第10章 气体分子运动论 (Kinetic theory of gases) 郑采星《大学物理》教案 第10章 气体分子运动论 (Kinetic theory of gases) §1 平衡态与理想气体状态方程 §2 理想气体压强和温度的统计意义 §3 能量按自由度均分原理 理想气体内能 §4 麦克斯韦速率分布律 §5 玻尔兹曼分布律 §6 气体分子的平均碰撞频率 平均自由程 §7 输运过程 §8 真实气体的范德瓦耳斯方程 作业：练习册 选择题 填空题 计算题

热学（Heat） 热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为热运动。 郑采星《大学物理》教案 热学（Heat） 热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为热运动。 1.热学的研究方法： 宏观法 最基本的实验规律逻辑推理(运用数学)  称为热力学。 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质 微观法 物质的微观结构 + 统计方法  称为统计 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。 宏观法与微观法相辅相成。

从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如 M、V、E 等可以累加，称为广延量。 P、T 等不可累加，称为强度量。 郑采星《大学物理》教案 2. 两种研究方法涉及的物理量： 宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如 M、V、E 等可以累加，称为广延量。 P、T 等不可累加，称为强度量。 微观量 描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量m、 直径 d 、速度v、动量 p、能量 等。 宏观量与微观量有一定的内在联系 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。

分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动. 基本特征： (1)无序性 郑采星《大学物理》教案 3 分子热运动和统计规律 分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动. 基本特征： (1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。 (2)统计性 　　但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。 　　分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计力学方法。

大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。 郑采星《大学物理》教案 什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。 定义: 某一事件i 发生的概率为 wi Ni  事件 i 发生的次数 N  各种事件发生的总次数 例. 扔硬币 表演实验：伽耳顿板 统计规律有以下几个特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).

在描写大量分子状态时往往使用统计平均值。 郑采星《大学物理》教案 在描写大量分子状态时往往使用统计平均值。 我们描述的是大量分子的运动。一摩尔气体就有6.0221023个分子。一个个地说明其速度、位置等既无 必要又无可能，因而实际上常用它们的平均值。 怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例： 设有一个系统有N个分子且： 具有速率 v1 分子数为 n1, 出现 v1 值的概率为 n1/N； 具有速率 v2 分子数为 n2, 出现 v2 值的概率为 n2/N； 具有速率 vi 分子数为 ni, 出现 vi 值的概率为 ni/N； 具有速率 vm分子数为 nm, 出现 vm 值的概率为 nm/N。 故平均值:

这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值. 郑采星《大学物理》教案 如果速率看作连续分布,设取v 值的概率为dw，则： 事实上对任一随机量 x 的平均值可表示为 dw为出现 x 值的几率 这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值.

§2 理想气体压强和温度的统计意义 1.理想气体微观模型 微观模型与统计方法 理想气体分子的微观假设 郑采星《大学物理》教案 §2 理想气体压强和温度的统计意义 1.理想气体微观模型 范德瓦耳斯力 微观模型与统计方法 理想气体分子的微观假设 (1)气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。 (2)气体分子的运动遵从牛顿力学的规律； (3)分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。 气体分子之间的距离 引力可认为是零, 看做理想气体。 无相互作用的弹性质点！

2. 对大量分子组成的气体系统的统计假设： 鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实， 作如下假设： 郑采星《大学物理》教案 2. 对大量分子组成的气体系统的统计假设： 鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实， 作如下假设： (1) 容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占有优势． 分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着； (2) 分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势, 即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等．

3. 压强公式的简单推导 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有 郑采星《大学物理》教案 3. 压强公式的简单推导 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有 dI为大量分子在dt 时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。 设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V. 为讨论方便，将分子按速度分组，第i 组分子的速度为vi（严格说在vi 附近）分子数为Ni ,分子数密度为 ni=Ni/V, 并有 n = n1+n2+……+ni+….=ni

平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如右图） 郑采星《大学物理》教案 平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如右图） x dA vixdt 单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为2mvix. dt 时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为 2mni vix2dtdA 关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以 vixdt 为高，以 vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA 。

dt 时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为 郑采星《大学物理》教案 dt 时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为 x dA vixdt 注意：vix< 0 的分子不与dA碰撞。 容器中气体无整体运动， 平均来讲 vix>0 的分子数 等于 vix<0 的分子数。

