第2章 电阻电路的等效变换 本章重点 首 页 引言 2.1 电路的等效变换 2.2 电阻的串联和并联 2.3 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换 2.4 电压源、电流源的串联和并联 2.5 实际电源的两种模型及其等效变换 2.6 输入电阻 2.7 首 页

重点： 1. 电路等效的概念； 2. 电阻的串、并联； 3. 电阻的Y— 变换; 4. 电压源和电流源的等效变换； 返 回

2.1 引言 电阻电路 分析方法 仅由电源和线性电阻构成的电路 欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； 2.1 引言 电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路 分析方法 欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； 等效变换的方法,也称化简的方法。 返 回 上 页 下 页

2.2 电路的等效变换 1.两端电路（网络） 任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 无源一端口 i 无源 返 回 上 页 下 页

2.两端电路等效的概念 B C B A C A 两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则称它们是等效的电路。 + - u i + - 返 回 上 页 下 页

明确 电路等效变换的条件： 两电路具有相同的VCR； 电路等效变换的对象： 未变化的外电路A中的电压、电流和功率；（即对外等效，对内不等效） 电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。 返 回 上 页 下 页

2.3 电阻的串联和并联 1.电阻串联 + _ R1 R n u k i u1 un u Rk 电路特点 (a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。 返 回 上 页 下 页

结论 等效电阻 + _ R1 Rn u k i u1 un u Rk u + _ Re q i 等效 由欧姆定律 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 返 回 上 页 下 页

表明 例 串联电阻的分压 电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分压电路。 + _ u R1 R2 - u1 u2 i º 两个电阻的分压： 返 回 上 页 下 页

p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2 p1: p2 :  : pn= R1 : R2 :  :Rn 功率 p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2 p1: p2 :  : pn= R1 : R2 :  :Rn 总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2++ pn 表明 电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比； 等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。 返 回 上 页 下 页

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in 2. 电阻并联 in R1 R2 Rk Rn i + u i1 i2 ik _ 电路特点 (a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。 i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in 返 回 上 页 下 页

=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq 等效电阻 in R1 R2 Rk Rn i + u i1 i2 ik _ + u _ i Req 等效 由KCL: i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq 返 回 上 页 下 页

结论 等效电导等于并联的各电导之和。 电流分配与电导成正比 并联电阻的分流 返 回 上 页 下 页

R1 R2 i1 i2 i 例 两电阻的分流： 返 回 上 页 下 页

p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 :  : pn= G1 : G2 :  :Gn 功率 p1: p2 :  : pn= G1 : G2 :  :Gn 总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2++ pn 表明 电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比； 等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和 返 回 上 页 下 页

3.电阻的串并联 例1 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连接方式称电阻的串并联。 6  计算图示电路中各支路的电压和电流 i1 + - i2 i3 i4 i5 18 6 5 4 12 165V i1 + - i2 i3 18 9 5 165V 返 回 上 页 下 页

i1 + - i2 i3 i4 i5 18 6 5 4 12 165V 返 回 上 页 下 页

例2 + _ 2R R I1 I2 I3 I4 12V U4 U2 U1 求：I1 ,I4 ,U4 ①用分流方法做 解 ②用分压方法做 返 回 上 页 下 页

例3 注意 从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤： 求出等效电阻或等效电导； 应用欧姆定律求出总电压或总电流； 应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！ 6 15 5 d c b a 例3 求: Rab , Rcd 注意 等效电阻针对端口而言 返 回 上 页 下 页

Rab＝70 例4 求: Rab 60 100 b a 120 20 60 100 50 10 b a 40 80 返 回 上 页 下 页

例5 Rab＝10 20 求: Rab 5 a 5 20 b a 15 b 缩短无 电阻支路 7 15 7 6 6 4 3 7 15 b a 4 10 Rab＝10 返 回 上 页 下 页

电阻的混联 电阻混联电路： 既有电阻串联又有电阻并联的电路。 对于电阻混联电路， 可以应用等效的概念， 逐次求出各串、 并联部分的等效电路， 从而最终将其简化成一个无分支的等效电路。 分为三步： 设等电势点； 画直观图； 利用串、 并联方法求等效电阻。

例5 求: Rab 设等电势点c； 15 20 b a 5 6 7 c c d 上 页 下 页

画直观图； 利用串、 并联方法求等效电阻。 a c d b 20 5 6 15 7 Rab＝10 返 回 上 页 下 页

多级放大电路

多个LED驱动如下图： 并口直接驱动 经缓冲器驱动

驱动LED数码管 公共电阻限流 各路分别限流

2.4 电阻星形联结与三角形联结的等换 A C B A D D C RO RO B B C A RO D

RO RO Ia Ia a a Ra Y-等效变换 Rab Rca Rc Ib Ib Rbc Rb c c b Ic Ic b D C B A D RO Ia Ib Ic b c Ra Rc Rb a a c b Rbc Rab Ia Ib Ic Y-等效变换 Rca 电阻Y形联结 电阻形联结

