第八章 可靠性工程 一、常用的失效分布函数 产品寿命T的分布主要有指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布等,对于较复杂的系统在稳定工作时期的偶然失效时间随机变量一般服从指数分布,在耗损期则近似于正态分布,机械零件的疲劳寿命往往是对数正态分布或威布尔分布。

(一)指数分布 ƒ(t)=et (t>0) —失效率为常数是指数分布的重要特征值 1 (一)指数分布 ƒ(t)=et (t>0) —失效率为常数是指数分布的重要特征值 1.可靠度和失效分布函数 R(t)=t  et dt= et F(t)=1 R(t)= 1 et 2.平均寿命 t =0 et dt=  3.寿命方差和寿命标准偏差 t²= 0 (t )et dt = [- et ]0= t= 1 et= 1   1  1 1 1 ² ² 

例：某产品的失效时间服从指数分布,其平均寿命为5000h,试求其使用125h的可靠度和可靠度为0.8时的可靠寿命。 ①∵ R(t)= et 又∵t = =5000 ∴=1/5000 R(125)= e125/5000= 0.9753 ② ∵ R(t)= et/5000=0.8 ∴t=-5000㏑0.8=1115.7h 1 

(二)正态分布(略) (三)对数正态分布 产品寿命T的对数值服从正态分布，即㏑TN(,²) 1.ƒ(t)= e F(t)= 0 tƒ(t)dt=(z) = 0z1/2ez²/2dz 其中z=(㏑t ) /  R(t)=1F(t)=1(z) 2.(t)= 3.t=e+²/2 4.v(T)=t²[e²1] (㏑t)² 1 2² t2 (z)/t 1z

例:某产品的寿命T服从对数正态分布, ㏑TN(,²)。已知: =12h =0 例:某产品的寿命T服从对数正态分布, ㏑TN(,²)。已知: =12h =0.32h 求此产品工作105h的可靠度(105),失效率(105)及可靠度为0.95时的可靠寿命t0.95。

解： 1.z= (㏑t)/=(㏑10512)/0.32=1.5221 R(105)=1.=0.9360 ./0.32 105 1 . 3. R(t0.95)=1z=0.95 z=0.05 查表得：z= .64485 ㏑ t0.95=12+(.64485)0.32=11.47365 ∴t0.95=e11.47365=96148h 2. (105)= =4.2/106h

e((t-a)/b)k (四)威布尔分布 1. k(ta)k-1 bk t≥a 式中：k—形状参数 a—位置参数：产品的最低寿命 b—尺度参数(对图形起放大或缩小作用) F(t)=1 e((t-a)/b)k R(t)=e((t-a)/b)k 2. K(ta)k-1 bk 3.t=a+b(1+1/k) 4.tR=a+b( ㏑R)1/K e((t-a)/b)k ƒ(t)= (t)=

解:R(2500)=e((25001200)/3090)4=0.969  例:某零件寿命服从k=4,a=1200h,b=3090的威布尔分布，试求:此零件工作2500 h的可靠度 和失效率及可靠度为0.99的可靠寿命。 解:R(2500)=e((25001200)/3090)4=0.969 44-1 30904 =0.0000964/h t0.90=1200+3090(㏑0.99)¼=2178h 

系统的可靠性预测 (一)系统与系统结构模型分类 纯并联系统 串联系统 工作贮备系统 系统 （并联冗余系统） r/n表决系统 并联系统 串联系统 工作贮备系统 系统 （并联冗余系统） r/n表决系统 并联系统 理想旁联系统 非工作贮备系统 （旁联系统） 非理想旁联系统

(二)串联系统可靠度计算 如果有某一单元发生故障,则引起系统失效的系统。 设系统的失效时间随机变量为T，组成系统各单元的失效时间随机变量为Ti,I=1,2,…,n.系统可靠度可表示如下： RS=P{(t1>T) (t2>T)  …  (tn>T)} ∵ t1, t2, …, tn>之间互为独立，故上式可以分成 RS(t)=P(t1>T)P (t2>T)P (tn>T) ∴ RS(t)=R1(t)R2(t) …Rn(t)=Ri(t) 1 2 n n i=1

例：由4个单元串联组成的系统，单元的可靠度分别为：RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求系统的可靠度 RS。 若系统各单元的失效时间服从指数分布,则单元的可靠度为： Ri(t)= eit RS(t)=Ri(t) = e[i]t 如果系统的失效率为S,则S=i=1/mi mi—单元i的平均无故障时间 系统的平均无故障时间MTBF为： MTBF=1/ 1/mi n n i=1 n i=1 i=1 n i=1

(三)并联系统的可靠度计算 1.纯并联系统 纯并联系统：所有单元一开始就同时工作,其中任何一个单元都能支持整个系统运行的系统。即在系统中只要不是全部单元失效,系统就可以正常运行。 Fs(t)= P{(t1<T) (t2<T)  …  (tn<T)} 1 2 n