压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的 郑采星《大学物理》教案 平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有 所以 或者 分子的平均平动动能 显示宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法 相结合得出的统计规律。 压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的 平均作用力 (单位面积上)的统计平均值。

4 理想气体的温度公式 理想气体状态方程的分子形式 由：PV=RT 若分子总数N，则有 PV=NRT/NA 郑采星《大学物理》教案 4 理想气体的温度公式 理想气体状态方程的分子形式 由：PV=RT 若分子总数N，则有 PV=NRT/NA 定义玻尔兹曼常数: k =R/NA =1.3810-23JK-1 则 PV=NkT 或 P=nkT 温度的微观意义 比较 P=nkT 和 ，有 :分子的平均平动动能 是分子无规则运动激烈程度的定量表示. 温度T 标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度.

温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。 郑采星《大学物理》教案 温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。 平均平动动能只与温度有关 5.方均根速率 (气体分子速率平方的平均值的平方根) 方均根速率 在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。

郑采星《大学物理》教案 随堂小议 问题： 1.一定质量的气体,当温度不变时,压强随体积减小而增大; 当体积不变时, 压强随温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都使压强增大;从微观上说,它们是否有区别? （答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导致） 2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试问单位体积内的分子数是否相同? （答案:相同） 3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分子数密度不同,试问他们的压强是否相同? （答案:不同） 4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体分子的平均平动动能是否相同? 单位体积中的分子的总平均平动动能是否相同? （答案:相同,相同）

前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用弹性质点的集合，我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理论与实际吻合得很好。 郑采星《大学物理》教案 理想气体模型必须修改 前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用弹性质点的集合，我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理论与实际吻合得很好。 但当我们用这一模型去研究多原子分子时，理论值与实验值相差甚远。 1857年克劳修斯提出：要修改模型。而不能将所有分子都看成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考察其平动，而且还要考虑分子的转动、振动等。

§3 能量按自由度均分原理 理想气体内能 1.自由度 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。 郑采星《大学物理》教案 §3 能量按自由度均分原理 理想气体内能 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。 这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。 作为统计理论初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念 1.自由度 自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数. t : 平动自由度, r : 转动自由度

c x，y，z 刚性多原子分子 t =3 r =3  方位：2 质心：3 转动：1  ，  单原子分子(自由运动质点) t = 3 郑采星《大学物理》教案 单原子分子(自由运动质点) t = 3 刚性双原子分子 t =3 r =2 （两个被看作质点的原子被一条几何线连接） 刚性多原子分子 t =3 r =3  c 质心：3 x，y，z 方位：2  ， 转动：1 

2. 能量按自由度均分定理 一个分子的平均平动动能为： 可得平衡态下 平方项的平均值 平动自由度 分子的每一个平动自由度的平均动能都等于 郑采星《大学物理》教案 2. 能量按自由度均分定理 一个分子的平均平动动能为： 可得平衡态下 平方项的平均值 平动自由度 分子的每一个平动自由度的平均动能都等于 推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。

在温度为T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于 。 郑采星《大学物理》教案 在温度为T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于 。 非刚性双原子分子 除平动能、转动能， 还有振动能： 每个振动自由度s 分配平均能量 1个振动自由度还有 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。

3. 理想气体的内能 内能：热力学系统的全部微观粒子具有的总能量， 包括分子热运动的动能、分子间的势能、原子 郑采星《大学物理》教案 3. 理想气体的内能 内能：热力学系统的全部微观粒子具有的总能量， 包括分子热运动的动能、分子间的势能、原子 内及核内的能量。这里特指前两种，用E 表示。 对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括 所有分子的平均动能之和。 i 表示一个分子的总自由度 N 表示气体分子的总数  表示气体总摩尔数 分子的平均动能 理想气体的内能 此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。 理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比

随堂小议 例1：在标准状态下，若氧气和氦气的体积比为1/2，求其内能之比。 解： 氧气 i1=5 和氦气 i2=3 郑采星《大学物理》教案 随堂小议 例1：在标准状态下，若氧气和氦气的体积比为1/2，求其内能之比。 解： 氧气 i1=5 和氦气 i2=3 例2：设氦气和氮气的质量相等，方均根速率相等。则氦气和氮气的内能之比为多少？ 解： 氦气i1=3和氮气i2=5