1. 电阻的 、Y形连接 b a R1 R R4 R3 R2 包含 R1 R2 R3 1 2 3 R12 R31 R23 1 2 3 三端网络  形网络 Y形网络 返 回 上 页 下 页

2. —Y 变换的等效条件 i1 =i1Y , i2  =i2Y , i3  =i3Y , u23 i3  i2  i1 + – u12 u31 R12 R31 R23 1 2 3 i1Y i2Y i3Y + – u12Y u23Y u31Y R1 R2 R3 1 2 3 i1 =i1Y , i2  =i2Y , i3  =i3Y , u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y 等效条件： 返 回 上 页 下 页

u23 i3  i2  i1 + – u12 u31 R12 R31 R23 1 2 3 i1Y i2Y i3Y + – u12Y u23Y u31Y R1 R2 R3 1 2 3 接: 用电压表示电流 Y接: 用电流表示电压 i1 =u12 /R12 – u31 /R31 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) (2) u31Y=R3i3Y – R1i1Y i3 =u31 /R31 – u23 /R23 i1Y+i2Y+i3Y = 0 返 回 上 页 下 页

根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y的变换条件： 由式(2)解得： i1 =u12 /R12 – u31 /R31 (3) i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) i3 =u31 /R31 – u23 /R23 根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y的变换条件： 返 回 上 页 下 页

或 类似可得到由Y的变换条件： 或 返 回 上 页 下 页

等效变换 a C b Rca Rbc Rab 电阻形联结 Ia Ib Ic 电阻Y形联结 Ra Rc Rb 条 件 据此可推出两者的关系

Y  Y a 等效变换 c b Rca Rbc Rab Ia Ib Ic Ra Rc Rb

等效变换 a c b Rca Rbc Rab Ia Ib Ic Ra Rc Rb 将Y形联接等效变换为形联结时 若 Ra=Rb=Rc=RY 时，有Rab=Rbc=Rca= R = 3RY； 将形联接等效变换为Y形联结时 若 Rab=Rbc=Rca=R 时，有Ra=Rb=Rc=RY =R/3

R = 3RY 简记方法： Y变 变Y 特例：若三个电阻相等(对称)，则有 外大内小 R31 R23 R12 R3 R2 R1 返 回 上 页 下 页

注意 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 等效电路与外部电路无关。 用于简化电路 返 回 上 页 下 页

例1： 对图示电路求总电阻R12 R12 由图： R12=2.68 1 2 1 0.4 0.8 2 1 2 2 1 R12 D C R12 2 1 2 1 1 0.8 2.4 1.4 1 2 1 2 2.684 R12 由图： R12=2.68

解：将联成形abc的电阻变换为Y形联结的等效电阻 例2： 计算下图电路中的电流 I1 。 I1 – + 4 5 Ra Rb Rc 12V a b c d I1 – + 4 5 8 12V a b c d 解：将联成形abc的电阻变换为Y形联结的等效电阻

例2：计算下图电路中的电流 I1 。 a a I1 I1 Ra c d d c Rc Rb b b – – 解： + 4 5 2 1 12V a b c d I1 – + 4 5 8 12V a b c d 解：

2.5 电压源、电流源的串联和并联 1.理想电压源的串联和并联 注意 注意参考方向 串联 + _ u uS2 + _ uS1 u 等效电路 i uS2 u 注意 相同电压源才能并联,电源中的电流不确定。 返 回 上 页 下 页

电压源与支路的串、并联等效 + _ uS i u R uS2 + _ uS1 i u R1 R2 uS + _ i 任意 元件 u uS + 对外等效！ 返 回 上 页 下 页

2. 理想电流源的串联并联 注意 注意参考方向 并联 iS1 iS2 iSn i i 等效电路 等效电路 串联 i iS2 iS1 相同的理想电流源才能串联, 每个电流源的端电压不能确定。 返 回 上 页 下 页

电流源与支路的串、并联等效 R2 R1 + _ u iS1 iS2 i R iS 等效电路 iS 任意 元件 u _ + iS R 等效电路 对外等效！ 返 回 上 页 下 页

2.6 实际电源的两种模型及其等效变换 1. 实际电压源 注意 伏安特性： i u us + 考虑内阻 u _ i 一个好的电压源要求 考虑内阻 一个好的电压源要求 注意 实际电压源也不允许短路。因其内阻小，若短路，电流很大，可能烧毁电源。 返 回 上 页 下 页

