宋明玉

第二篇 热 学 第二篇 热 学 主讲 宋明玉 热力学第一定律 热力学第二定律 热力学 统计方法 宏观量是微观量的 统计物理学 统计平均 第二篇 热 学 第二篇 热 学 主讲 宋明玉 热力学第一定律 热力学第二定律 热力学 统计方法 宏观量是微观量的 统计平均 统计物理学 量子统计物理

第一章气体动理论 第一章 麦克斯韦 气体动理论基础 玻耳兹曼

①热现象: ②热运动 §1.1 平衡态 气体的状态方程 §1.1气体的状态方程 一.热学研究的对象和方法 (1).宏观法. 1. 研究对象: §1.1 平衡态 气体的状态方程 一.热学研究的对象和方法 (1).宏观法. 1. 研究对象: 基本的实验规律逻辑推理 (运用数学) ------称为热力学 (thermodynamics) 研究物态变化时热、功 转换关系. 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。 (2).微观法: 物质的微观结构 + 统计方法 统计物理学(statistical physics) 优点:揭示热现象的微观本质。 缺点:可靠性、普遍性差。 热现象、热运动规律 ①热现象: 与温度有关的物理现象. (温度变化伴随物体体积、压强也变. 即物体的状态 发生变化.) ②热运动 (thermal motion) 组成物质的原子、分子的无规则地运动(布朗运动),是一种新的运动形式. 2.热运动的研究方法：

热力学系统 二.热力学系统 (thermodynamic system) 热力学研究的对象，它包含 极大量的分子、原子。 外界:热力学系统以外的 物体。 根据能量与质量传递的不同 (1).宏观法. 基本的实验规律逻辑推理 (运用数学) ------称为热力学 (thermodynamics) 研究物态变化时热、功 转换关系. 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。 (2).微观法: 物质的微观结构 + 统计方法 统计物理学(statistical physics) 优点:揭示热现象的微观本质。 缺点:可靠性、普遍性差。 开放系统 孤立系统 封闭系统 热力学系统 三、平衡态 状态参量 平衡态:(equilibrium state)  在无外界影响下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变。

(thermodynamic system) 热力学研究的对象，它包含 极大量的分子、原子。 外界:热力学系统以外的 物体。 平衡态 A B 绝热板 初态 二.热力学系统 (thermodynamic system) 热力学研究的对象，它包含 极大量的分子、原子。 外界:热力学系统以外的 物体。 根据能量与质量传递的不同 开放系统 孤立系统 封闭系统 热力学系统  在无外界影响下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变。 三、平衡态 状态参量 平衡态:(equilibrium state) A、B 两体系 互不影响各自达到平衡态 A B 导热板 末态 A、B 两体系 达到共同的 热平衡状态 (1)平衡态是一种热动平衡； 处在平衡态的大量分子仍 在作热运动，而且因为碰 撞， 每个分子的速度经常 在变，但是系统的宏观量 不随时间 改变。

绝热板 A 初态 例: 粒子数是宏观量 A、B 两体系 互不影响各自达到平衡态 B 箱子假想分成两相同体积 的部分，达到平衡时，两 状态参量 A B 绝热板 初态 A、B 两体系 互不影响各自达到平衡态 达到共同的 热平衡状态 导热板 末态 (1)平衡态是一种热动平衡； 处在平衡态的大量分子仍 在作热运动，而且因为碰 撞， 每个分子的速度经常 在变，但是系统的宏观量 不随时间 改变。 例: 粒子数是宏观量 箱子假想分成两相同体积 的部分，达到平衡时，两 侧粒子有的穿越界线，但 两侧粒子数相同。 (2)平衡态是一种理想概念。 状态参量: 描述热力学系统特征 的物理量. ⑴ 体积V(几何参量) 分子到达的空间,即容器 的容积.单位:m3. ⑵ 压强P (力学参量):

分子碰撞器壁的力. 例: 单位: 粒子数是宏观量 ⑶温度T: 箱子假想分成两相同体积 表征物体的冷热程度. 的部分，达到平衡时，两 热力学第零定律 分子碰撞器壁的力. 单位: 粒子数是宏观量 例: 箱子假想分成两相同体积 的部分，达到平衡时，两 侧粒子有的穿越界线，但 两侧粒子数相同。 (2)平衡态是一种理想概念。 状态参量: 描述热力学系统特征 的物理量. ⑴ 体积V(几何参量) 分子到达的空间,即容器 的容积.单位:m3. ⑵ 压强P (力学参量): ⑶温度T: 表征物体的冷热程度. (用温度计测量) 热力学第零定律 (热平衡状态) 如果系统A和 系统B分别与 系统C的同一 状态处于热平 衡,那么,当A与B 接触时它们也必是 处于热平衡. A B C