又∵单元相互独立 ∴FS(t)= P(t1<T)P (t2<T) … P (tn<T) =Fi(t) i=1 =[1Ri(t)] ∴RS(t)= 1Fs(t)=1 [1Ri(t)] 例：4个单元组成的并联系统，可靠度分别为RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求 RS=? RS=1 (1Ri) =1 (10.9)(10.8)  (10.7)  (10.6) =0.9976 n i=1 n i=1

2.k/n表决系统 n为组成系统的单元数,k为要求至少同时正常工作的单元数。以2/3表决系统为例计算可靠度。 保证系统正常运行，有下面4种情况 ⑴A、B、C均正常工作 ⑵A失效B、C正常工作 ⑶B失效A、C正常工作 ⑷C失效A、B正常工作 A B C

RS=RARBRC+FARBRC+FBRARC+FCRARB = RA RBRC(1+FA/ RA +FB/RB+ FC/RC) 若三个单元的可靠度均为R时，则 RS=R³(1+3F/R) =R³+3R²F = R³+3R²(1R) =3R ²2R³ 例：有三个可靠度均为0.9的单元组成的系统，试比较纯并联及2/3表决系统的可靠度。

解：纯并联系统可靠度： RS=1 (1Ri) =1(10.9)³ =10.1³=0.999 2/3表决系统可靠度为： RS= 3R ²2R³ =3²0.9²=0.972 一般公式：n中取k系统的可靠度可按二项式分布计算 R(t)=Pn(i)= Cni Ri Fn-i 3 i=1 n n i=k i=k

例：2/4表决系统RA=RB =RC=RD=0.9,求 RS=? 4 解： RS= C4i 0.9i 0.14-i i=2 = C42 0.92 0.12+ C43 0.930.11+ =C44 0.940.10 =0.9963

二.系统的可靠度分配 可靠性分配数学模型的三个基本阶段： 1、各单元的失效是相互独立的。 2、各单元的失效率为常数。 3、任一单元失效回引起系统的失效，即系统是由单元串联而成。 在作可靠性分配时，它们必须满足以下的函数关系： ƒ(R1, R2, …,Rn)≥ RS ① 式中： RS—系统规定的可靠度指标 Ri—分配给第i单元的可靠度

基于以上假设①式可以写成： R1(t) R2(t)… Rn(t)≥ Rs(t) ② 若失效时间服从指数分布则上式可以写成： e1t e2t … ent ≥ est 1+2+…+n≤s (一)等同分配法 将系统的可靠度平均地分配给各单元的方法。 对于串联系统的可靠度为： Rs=  Ri 按等同分配要求，其分配公式为： Ri =(Rs)1/n i=1,2,…n n i=1

例：由三个单元组成的系统,设各单元费用相等,问为满足系统的可靠度为0.729时，对各个单元应分配的可靠度为多少? 解: Ri =(RS)1/n =0.7291/3=0.9 即R1 =R2=R3=0.9

例：由三个单元组成的并联系统,若每个单元分配的可靠度相等,即R1 =R2=R3=R,已知系统的可靠度指标Rs=0 解:∵ RS=1(1 R1 )(1 R2 )(1 R3 ) = 1(1 R)³ ∴R= 1(1 RS)1/3 = 1(1 0.99)1/3=0.7845 ∴ R1 =R2=R3=0.7845

(二)AGREE分配法 美国电子设备可靠性咨询组1957年提出的 设: Rs—系统要求的可靠性 ti—第i个单元的平均寿命 Ei—第i个单元的重要度(表示单元i的失效引起系统失效的概率) 第i单元失效引起系统失效的次数 单元i失效总次数 ti—第i单元的工作时间 i—分配给i单元的失效率 ni—第 i单元的组成件数 N—系统的总组成件数N=ni ni /N—单元i的复杂程度 Ei= n i=1

当第个单元的寿命服从指数分布时,且不考虑其重要程度,则其可靠度为： Ri = Ri(t) =eti/ ti ① 若考虑每个单元重要度Ei时，这时单元的可靠度应为： Ri=1Ei(1 eti/ ti ) ②(据重要度Ei的定义式得)

例:由四个单元组成的串联系统,要求在连续工作24h时的期间内具有0.96的可靠度,试用AGREE方法作可靠度分配。 单元号 i 组成件数 ni 重要度 Ei 工作时间 ti(h) 1 2 3 4 10 20 90 50 1.0 0.9 0.85 24 12

法一 1.计算系统总组成件数 N=ni=10+20+90+50=170 2.按⑨式计算各单元容许失效率 n1(㏑RS) 10(㏑0.96) NE1t1 170124 =0.0001(1/h) 20(㏑0.96) 1700.910 3=0.0009(1/h) 4=0.001177(1/h) 1= = 2= =0.000534(1/h)

3. 按式Ri =ei ti 计算各单元容许可靠度 R1= e0. 000124=0. 997600 R2= e0 3.按式Ri =ei ti 计算各单元容许可靠度 R1= e0.000124=0.997600 R2= e0.00053410=0.994678 R3= e0.000924=0.978620 R4= e0.00117712=0.985974 系统可靠度= R1 R2 R3 R4 =0.957455 法二按⑩式计算 与法一结果十分相似