2. 实际电流源 + _ 注意 伏安特性： u i u is i 考虑内阻 一个好的电流源要求 考虑内阻 一个好的电流源要求 注意 实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。 返 回 上 页 下 页

iS=uS /RS GS=1/RS 3.电压源和电流源的等效变换 u=uS – RS i i =iS – GSu 实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。 i + _ uS RS u i GS + u _ iS 实际电流源 实际电压源 u=uS – RS i i =iS – GSu 端口特性 i = uS/RS– u/RS iS=uS /RS GS=1/RS 比较可得等效条件 返 回 上 页 下 页

小结 i GS + u _ iS 电压源变换为电流源： i + _ uS RS u 转换 电流源变换为电压源： i + _ uS RS u 返 回 上 页 下 页

注意 i GS + u _ iS i + _ uS RS u i 变换关系 方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。 数值关系 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。  电压源开路， RS上无电流流过 表现在 电流源开路， GS上有电流流过。  电压源短路， RS上有电流； 电流源短路, GS上无电流。 理想电压源与理想电流源不能相互转换。 返 回 上 页 下 页

例1 U=20V 利用电源转换简化电路计算 5A 3 4 7 2A I＝？ 1. + 15V _ 8V 7 I=0.5A 6A + 5 10V 2. + _ U 2.5 2A 6A U=20V 返 回 上 页 下 页

例2 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连 10V 10 6A + _ 1. 70V 10 + _ 2A 6V 10 6A + _ 2. 66V 10 + _ 返 回 上 页 下 页

10V 10 6A + _ 1. 10 6A 1A 10 7A 10 70V + _ 返 回 上 页 下 页

2A 6V 10 6A + _ 2. 6V 10 6A + _ 6V + _ 60V 10 66V 10 + _ 返 回 上 页 下 页

例3 求电路中的电流I 40V 4 10 2A I 6 30V _ + 40V 10 4 2A I 6 30V _ + 60V 返 回 上 页 下 页

例4 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连 2k 10V 500I + _ U - I 1k 10V 0.5I + _ U I I 返 回 上 页 下 页

练习： 试求图所示电路中的US。

解 0.2I电流源与4Ω电阻相串联， 流经4Ω电阻的电流为 此电流应与CCCS的电流相等， 即 根据KCL有 根据KVL有

2.7 输入电阻 1. 二端网络（一端口）的概念 二端（一端口）网络：具有两个出线端的部分电路。 2.7 输入电阻 1. 二端网络（一端口）的概念 二端（一端口）网络：具有两个出线端的部分电路。 特点：从网络的一个端子流出的电流一定等于从另一 个端子流入的电流。 b a US + – R1 R2 IS R3 R4 无源二端网络：二端网络中没有独立电源。 a b R 无源二端网络

b a + – R1 R2 IS R3 有源二端网络 a b N0 a b N US + – R1 R2 IS R3 有源二端网络 有源二端网络：二端网络中含有独立电源。 一般将端口以内的网络用一个方框来表示。 a b N0 无源二端网络 a b N 有源二端网络

一端口的等效电阻可以通过计算输入电阻来求得。 2. 输入电阻的概念 无源二端网络的端电压与端电流之比值。 def Rin 等效电阻是用来等效替代此一端口的电阻。 一端口的等效电阻可以通过计算输入电阻来求得。 Rdef=Rin 3. 输入电阻的求法 （1）无源二端网络里没有受控源 用串并联方法和Y–变换，求出其网络的等效电阻。

（2）无源二端网络里含有受控源 在一端口上加上一个电压源 us求出端口电流与电压源的关系。 或 在一端口上加上一个电流源 is求出端口电压与电流源的关系。

总结 无 源 + - u i 1.定义 输入电阻 2.计算方法 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和—Y变换等方法求它的等效电阻； 对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流源，求得电压，得其比值。 返 回 上 页 下 页

例 1. 解 计算下例一端口电路的输入电阻 uS + _ R3 R2 R1 i1 i2 R2 R3 R1 无源电阻网络 解 先把有源网络的独立源置零：电压源短路；电流源开路，再求输入电阻。 返 回 上 页 下 页

2. US + _ 3 i1 6 － 6i1 U + _ 3 i1 6 － 6i1 i 外加电压源 返 回 上 页 下 页

练习1：求 a,b 两端的输入电阻 Rab (b ≠1)。 I b a b I R + US _ I1 解：在端口a、b两点之间加一电压源US I1=I–b I= (1-b ) I US=I1R= (1-b )R I Rab=US / I=(1-b )R

Rin为负值， 意味着Rin所消耗的功率为负， 说明该电路是向外电路提供能量的。 练习2：求 a,b 两端的输入电阻 Rin 。 6 b a 12I1 + _ 3 I1 I I-I1 + US _ 解：在端口a、b两点之间加一电压源US 3I1= 6( I– I1 ) +12 I1 即 I1= – 2I US=3I1= – 6 I Rin=US / I= – 6  Rin为负值， 意味着Rin所消耗的功率为负， 说明该电路是向外电路提供能量的。