即:①处于热平衡的多个系统必具有相同的温度,或 ②具有相同温度的多个系 统放在一起,它们也必处于 热平衡. 处在相互热平衡状态 ⑶温度T: 表征物体的冷热程度. (用温度计测量) 热力学第零定律 (热平衡状态) 分子碰撞器壁的力. 单位: A B C 如果系统A和 系统B分别与 系统C的同一 状态处于热平 衡,那么,当A与B 接触时它们也必是 处于热平衡. 即:①处于热平衡的多个系统必具有相同的温度,或 ②具有相同温度的多个系 统放在一起,它们也必处于 热平衡. 处在相互热平衡状态 的系统拥有某一共同的宏 观物理性质——温度. 温标:温度的数值表示方法。 热力学温标(绝对温标) T : 摄氏温标 ( t 0C ) (T)单位:开尔文 (k) 二者的关系: 00C=273.16 K

t=T-273.16(0C ) 2. 微观量 热力学第三定律 T 0 即: 即:①处于热平衡的多个系统必具有相同的温度,或 (T)单位:开尔文 (k) 二者的关系: 00C=273.16 K 热力学温标(绝对温标) T : 摄氏温标 ( t 0C ) 即:①处于热平衡的多个系统必具有相同的温度,或 ②具有相同温度的多个系 统放在一起,它们也必处于 热平衡. 处在相互热平衡状态 的系统拥有某一共同的宏 观物理性质——温度. 温标:温度的数值表示方法。 热力学系统的两种描述方法： 宏观量 从整体上描述系统的状态. 一般可以直接测量。 如 压强P、体积V、温度 T 等。 2. 微观量 描述系统内微观粒子的物理 量。 如分子的质量、 直径、 速度、动量、能量  等。 微观量与宏观量有一定 的内在联系。 热力学第三定律 热力学零度是不可能达到的! 即: ≠ T 0

t=T-273.16(0C ) 2. 微观量 热力学第三定律 T 0 热力学系统的两种描述方法： 宏观量 从整体上描述系统的状态. 一般可以直接测量。 如 压强P、体积V、温度 T 等。 2. 微观量 描述系统内微观粒子的物理 量。 如分子的质量、 直径、 速度、动量、能量  等。 微观量与宏观量有一定 的内在联系。 热力学第三定律 热力学零度是不可能达到的! 即: t=T-273.16(0C ) ≠ T 0 六、物态方程 理想气体 1. 物态方程 当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系： -----物态方程(状态方程) 2. 理想气体: 各种不同的压强P下都有PV=常量的气体.或常温,常压或P不太大,T不太低.)

=νRT NA=6.02 1023/ mol + 物态方程 六、物态方程 理想气体 六、物态方程 理想气体 当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系： -----物态方程(状态方程) 1. 物态方程 2. 理想气体: 各种不同的压强P下都有PV=常量的气体.或常温,常压或P不太大,T不太低.) 设一定量气体体积为V,分子总数为N,质量为M,摩尔质量为Mmol,状态变化时,有 Mmol =νRT 理想气体遵循: 玻意尔定律 盖—吕萨克定律 查理定律 R---普适气体常量 说明: ①阿伏加德罗常数 NA=6.02 1023/ mol +

②分子数密度 n=N/ V =νRT NA=6.02 1023/ mol + 理想气体 理想气体遵循: Mmol 设一定量气体体积为V,分子总数为N,质量为M,摩尔质量为Mmol,状态变化时,有 =νRT 说明: ①阿伏加德罗常数 R---普适气体常量 盖—吕萨克定律 查理定律 玻意尔定律 NA=6.02 1023/ mol + ③玻尔兹曼常数 k : 设每个分子质量为m, 分子总数为N, 玻尔兹曼常数

玻尔兹曼常数 ③玻尔兹曼常数 k : 设每个分子质量为m, 分子总数为N, ②分子数密度 n=N/ V 玻尔兹曼常数 例1氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。 解: 根据题意，可确定研究 对象为原来气体、用去气体 和剩余气体，设这三部分气 体的状态参量分别为: ， 使用时的温度为T

例1 设可供x天使用 例1氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。 解: 根据题意，可确定研究 对象为原来气体、用去气体 和剩余气体，设这三部分气 体的状态参量分别为: 使用时的温度为T ， = 原有 每天用量 剩余 分别对它们列出状态方程，有 ，

设可供x天使用 原有 每天用量 剩余 分别对它们列出状态方程，有 ， =

§ 1-2 理想气体的压强公式 § 1-2 理想气体的压强公式 一、理想气体的分子模型 2、气体的性质与方向无关， 1、分子可以看作质点. § 1-2 理想气体的压强公式 § 1-2 理想气体的压强公式 一、理想气体的分子模型 1、分子可以看作质点. 2、除碰撞外，分子之间的 作用可忽略不计。 3、分子可看成刚性球,分子 间的碰撞是完全弹性的。 理想气体的分子模型: 弹性的自由运动的质点。 2、气体的性质与方向无关， 即在各个方向上速率的 各种平均值相等。 ， 3、各部分的分子数密度相 同(不因碰撞而丢失具有 某一速度的分子) 三．理想气体的压强公式 二.理想气体的分子性质 (统计性假设) 平衡态下： 1、平均而言，沿各个方向 运动的分子数相同。 气体对器壁的压强应 该是大量分子对容器不断 碰撞的统计平均结果。 一定质量的处于平衡态 的某种理想气体(V, N, m)

2、气体的性质与方向无关， 即在各个方向上速率的 各种平均值相等。 ， 3、各部分的分子数密度相 同(不因碰撞而丢失具有 某一速度的分子) 理想气体的分子模型分子性质 2、气体的性质与方向无关， 即在各个方向上速率的 各种平均值相等。 ， 3、各部分的分子数密度相 同(不因碰撞而丢失具有 某一速度的分子) 三．理想气体的压强公式 气体对器壁的压强应 该是大量分子对容器不断 碰撞的统计平均结果。 一定质量的处于平衡态 的某种理想气体(V, N, m) 撞后返回,动量改变量为 把所有分子按速度分为若干 组，在每一组内的分子速度 大小,方向都差不多。 设第i 组分子的速度为 共有Ni个,其分子数密度为 vi t s x 考虑一个分子A，以速度 vi 奔向一面元，与面元碰

