵可以分別求得一個銳角  的正切值 （即 tan）或已知正切值的對應角。 目錄

正切 D) 2. tan 的值必大於 0。 3.  角越大，tan 的值也越大。 4. 一般來說， 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(35) 例題演示 D) 正切 2. tan 的值必大於 0。 3.  角越大，tan 的值也越大。 4. 一般來說， i. k tan  tan (k ) ii. tan + tan  tan ( + ) iii. tan – tan  tan ( – ) 目錄

正切 D) ‧ 利用正切的知識，我們也可求得直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 三角比簡介 例題演示 目錄 11.1 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(36) 例題演示 D) 正切 ‧ 利用正切的知識，我們也可求得直角三角形中的未知角或未知邊。 目錄 11.1 目錄

(a) 求下圖中的 tan。 (b) 求下圖中的 tan。 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(37) (a) 求下圖中的 tan。 (b) 求下圖中的 tan。 (a) tan = 對邊 (YZ) 鄰邊 (XZ) (b) tan = 對邊 (QR) 鄰邊 (PR) = = = 2 目錄

參看附圖，求 的值。 tan = 對邊 (BC) 鄰邊 (AC) tan = 對邊 (AC) 鄰邊 (BC) = = ∴ = 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(38) 參看附圖，求 的值。 tan = 對邊 (BC) 鄰邊 (AC) tan = 對邊 (AC) 鄰邊 (BC) = = ∴ = = 5.76 習題目標 已知直角三角形的對邊及鄰邊，求正切的值。 重點理解 11.1.9 目錄

求 tan 58.2° 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） 按鍵次序 1.6128… 答案 tan 58.2° = 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(39) 求 tan 58.2° 的值。 （答案須準確至三位有效數字。） 按鍵次序 tan 58.2 EXE 答案 1.6128… tan 58.2° = 1.61 （準確至三位有效數字） 目錄

已知 tan = 1.72，求  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 59.8… 答案 由於 tan = 1.72， 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(40) 已知 tan = 1.72，求  的大小。 （答案須準確至最接近的度。） 按鍵次序 SHIFT tan 1.72 EXE 答案 59.8… 由於 tan = 1.72， 所以  = 60° （準確至最接近的度） 重點理解 11.1.10 目錄

求圖中的未知角  和 。 （答案須準確至三位有效數字。） tan = 對邊 (BC) 鄰邊 (AC) = ∴  = 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(41) 求圖中的未知角  和 。 （答案須準確至三位有效數字。） tan = 對邊 (BC) 鄰邊 (AC) = ∴  = 67.0°（準確至三位有效數字） 目錄

∴  = 90° –  = 90° – 67.011° = 23.0° （準確至三位有效數字） 習題目標 目錄 11.1 三角比簡介 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(42) 返回問題 ∴  = 90° –  = 90° – 67.011° = 23.0° （準確至三位有效數字） 習題目標 利用正切求直角三角形中的未知量。 目錄

求圖中 d 的值。（答案須準確至一位小數。） 11.1 三角比簡介 2B_Ch11(43) 求圖中 d 的值。（答案須準確至一位小數。） tan 23° = = ∴ d = 3.5tan 23° = 1.5 （準確至一位小數） 習題目標 利用正切求直角三角形中的未知量。 重點理解 11.1.11 目錄

11.2 三角比的應用 2B_Ch11(44) 例題演示 A) 利用三角比解答平面圖形問題 ‧ 對於涉及直角三角形的平面圖形，我們可以利用三角比（正弦、餘弦和正切）求當中的未知角和未知邊。但在解答時，我們必須選擇適當的三角比去求有關的未知量。 目錄 11.2 目錄

在圖中，BD 是 △ ABC 的高，AB = 40 cm， BC = 56 cm 及∠ABD = 35°。求 x 和 。 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(45) 在圖中，BD 是 △ ABC 的高，AB = 40 cm， BC = 56 cm 及∠ABD = 35°。求 x 和 。 （答案須準確至三位有效數字。） 目錄

考慮 △ABD。 cos 35° = ∴ x = 40cos 35° = 32.766… = 32.8 （準確至三位有效數字） 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(46) 返回問題 考慮 △ABD。 cos 35° = ∴ x = 40cos 35° = 32.766… = 32.8 （準確至三位有效數字） 考慮 △BCD。 sin = = ∴  = 35.8° （準確至三位有效數字） 習題目標 利用三角比解答平面圖形問題。 目錄

（如有需要，取答案準確至三位有效數字。） 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(47) 圖中是一個直角三角形 ABD，其中∠ADB = 90° 及 AB = 20 cm。C 是 BD 上的一點使 BC = 11 cm 及 CD = 5 cm。求圖中的未知量。 （如有需要，取答案準確至三位有效數字。） 目錄

cos = = 在 △ABD 中， ∴  = 36.9°（準確至三位有效數字） 由畢氏定理可得 AD = 即 h = = 12 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(48) 返回問題 cos = = 在 △ABD 中， ∴  = 36.9°（準確至三位有效數字） 由畢氏定理可得 AD = 即 h = = 12 tan = = 在 △ACD 中， ∴  = 67.4° （準確至三位有效數字） 習題目標 利用三角比解答平面圖形問題。 重點理解 11.2.1 目錄