郑采星《大学物理》教案 §4 麦克斯韦速率分布律 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，因此，写出分布函数是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。 N个分子组成的理想气体到达平衡态时，分子的速度分布是什么？这是一个非常有实际意义的问题，也是统计物理研究的主要问题之一。

速率分布函数 一定量的气体分子总数为N dNv 表示速率分布在某区间 v ~v + dv内的分子数， 郑采星《大学物理》教案 速率分布函数　　　　　 一定量的气体分子总数为N　 dNv 表示速率分布在某区间 v ~v + dv内的分子数， dNv /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率 （百分比）。 dNv /N 是v 的函数，在不同速率附近取相等的区间， 此比率一般不相等。 　　　 dNv /N还应与区间大小成正比。 物理意义：速率在 v 附近，单位速 率区间的分子数占总分子数的比率。 因此有 或 归一化条件

1. 分子速率的实验测定 兰媚尔实验 原理：速率筛每旋转一周，分子通过筛，到达屏上，但不是所有速率的分子都能通过分子速率筛的。只有满足关系： 郑采星《大学物理》教案 （装置置于真空之中） 1. 分子速率的实验测定 兰媚尔实验 原理：速率筛每旋转一周，分子通过筛，到达屏上，但不是所有速率的分子都能通过分子速率筛的。只有满足关系： 即只有速率为： 的分子才能通过。 改变， 等可让不同速率的分子通过, 通过光度法测量沉积层的厚度, 可得不同速率的分子数占总分子的百分比。

v (m/s) N/N% v 粒子速率分布实验 曲线如下所示 下面列出了Hg分子在某温度时不同 速率的分子数占总分子的百分比。 郑采星《大学物理》教案 粒子速率分布实验 曲线如下所示 O v 相对粒子数 下面列出了Hg分子在某温度时不同 速率的分子数占总分子的百分比。 光度法测量沉积层的厚度 v (m/s) N/N% 90以下 6.2 90  140 10.32 140  190 18.93 190  240 22.70 240  290 18.30 290  340 12.80 340  390 390以上 4.0 v v+dv

郑采星《大学物理》教案 2. 麦克斯韦速率分布律 （1858年从理论上推导） 麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面，同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。 v v+dv

在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 v ~ v + dv 的分子数占总分子数的比率为 郑采星《大学物理》教案 麦克斯韦速率分布律 　（一定条件下，速率分布函数的具体形式） 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 v ~ v + dv 的分子数占总分子数的比率为 麦克斯韦速率分布函数

麦克斯韦速率分布曲线 f(v) f(vp) vp v v+dv 郑采星《大学物理》教案 最概然速率－与 f(v) 极大值对应的速率。物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP 所在区间的分子数比率最大。 麦克斯韦速率分布曲线 vp v v+dv f(v) f(vp) 当 v = vp时 曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。 归一化条件

同一气体不同温度下速率分布比较 vp 随 T 升高而增大， 随 m 增大而减小。 可讨论 T 和 m 对 速率分布的影响。 温度越高， 郑采星《大学物理》教案 同一气体不同温度下速率分布比较 vp 随 T 升高而增大， 随 m 增大而减小。 可讨论 T 和 m 对 速率分布的影响。 温度越高， 速率大的分子数越多

三者和T、m(或  )的关系相同; 三种速率使用于不同的场合。 郑采星《大学物理》教案 三者和T、m(或  )的关系相同; 三种速率使用于不同的场合。 一般与速率有关物理量g(v) 的平均值，可由下式决定

随堂小议 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？ 在空气中有O2，N2，Ar，H2，C02等分子，其中以H2的摩尔质量最小。 郑采星《大学物理》教案 随堂小议 试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？ 在空气中有O2，N2，Ar，H2，C02等分子，其中以H2的摩尔质量最小。 从上式可知，在同一温度下H2的的平均速率较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层。 H2摩尔质量最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、C02达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H2在大气中的含量最少。

以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。 郑采星《大学物理》教案 麦克斯韦速度分布律 速率空间体积元 速度空间体积元 v vz vy vx ＊速度空间的概念 表示分子的速度 　以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。

麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速度分布律 郑采星《大学物理》教案 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速度分布律 　 在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx，vy 在区间vy~vy+dvy，vz在区间vz~vz+dvz内的分子数占总分子数的比率为 麦克斯韦速度分布函数

§5 玻尔兹曼分布律 麦氏速度分布律为 其指数仅包含 分子运动动能 设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为p ， 郑采星《大学物理》教案 §5 玻尔兹曼分布律 麦氏速度分布律为 其指数仅包含 分子运动动能 设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为p ， 用x, y, z和vx, vy, vz 为轴构成的六维空间中的体积元dxdydzdvxdvydvz 代替速度空间的体积元dvxdvydvz 分子受力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。

玻尔兹曼分布律（分子按能量分布定律） 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间 郑采星《大学物理》教案 玻尔兹曼分布律（分子按能量分布定律） 当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间 x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz内，同时速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz内的分子数为 n0为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。 将玻尔兹曼分布率对速度空间积分,有 归一化条件

每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。 郑采星《大学物理》教案 重力场中粒子按高度的分布（ ） 等温大气压强公式（高度计原理） 假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等。 利用：P = nkT 可得: 每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。

分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。在 研究分子碰撞规律时，可把 气体分子看作无吸引力的有 郑采星《大学物理》教案 §6 分子平均碰撞次数 平均自由程 1. 分子碰撞 分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。在 研究分子碰撞规律时，可把 气体分子看作无吸引力的有 效直径为d 的刚球。 分子碰撞也是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次,每次飞翔多远才碰撞，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些平均值来描写。 线度 ~ 10-8m 气体分子自由程

一个分子连续两次碰撞之间经历的平均路程叫平均自由程  。 2.平均自由程 平均碰撞频率 郑采星《大学物理》教案 一个分子连续两次碰撞之间经历的平均路程叫平均自由程  。 2.平均自由程 平均碰撞频率 气体分子自由程 线度 ~ 10-8m 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 z 。 单位时间内分子经历的平均距离 v ，平均碰撞 z 次。

 平均自由程 和平均碰撞频率 的计算 跟踪分子A，看其在一段时间t 内与多少分子相碰。 郑采星《大学物理》教案 平均自由程 和平均碰撞频率 的计算 跟踪分子A，看其在一段时间t 内与多少分子相碰。 假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们之间以平均相对速率 运动。 A  分子A的运动轨迹为一折线以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。

圆柱体的截面积为 ，叫做分子的碰撞截面。  =  d 2 郑采星《大学物理》教案 圆柱体的截面积为 ，叫做分子的碰撞截面。  =  d 2 在t 内，A所走过的路程为 ， 相应圆柱体的体积为 ， 设气体分子数密度为n。则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t 时间内与A相碰的分子数为n 。 平均碰撞频率为

平均自由程为 说明：平均自由程与分子有效直径的平方及单位体积内的分子数成反比，与平均速率无关。 郑采星《大学物理》教案 平均自由程为 说明：平均自由程与分子有效直径的平方及单位体积内的分子数成反比，与平均速率无关。 在标准状态下，多数气体平均自由程 ~10-8m，只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m，故  d。可求得 ~109/秒。 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！

随堂小议 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？ 郑采星《大学物理》教案 随堂小议 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？ 答：推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理想气体分子看作弹性自由质点； 在推导内能公式时，计算每个分子所具有的平均能量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍看作质点外，其他分子都看成了质点的组合； 推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定大小、有效直径为d 的弹性小球。

(vp-)速率区间分子的平均平动动能？ 郑采星《大学物理》教案 讨论题 已知 f (v) 为麦克斯韦分布函数，N为总分子数，m为分子质量，vp分子的最可几速率，问下列各式的物理意义： (vp-) 速率区间的分子占总分子数的百分比（几率）。 (vp-)速率区间的分子数 (vp-)速率区间分子的平均平动动能？ 讨论

(vp-)速率区间分子的平均平动动能： 郑采星《大学物理》教案 (vp-)速率区间分子的平均平动动能： ( vp –  ) ( 0 – vp) (vp – ) 速率区间的分子对分子平均平动动能的贡献。