理想气体的压强公式推导 设s 法向为 x 轴, 撞后返回,动量改变量为 设第i 组分子的速度为 共有Ni个,其分子数密度为 vi t 把所有分子按速度分为若 干组，在每一组内的分子 速度大小,方向都差不多。 在t内, 沿x方向平移的距离为vixt , 体积为vixts 的柱体内 所有分子都与s 相碰, 又速度为 的分子中， 各占一半 则与面元s相碰的速度为 的分子数为 其动量改变量：

速度不同的各组分子与面元相碰后总的动量改变量为 设s 法向为 x 轴, 沿x方向平移的距离为vixt , 在t内, 体积为vixts 的柱体内 所有分子都与s 相碰, 又速度为 的分子中， 各占一半 其动量改变量： 则与面元s相碰的速度为 的分子数为 作用在面元上的作用力 压强 由 (统计 表达式)

分子的平均平动动能 速度不同的各组分子与面元相碰后总的动量改变量为 作用在面元上的作用力 压强 由 (统计 表达式) 分子的平均平动动能 (说明P具有统计意义) 令ρ=n m---分子质量密度, 则: 二、理想气体的温度公式

理想气体的温度公式 分子的平均平动动能 (说明P具有统计意义) 二、理想气体的温度公式 令ρ=n m---分子质量密度, 则: 温度是气体分子平均 平动动能大小的量度。 例题 （1）在一个具有活塞的 容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加 热，使它的温度从270C 升到1770C，体积减少一半, 求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均 平动动能变化多少？ 解：

容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加 热，使它的温度从270C 例题 温度是气体分子平均 平动动能大小的量度。 例题 （1）在一个具有活塞的 容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加 热，使它的温度从270C 升到1770C，体积减少一半, 求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均 平动动能变化多少？ 解：

§ 1-3 温度的统计解释 § 1-3 温度的统计解释 εt 1.分子的平均平动动能 (3) 对单个分子不谈温度. ① T很低时,气体变为液 § 1-3 温度的统计解释 § 1-3 温度的统计解释 1.分子的平均平动动能 (3) 对单个分子不谈温度. ① T很低时,气体变为液 态, 说明 不适用. 2.微观量εt与宏观量T ②由 得:T=0时, W =0 ,而分子总在运动, εt 即: 只与温度 T 有关,而与成分无关. 即: T=0 永远达不到 ! (热力学第三定律) 3. 温度的统计意义 (1) 温度是分子热运动的集体 表现. (2) 温度是分子平均平动动能 的一种量度. 4.气体分子的方均根速率 大量分子速率的平方平均值的平方根

∴ k=R/N0 ,μ=m N0 温度的统计意义 (3) 对单个分子不谈温度. ∵ ① T很低时,气体变为液 态, 说明 不适用. (3) 对单个分子不谈温度. 说明 ① T很低时,气体变为液 态, 不适用. ②由 得:T=0时, W =0 ,而分子总在运动, 即: T=0 永远达不到 ! (热力学第三定律) 4.气体分子的方均根速率 大量分子速率的平方平均值的平方根 ∴ k=R/N0 ,μ=m N0 讨论 ① 同种气体, ② 同一温度时,

∴ ③ v2 k=R/N0 ,μ=m N0 不同分子的 不一样. ∵ 说明 v2 不同分子的 不一样. ③ ∵ ∴ k=R/N0 ,μ=m N0 讨论 ① 同种气体, ② 同一温度时, 例题 一个大热气球的容积为2.1 104m3,气球和负载共有质量4.5 103kg,若 + 外部空气温度为200C,要使气球上升,其内部空气最低要加热到多少? 解:热气球上升时,内、外 压强相等, 设 分别表示标准状态下、气球外、气球内部空气的密度、温度及压强,

③ v2 例题 不同分子的 不一样. 一个大热气球的容积为2.1 104m3,气球和负载共有质量4.5 103kg,若 例题 + 不同分子的 不一样. ③ 例题 一个大热气球的容积为2.1 104m3,气球和负载共有质量4.5 103kg,若 + 外部空气温度为200C,要使气球上升,其内部空气最低要加热到多少? 解:热气球上升时,内、外 压强相等, 设 分别表示标准状态下、气球外、气球内部空气的密度、温度及压强, 即对同种气体有: 又由力的平衡条件

即对同种气体有: 又由力的平衡条件 解得: 代入数据

§ 1-4 能量均分定理 § 1-4 能量均分定理 理想气体的内能 i=t+r+s 一.自由度 2.分子的自由度i § 1-4 能量均分定理 理想气体的内能 一.自由度 2.分子的自由度i (分子坐标自由度):决定分子在空间位置所需的独立坐标数目. 平动自由度t 转动自由度r 振动自由度s 确定物体空间位置 的独立坐标数. 1.定义 (1)质点 在线上运动,一个自由度; 在面上运动,两个自由度; 在空间运动,三个自由度. (2)刚体 定质心位置,三个自由度; 定转轴方位,两个自由度; 定刚体绕转轴转过角度, 一个自由度. i=t+r+s 高温体现平动, 转动和振动; 常温体现平动转动, s=0; 低温只体现平动, s=0, r=0. 二.分子能量自由度 确定刚体空间位置的独立 坐标数有六个.六个自由度; 1.定义:分子能量中独立的速度和坐标的平方项数目.