利用三角比解答日常應用問題 B) ‧ 利用三角比，我們可以解決一些與日常生活有關的平面圖形問題。 以下是我們要採用的步驟： 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(49) B) 利用三角比解答日常應用問題 ‧ 利用三角比，我們可以解決一些與日常生活有關的平面圖形問題。 以下是我們要採用的步驟： i. 繪畫適當的圖來清楚表示所有已知的資料。 ii. 明白所求的是圖中哪個未知量。 目錄

利用三角比解答日常應用問題 B) iii. 認出圖中哪個（些）直角三角形與未知量有關。（有時需要加上輔助線來形成相關的三角形。） 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(50) 例題演示 B) 利用三角比解答日常應用問題 iii. 認出圖中哪個（些）直角三角形與未知量有關。（有時需要加上輔助線來形成相關的三角形。） iv. 利用三角比的知識建立關於未知量的方程。 v. 解方程以求未知量。 目錄 11.2 目錄

已知 QR 是水平線，∠PRQ = 45° 及 R 離地面 1.6 m，求該樹的高度。 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(51) 文廸利用一把 45°– 45°– 90°的三角尺 PQR 量度一棵樹 AB 的高度。他站在距離該樹 10 m 的 C 點，由 R 點沿 RP 的方向觀察該樹的頂部 A。 已知 QR 是水平線，∠PRQ = 45° 及 R 離地面 1.6 m，求該樹的高度。 目錄

在 △ARE 中， tan 45° = ∴ AE = RE tan 45° = 10 tan 45° m AB = AE + EB 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(52) 返回問題 【 根據題意，可以繪畫以下所示的圖形，其中AB（即 AE + EB）是所求的長度。】 在 △ARE 中， tan 45° = ∴ AE = RE tan 45° = 10 tan 45° m AB = AE + EB = (10 tan 45° + 1.6) m = 11.6 m 習題目標 利用三角比解答日常應用問題。 ∴ 該樹的高度是 11.6 m。 目錄

素珊在打鞦韆，而該鞦韆的繩子長 3.2 m。她由鞦韆最低的位置開始擺動，然後到達高於鞦韆最低位置 1.2 m 的位置。在這個時候， 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(53) 素珊在打鞦韆，而該鞦韆的繩子長 3.2 m。她由鞦韆最低的位置開始擺動，然後到達高於鞦韆最低位置 1.2 m 的位置。在這個時候， (a) 鞦韆的繩子與鉛垂線所成的角是多少？ (b) 鞦韆所移動的水平距離是多少？ 解 解 （答案須準確至三位有效數字。） 目錄

(a) 【 根據題意，可以繪畫以下所示的圖形，其中 AB 和 AB’ 分別是鞦韆開始和最後的位置。】 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(54) 返回問題 (a) 【 根據題意，可以繪畫以下所示的圖形，其中 AB 和 AB’ 分別是鞦韆開始和最後的位置。】 AC = AB – BC = (3.2 – 1.2) m = 2 m cos = = 在 △AB’C 中，  = 51.3°（準確至三位有效數字） ∴ 鞦韆與鉛垂線所成的角是 51.3°。 目錄

(b) 在 △AB’C 中， sin = B’C = AB’  sin = 3.2  sin 51.318° m 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(55) 返回問題 (b) 在 △AB’C 中， sin = B’C = AB’  sin = 3.2  sin 51.318° m = 2.50 m（準確至三位有效數字） ∴ 鞦韆所移動的水平距離是 2.50 m。 習題目標 利用三角比解答日常應用問題。 目錄

11.2 三角比的應用 2B_Ch11(56) 圖中是一個橫切面是四邊形 OXPY 的溫室。PX 長 13 m 並與地平面成 60° 角，PY 長 8 m 並與溫室背後的牆 YO 的延線形成 40° 角。YO 與地面垂直。 (a) P 距離地面的高度是多少？ (b) YO 有多高？ 解 解 （答案須準確至一位小數。） 目錄

(a) 如右圖所示，作 PR ⊥OX 及 PQ ⊥ TO。 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(57) 返回問題 (a) 如右圖所示，作 PR ⊥OX 及 PQ ⊥ TO。 在 △XPR 中， sin 60° = PR = PX sin 60° = 13 sin 60° m = 11.3 m （準確至一位小數） ∴ P 距離地面的高度是 11.3 m。 目錄

(b) 在 △QPY 中， cos 40° = QY = PY cos 40° = 8 cos 40° m ∴ YO = QO – QY 11.2 三角比的應用 2B_Ch11(58) 返回問題 (b) 在 △QPY 中， cos 40° = QY = PY cos 40° = 8 cos 40° m ∴ YO = QO – QY = PR – QY = (11.258 – 8 cos 40°) m = 5.1 m （準確至一位小數） 習題目標 利用三角比解答日常應用問題。 ∴ YO 高 5.1 m。 重點理解 11.2.2 目錄