i=t+r+s 自由度 2.分子的自由度i (模型: 质点.) 2.单原子分子 运动能量: 高温体现平动, 转动和振动; 常温体现平动转动, 低温只体现平动, 平动自由度t 转动自由度r 振动自由度s s=0; r=0. s=0, (分子坐标自由度):决定分子在空间位置所需的独立坐标数目 1.定义:分子能量中独立的速度和坐标的平方项数目. 二.分子能量自由度 2.单原子分子 (模型: 质点.) 运动能量: 平动能 自由度 i =3 每一独立的速度平方项对 应的平均平动动能都相等 为 单原子分子

分子能量自由度 2.单原子分子 (模型: 质点.) 运动能量: 平动能 每一独立的速度平方项对 应的平均平动动能都相等 为 自由度 i =3 单原子分子 平动自由度t=3 3.双原子分子 刚性双原子分子:(哑铃模型) 除质心的平动动能外(三个平方项)还有两个转动动能项 自由度i =5. 双原子分子

除质心的平动动能外(三个平方项)还有两个转动动能项 平动自由度t=3 3.双原子分子 刚性双原子分子:(哑铃模型) 除质心的平动动能外(三个平方项)还有两个转动动能项 自由度i =5. 双原子分子 平动自由度t=3 转动自由度r=2 ※非刚性双原子分子 模型: 质点弹簧型 m2 m1 x 除三个平动 ,两个转动外 ,还有一维谐 振动. 振动能量为 故

平动自由度t=3 转动自由度r=2 自由度i =7 ※非刚性双原子分子 4. 三(多)原子分子(刚性分子) 模型: 质点弹簧型 模型: 质点弹簧型 m2 m1 x 除三个平动,两个转动外,还有一维谐振动. 振动能量为 ※非刚性双原子分子 故 自由度i =7 4. 三(多)原子分子(刚性分子) 三原子分子 平动自由度 t =3 转动自由度 r =3

能量均分定理 二. 能量均分定理 自由度i =7 三原子分子 平动自由度 t =3 转动自由度 r =3 4. 三(多)原子分子(刚性分子) 玻耳兹曼假设: 平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是 能量按自由度均分定理 如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为 单原子分子 i =3, 刚性双原子分子 非刚性双原子分子

平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是 二. 能量均分定理 玻耳兹曼假设: 平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是 单原子分子 i =3, 刚性双原子分子 非刚性双原子分子 能量按自由度均分定理 如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为 刚性多原子分子 (本课程只考虑单原子分子和 刚性双原子分子.) 三. 理想气体的内能 内能: 气体分子的能 量 以及分子与分子之间的 势能构成气体内部的总能 量.称为气体的内能. 理想气体的内能: 分子各种运动能量的总和 (不计分子间的相互作用). 1mol理想气体的内能:

例1.一氧气瓶的容积为V,充入氧气后压强为p1,用了一段时间后压强降为p2,则瓶中所剩氧气的内能与用前氧气的内能比为多少. 理想气体的内能 刚性多原子分子 (本课程只考虑单原子分子和 刚性双原子分子.) 三. 理想气体的内能 内能: 气体分子的能量 以及分子与分子之间的势能构成气体内部的总能量.称为气体的内能. 理想气体的内能: 分子各种运动能量的总和(不计分子间的相互作用). 1mol理想气体的内能: Mkg某种理想气体的内能 温度改变,内能改变量为 例1.一氧气瓶的容积为V,充入氧气后压强为p1,用了一段时间后压强降为p2,则瓶中所剩氧气的内能与用前氧气的内能比为多少. 解:设用前有1mol氧气, 用后有2mol氧气,

例1.一氧气瓶的容积为V,充入氧气后压强为p1,用了一段时间后压强降为p2,则瓶中所剩氧气的内能与用前氧气的内能比为多少. Mkg某种理想气体的内能 温度改变,内能改变量为 例1.一氧气瓶的容积为V,充入氧气后压强为p1,用了一段时间后压强降为p2,则瓶中所剩氧气的内能与用前氧气的内能比为多少. 解:设用前有1mol 氧气, 用后有2mol 氧气, 例2.容积为20.0L的瓶子以速率 u =200m/s匀速运动, 瓶中充有质量为100g的氦气. 设瓶子突然停止, 且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能. 瓶子与外界没有热量交换, 求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？ 解:定向运动动能

例2.容积为20.0L的瓶子以速率 u =200m/s匀速运动, 气体内能增量 (i=3) 例2.容积为20.0L的瓶子以速率 u =200m/s匀速运动, 瓶中充有质量为100g的氦气. 设瓶子突然停止, 且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动能. 瓶子与外界没有热量交换, 求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？ 解:定向运动动能 由能量守恒 (1) = 6.42K (2) = 6.67104 Pa

气体内能增量 (i=3) 由能量守恒 (1) = 6.42K (2) = 6.67104 Pa (3) (4) 例3 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。 解:在空气中, N2质量 摩尔数

例3 (3) (4) 例3 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。 解:在空气中, N2质量 摩尔数 O2质量 摩尔数 Ar质量 摩尔数 1mol空气在标态下的内能:

O2质量 摩尔数 Ar质量 1mol空气在标态下的内能:

§ 1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律 § 1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律 § 1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律 § 1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律 ※附:统计规律的基本概念 统计规律性: (statistical regularity) 大量偶然性从整体上所 体现出来的必然性。 例: 扔硬币 算术平均值为  统计规律有以下特点: （1）只对大量偶然的事件 才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). 统计平均值 对某一物理量M 进行测量 统计平均值 算术平均值 出现Mi的几率(概率)

M的统计平均值: ※统计规律的基本概念 一切可能状态的几率Wi与相应的M i值乘积的总和。 算术平均值为 统计平均值 算术平均值 归一化条件 “涨落”现象 测量值与统计值 之间总有偏离。 处在平衡态的系统的 宏观量(如压强P)不随时间 改变， 但不能保证任何时 刻大量分子撞击器壁的情 况完全一样,分子数越多，涨落就越小。 布朗运动是可观测 的涨落现象之一。

M的统计平均值: 分子速率分布 “涨落”现象 布朗运动是可观测 的涨落现象之一。 处在平衡态的系统的 宏观量(如压强P)不随时间 改变， 但不能保证任何时 刻大量分子撞击器壁的情 况完全一样,分子数越多，涨落就越小。 归一化条件 测量值与统计值 之间总有偏离。 M的统计平均值: 一切可能状态的几率Wi与相应的M i值乘积的总和。 分子速率分布 (理想气体某确定温度的平衡态时) 一. 分子运动的图景 1.单个分子速度(v) 的大小 方向瞬息万变; 2.大量分子某时刻速度(v) 的分布成为必然; 3.单个分子速度(v) 的大小 长时间分布也成为必然. 这必然是: (1)在某速率区间的分子数占 总分子数的比值必然; (2)分子速率取某速率区间值 的概率必然. (3)分子各向运动的概率相等.

二.麦克斯韦速率分布律 一. 分子运动的图景 分子速率分布 (理想气体某确定温度的平衡态时) (统计方法) 一. 分子运动的图景 1.单个分子速度(v) 的大小 方向瞬息万变; 2.大量分子某时刻速度(v) 的分布成为必然; 3.单个分子速度(v) 的大小 长时间分布也成为必然. 这必然是: (1)在某速率区间的分子数占 总分子数的比值必然; (2)分子速率取某速率区间值 的概率必然. (3)分子各向运动的概率相等. 1. 取速率区间Δv 讨论某速率区间v ～ v +Δv 的分子数占总分子数的比值, 或分子速率取某速率区间 v～ v +Δv值的概率,得出分子数按速率分布的分布情况. Δv越小, 速率分布情况越精确. ΔN / N ( Δv) v

二.麦克斯韦速率分布律 二.麦克斯韦速率分布律 → dN/N=f(v)dv (统计方法) 讨论某速率区间v ～ v +Δv 的分子数占总分子数的比值, 或分子速率取某速率区间 v～ v +Δv值的概率,得出分子数按速率分布的分布情况. Δv越小, 速率分布情况越精确. ΔN v / N ( Δv) 1. 取速率区间Δv 当Δv0, 即Δv 成为dv 时,得 出的分布图就和实际的分布 图一致. 2.麦氏速率分布律f(v) dN/N dv → dN/N=f(v)dv 比例系数是v的函数. f(v)=dN/(Ndv) f(v)表示在速率v 附近单位 速率区间的分子数占总分子 数的比值.或分子速率取v 附 近单位速率区间的概率----- 麦克斯韦速率分布律. ΔN/(NΔv) v 3.分子速率v1～ v2的分子数

→ dN/N=f(v)dv 曲线下的总面积为1. 当Δv0, 即Δv 成为dv 时,得 出的分布图就和实际的分布 图一致. f(v)=dN/(Ndv) f(v)表示在速率v 附近单位 速率区间的分子数占总分子 数的比值.或分子速率取v 附 近单位速率区间的概率----- 麦克斯韦速率分布律. 3.分子速率v1～ v2的分子数 dN=Nf(v)dv f(v) v O ΔN=∫dN v1 dv = N f(v)dv v2 4.分子速率 P= f(v)dv 取v1～ v2的概率 f(v)dv=1 5.归一化条件 分子速率为0 ~ 的分子数 占总分子数的比值为1, 分 子速率取0 ~ 的概率为1. 曲线下的总面积为1. 测分子速率分布的实验 三.麦氏分布的特点:

曲线下的总面积为1. 三.麦氏分布的特点: 1.具有速率很小和很大的 分子数少. f(v)曲线有一极大值vp---- 最概然速率(最可几速率) f(v) v O v1 v2 dN=Nf(v)dv dv ΔN=∫dN = N f(v)dv 4.分子速率 取v1～ v2的概率 P= f(v)dv f(v)dv=1 分子速率为0 ~ 的分子数 占总分子数的比值为1, 分 子速率取0 ~ 的概率为1. 5.归一化条件 三.麦氏分布的特点: 测分子速率分布的实验 曲线下的总面积为1. f(v) v f(vp) vp 2. f(v)与T有关.当T,曲线最 大值右移.曲线变平坦. 即 :T2 >T1时, vp2 > vp1

四、分子速率的三个统计值 f(v) v f(v) v 1.具有速率很小和很大的 分子数少. f(v)曲线有一极大值vp---- 最概然速率(最可几速率) 2. f(v)与T有关.当T,曲线最 大值右移.曲线变平坦. 即 :T2 >T1时, vp2 > vp1 f(v) v f(vp) vp f(v) v vp1 vp2 T2 T1 < T2 f(v) v vp2 m2 vp1 m1 < m2 3. f(v)与分子质量有关,当分 子质量增加时,曲线最大 值左移. 即 m2 > m1时, vp2 < vp1

四、分子速率的三个统计值 f(v) 最概然速率(最可几速率)vp 在一定温度下,vp附近单位速 T1 < T2 1. 最概然速率 四、分子速率的三个统计值 最概然速率(最可几速率)vp 在一定温度下,vp附近单位速 间隔内的相对分子数最多. 即vp对应曲线 f(v)的极大值 f(v) v vp1 vp2 T2 T1 < T2 m2 m1 < m2 即 m2 > m1时, vp2 < vp1 2.算术平均速率

v 四、分子速率的三个统计值 最概然速率(最可几速率)vp 在一定温度下,vp附近单位速 间隔内的相对分子数最多. 2.算术平均速率 四、分子速率的三个统计值 最概然速率(最可几速率)vp 在一定温度下,vp附近单位速 间隔内的相对分子数最多. 即vp对应曲线 f(v)的极大值 2.算术平均速率 3.方均根速率 注意 ， 的比较: f(v) v v2 vp <v < f(vp) f(v) f( ) v2 >

v 3.方均根速率 f(v) 注意 ， 的比较: v2 vp <v < f(vp) f( ) > 都与 成正比， 都与 成正比， 与 （或 )成反比 例1. 一容器被隔板分成相等两半,一半装氦,温度为250K,另一半装氧, 温度为310K,二者压强相等.求去掉隔板两种气体混合后的温度. 解:混合前, 因 p1=p2 , V1=V2 , 由 pV=νRT 得： ν1T1=ν2T2 E0=3ν1RT1/2+5ν2RT2/2 =4ν1RT1

例1. 一容器被隔板分成相等两半,一半装氦,温度为250K,另一半装氧, 温度为310K,二者压强相等.求去掉隔板两种气体混合后的温度. ν1T1=ν2T2 都与 成正比， 与 （或 )成反比 例1. 一容器被隔板分成相等两半,一半装氦,温度为250K,另一半装氧, 温度为310K,二者压强相等.求去掉隔板两种气体混合后的温度. 解:混合前, 因 p1=p2 , V1=V2 , 由 pV=νRT 得： ν1T1=ν2T2 E0=3ν1RT1/2+5ν2RT2/2 =4ν1RT1 混合后 E=3ν1RT/2+5ν2RT/2 =3ν1RT/2+5(ν1T1/T2)RT/2 =(ν1RT/2)(3+5T1/T2) =4ν1RT1 =E0 T=8T1/(3+5T1/T2) =284K 设想有N个气体分子， 其速率分布函数为 例题2 试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；

试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数； (4)速率介于0~v0/3之间 例题2 混合后 E=3ν1RT/2+5ν2RT/2 =3ν1RT/2+5(ν1T1/T2)RT/2 =(ν1RT/2)(3+5T1/T2) =E0 =4ν1RT1 T=8T1/(3+5T1/T2) =284K 设想有N个气体分子， 其速率分布函数为 例题2 试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数； (4)速率介于0~v0/3之间 的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件

例题2 (2)最可几速率 (4)速率介于0~v0/3之间 的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件 得： 由 平均速率 方均速率

(2)最可几速率 得： 由 平均速率 方均速率 方均根速率为 (3)速率介于0~v0/3之间的 分子数 (4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为

讨论 方均根速率为 (3)速率介于0~v0/3之间的 分子数 (4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 讨论

讨论 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为

随堂小议 随堂小议 设某温度下氢与氧的分布函数 曲线如图所示 m 请在放映状态下点击你认为是对的答案 ① f (v) ② o v 则代表氧的分布函数曲线为 （1）曲线 ① （2）曲线 ② v p m T 8

§1-6玻耳兹曼分布律 § 1-6 玻耳兹曼分布律 一、 麦克斯韦速度分布律 由麦克斯韦速率分布律 § 1-6 玻耳兹曼分布律 一、 麦克斯韦速度分布律 由麦克斯韦速率分布律 内的分子数占总分子数的百分比 速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数） 麦克斯韦速度分布函数 分子的速度分量限制在 ----与粒子的能量有关

速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数） 一麦克斯韦速度分布函数 二、玻尔兹曼分布律 内的分子数占总分子数的百分比 速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数） 麦克斯韦速度分布函数 ----与粒子的能量有关 若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中 气体分子在空间位置不再呈均匀分布 气体分子分布规律如何 玻耳兹曼进行了推广: 在温度为T的平衡态下,任何系统的微观粒子按状态(速率,坐标)的分布与粒子的能量E有关. E = Ek + Ep 即：位置在区间 x ~x+dx，y ~ y+dy，z ~z+dz 粒子速率在区间: vx~vx+dvx ， vy ~ vy+dvy ， vz ~ vz+dvz

在温度为T的平衡态下,任何系统的微观粒子按状态(速率,坐标)的分布与粒子的能量E有关. 二玻尔兹曼分布律 二、玻尔兹曼分布律 若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中 气体分子在空间位置不再呈均匀分布 气体分子分布规律如何 玻耳兹曼进行了推广: 在温度为T的平衡态下,任何系统的微观粒子按状态(速率,坐标)的分布与粒子的能量E有关. E = Ek + Ep 即：位置在区间 x ~x+dx，y ~ y+dy，z ~z+dz 粒子速率在区间: vx~vx+dvx ， vy ~ vy+dvy ， vz ~ vz+dvz 粒子数目为: f(x,y,z,vx,vy,vz)= ——玻氏分布律 (对坐标积分就得麦克斯韦速度分布率) 等宽度区间,能量越低的粒子出现的概率越大； 随着能量升高,粒子出现的概率按指数率减小。 三. 粒子数密度分布 若上式对速度积分,则在体积元dV中的粒子数为:

三.粒子数密度分布 粒子数目为: ——玻氏分布律 (对坐标积分就得麦克斯韦速度分布率) 三. 粒子数密度分布 若上式对速度积分,则在体积元dV中的粒子数为: 随着能量升高,粒子出现的概率按指数率减小。 等宽度区间,能量越低的粒子出现的概率越大； f(x,y,z,vx,vy,vz)= 单位体积内的粒子数为 n0是Ep=0处的粒子数密度 四. 粒子在重力场中按 高度分布 Ep = mgh 重力场中: 由此可得大气压公式.

四.粒子在重力场中按高度分布 重力场中: 由此可得大气压公式. 单位体积内的粒子数为 n0是Ep=0处的粒子数密度 四. 粒子在重力场中按 高度分布 Ep = mgh 利用 p = nkT 变形为 取对数 上式可算出,在常温下,地表面每升高10米,大气压约下降133Pa .

例题 氢原子基态能级 E1=-13.6eV,第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在 例题 室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。 利用 p = nkT 取对数 上式可算出,在常温下,地表面每升高10米,大气压约下降133Pa . 变形为 解： 在室温下，氢原子几乎都处于基态。

§ 1-7 分子的平均碰撞次数平均自由程 § 1-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程 的路程非常曲折。 气体分子平均速率 § 1-7 分子的平均碰撞次数平均自由程 § 1-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程 的路程非常曲折。 气体分子平均速率 氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1. 矛盾? 气体分子热运动平均速率 高，但气体扩散过程进行 得相当慢。 克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走 扩散速率 (位移量/时间) 平均速率 (路程/时间) 一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程---

Z 平均碰撞频率 平均自由程  的路程非常曲折。 气体分子自由程 (线度 ~ 10-8m) 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 扩散速率 (位移量/时间) 平均速率 (路程/时间) 一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程--- 气体分子自由程 (线度 ~ 10-8m) 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 Z 单位时间内分子经历的平均距离 v 则：  = Z v 设分子A以相对平均速率u 运动，其它分子可设为静止。

设分子A以相对平均速率u 运动，其它分子可设为静止。 运动方向上，以d为半径 的圆柱体内的分子都将与 分子A 碰撞，该圆柱体的 平均自由程  气体分子自由程 (线度 ~ 10-8m) 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 单位时间内分子经历的平均距离 v 则：  = Z v 平均碰撞频率 设分子A以相对平均速率u 运动，其它分子可设为静止。 d u A u  运动方向上，以d为半径 的圆柱体内的分子都将与 分子A 碰撞，该圆柱体的 面积  就叫 碰撞截面  =  d2 单位时间内分子 A 走u ， 相应的圆柱体体积为u  ， 则

气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。 2.平均自由程 运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞，该圆柱体的面积  就叫 碰撞截面  =  d2 d u A 单位时间内分子 A 走u ， 相应的圆柱体体积为u  ， 则  Z = n u  统计理论可计算 u= 2 v Z =  2  d2 v n ----平均 碰撞频率 2. 平均自由程   = Z v =  2  d2 n 1  2  d2 P kT p = nkT 对空气分子d ~ 3.5  10 -10 m 标准状态下 Z ~ 6.5  10 9s ，  ~ 6.9  10 -8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。

气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。 例 例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。 Z = n u  统计理论可计算 u= 2 v 2平均自由程   = Z v =  2  d2 n 1  2  d2 P kT 对空气分子d ~ 3.5  10 -10 m 标准状态下 Z ~ 6.5  10 9s ，  ~ 6.9  10 -8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。 Z =  2  d2 v n ----平均 碰撞频率 p = nkT 解： 已知 空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下的平均速率

例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。 ※ 气体的迁移现象 例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。 解： 已知 空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下的平均速率 ※ 气体的迁移现象 （输运过程） 系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。 非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。 最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向

最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向 系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。 (1)内摩擦 ※ 气体的迁移现象 最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向 系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。 非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。 （输运过程） 物理性质均匀的平衡态过渡过程 ---输运过程。 （介绍三种输运过程的基本规律） (粘滞)  A B (1)内摩擦 现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来. 解释:B盘转动因摩擦 邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。 作用力带动了周围的 空气层，这层又带动

物理性质均匀的平衡态过渡过程 ---输运过程。 内摩擦系数η (1)内摩擦 (粘滞) 物理性质均匀的平衡态过渡过程 ---输运过程。 （介绍三种输运过程的基本规律）  A B 现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来. 邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。 解释:B盘转动因摩擦 作用力带动了周围的 空气层，这层又带动 ①定义 相邻两层流体宏观定 向速度不同而流速有趋于一 致的现象. x z u dz u+du ②宏观规律 速度梯度 设流体沿x轴 运动,z轴垂直于流速u gradu=du/dz 上层流体受下层流 体的作用力, 内摩擦力 此力当du/dz>0 时与速度方向相反,有 df = – η (du/dz) dS 内摩擦(粘滞)系数 η η与材料和温度有关,随温度 的升高而明显降低,

①定义 相邻两层流体宏观定 向速度不同而流速有趋于一 致的现象. ②宏观规律 速度梯度 设流体沿x轴 运动,z轴垂直于流速u gradu=du/dz x z u dz u+du 内摩擦力 上层流体受下层流 体的作用力, 此力当du/dz>0 时与速度方向相反,有 df = (du/dz) dS η – 的升高而明显降低, 内摩擦(粘滞)系数 η与材料和温度有关,随温度 单位： N·s/m2=Pa·s ③微观解释 相邻流体因热运动而交换定向动量. 对于气体,设各处温度相同, dt时间内通过界面dS交换 的分子数为 dN=(vdtdS)n/6 z + dz 处分子移向z 处带走 定向动量, z处分子定向 动量增量为 dp= mu(vdtdSn/6) – m(u+du)(vdtdSn/6) dp=–nmvdudtdS/6 等效宏观内摩擦力

(2)热传导 df=dp/dt =–nmvdudS/6 单位： N·s/m2=Pa·s 对于气体,设各处温度相同, 相邻流体因热运动而交换定向动量. ③微观解释 z + dz 处分子移向z 处带走 dN=(vdtdS)n/6 dt时间内通过界面dS交换 的分子数为 定向动量, z处分子 定向动量 增量为 dp= mu(vdtdSn/6) – m(u+du)(vdtdSn/6) dp=–nmvdudtdS/6 等效宏观内摩擦力 =(–nmvdS/6)(du/dz)dz 分子越过界 面可认为是走过最后一个λ 到达另一面的. 正反方向均如此。 dz是宏观无限小. 故 dz=2λ 得 df =(–nmvλdS/3)(du/dz) 粘滞系数 η=nmvλ/3 =ρvλ/3 (2)热传导 间通过界面dS传热为 物体内各处温度不同,热量从 高温处向低温处传递,单位时 dQ/dt = –K(dT/dz)dS 温度梯度 gradT=dT/dz

(3)扩散 df=dp/dt dz是宏观无限小. 分子越过界 面可认为是走过最后一个λ 到达另一面的. 正反方向均如此。 故 dz=2λ 得 =–nmvdudS/6 =(–nmvdS/6)(du/dz)dz df =(–nmvλdS/3)(du/dz) η=nmvλ/3 =ρvλ/3 粘滞系数 (2)热传导 间通过界面dS传热为 物体内各处温度不同,热量从 高温处向低温处传递,单位时 dQ/dt = –K(dT/dz)dS 温度梯度 gradT=dT/dz 负号表示热传导与温度梯度的方向相反 热传导系数 K: （与材料和状态有关） 微观解释 分子热运动使物体 内能迁移. 对于理想气体, 热 传导系数为 K=nmvλcV /3 =ρvλcV /3 cV为定容比热容 (3)扩散 物体内各处密度不同, 质量从 高密度处向低密度处迁移,单 位时间通过界面dS迁移质量 dM/dt=–D(dρ/dz)dS

扩散系数D 密度梯度 gradρ=dρ/dz 负号表示热传导与温度梯度的方向相反 热传导系数 K: （与材料和状态有关） 微观解释 分子热运动使物体 内能迁移. K=nmvλcV /3 =ρvλcV /3 cV为定容比热容 对于理想气体, 热 传导系数为 (3)扩散 物体内各处密度不同, dM/dt=–D(dρ/dz)dS 质量从 高密度处向低密度处迁移,单 位时间通过界面dS迁移质量 负号表示质量迁移与密度梯 度的方向相反 dz x z ρ ρ+dρ dS 扩散系数D： (与材料和状态有关) 微观解释 分子热运动使物体 内部交换分子数,从而产生质 量迁移. 对于气体,设各处温 度相同.设z,z+dz处分子数密 度分别为n,n+dn.dt内z+dz处 分子通过界面dS 向z 处迁移 的分子数为(n+dn)vdtdS/6, z 处分子通过界面dS向z+dz处

单位时间z+dz处通过界面dS迁移来的气体质量为 迁移的分子数为nvdtdS/6, 密度梯度 gradρ=dρ/dz dz x z ρ ρ+dρ dS 负号表示质量迁移与密度梯 度的方向相反 扩散系数D： (与材料和状态有关) 微观解释 分子热运动使物体 内部交换分子数,从而产生质 量迁移. 对于气体,设各处温 度相同.设z,z+dz处分子数密 度分别为n,n+dn.dt内z+dz处 分子通过界面dS 向z 处迁移 处分子通过界面dS向z+dz处 的分子数为(n+dn)vdtdS/6, z z+ dz处分子数的增量为 dN=nvdtdS/6 –(n+dn)vdtdS/6 =–dnvdtdS/6 单位时间z+dz处通过界面dS迁移来的气体质量为 dM/dt= （dN/dt） m =m(–dnvdtdS/6)/dt =–mdnvdS/6 =–d(mn)vdS/6 =–dρvdS/6 =–(dρ/dz)dzvdS/6 =–(dρ/dz)(2λ)vdS/6 =–(dρ/dz)(λv/3)dS 所以理想气体的扩散系数为 D=vλ/3

运动速率全同吗? 麦氏速率分布实验 实验动态示意 v 开口 记录纸 同分子量m 转动圆筒 剥离 重复多次采样后 恒温T 麦克斯韦速率分布实验

测定分子速率分布的实验装置 测定分子速率分布的实验装置 圆筒不转，分子束的分子都射在P处 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置