电容器

孤立导体的电容 电容器的电容 串联电路 并联电容 电容 导体得到单位电势所必须给予的电量 从定义式 出发 通过等效变换 基本联接 电 量 示例 电容器的电容 通过等效变换 示例 基本联接 串联电路 并联电容 C1 q1 q2 q3 C2 C3 U C1 C2 C3 U1 U2 U3 U 电容器联接 电 量 电 压 等效电 容 电压电流 分配律 电荷按电容正比例分配 电压按电容反比例分配

电容器中的电介质 平行板电容器电容 电容与电压电量 电容器充放电 电容器的能量 电容器相关研究 电容器中的电介质 电介质的介电常数定义为 + - + 平行板电容器电容 示例 电容与电压电量 到例４ 电容器充放电 电容器的能量 到例6

平行板电容器 由高斯定理,无限大均匀带电平面的电场由 两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板间电场由电场叠加原理可得为 两板间电势差

球形电容器 由高斯定理,在距球心ri处场强 + O 在距球心ri处 ri 其上场强视作恒定,则元电势差为 电容器两极间电势差为

解 : 专题18-例2 解题方向: 若能确定系统电势为U时的电量Q,可由定义求得C O1 R O2 R +q1 +q1 为抵消像电荷引起的电势,再设置下一级像电荷

小试身手题6 解 : 解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势,可由定义求得C 设连接后两球各带电 由电荷守恒有 返回 　　　　　 半径分别为a和b的两个球形导体，相距很远地放置，分别带有电荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容. 小试身手题6 解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势,可由定义求得C 解 : 设连接后两球各带电 由电荷守恒有 由等势且相距很远 解得

解 : 用微元法 专题18-例1 若无穷均分b 若无穷均分C 等式两边取n次方极限得 如图，两块长与宽均为a与b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为（d＋h），且h d，试求该空气电容器的电容 ． 解题方向: 不平行电容器等效为无穷多个板间距离不等的平行板电容器并联! 解 : 用微元法 若无穷均分b d h i i+1 1 2 3 若无穷均分C 等式两边取n次方极限得

小试身手题1 解 : 五电容连接直观电路如图 M(N)处连接三块极板总电量为０ 则有 解得 于是有 五电容连接后的等效电容为 　　　　　 如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C1＝4μF，C2＝6μF，C＝10μF，求AB间的总电容． 小试身手题1 C1 C2 C3 A M N B 解 : 五电容连接直观电路如图 A B C1 C2 C3 设在A、B两端加一电压U，并设UM＞UN M(N)处连接三块极板总电量为０ 则有 解得 于是有 五电容连接后的等效电容为

小试身手题4 解 : n 设n个网格的电容为Cn, 则有 整理得 该无穷网络等效电容为 　　　　　 如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求A、B两点间的总电容． 返回 小试身手题4 解 : A B n 设n个网格的电容为Cn, 则有 整理得 该无穷网络等效电容为

解 : 专题18-例3 等效于C1与串联的C2、C3 并联: d 如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别为ε1、ε2和ε3的均匀介质，板的面积为S，板间距离为2d．试求电容器的电容 ． 解 : d 等效于C1与串联的C2、C3 并联:

小试身手题2 解 : ⑴将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分 ⑵插入导体薄片 所求等效电容为1与2并联与3串联，由C∝ε可得 　　　　　 在极板面积为S，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示．⑴如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之间插有极薄的导体薄片，⑴问的结果应是多少？ 小试身手题2 解 : ⑴将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分 a b 所求等效电容为a与b串联、c与d串联后两部分并联而成，由C∝ε可得 c d ⑵插入导体薄片 所求等效电容为1与2并联与3串联，由C∝ε可得

小试身手题3 解 : 球形电容器的电容 该球形电容器的等效电容为 　　　　　 球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为R，其间一半充满介电常数为ε的均匀介质，如图所示，求电容. 小试身手题3 解 : 球形电容器的电容 R r 本题电容器等效于介电常数为１和ε的两个半球电容器并联，每个半球电容各为 ε 该球形电容器的等效电容为

　　　　　 如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器．长l、半径分别为r和R．两圆筒间充满介电常数为ε的电介质．求此电容器的电容． 小试身手题5 解 : 圆柱面电容器 ri ri-1 设圆柱面电容器电容为C，它由n个电容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱面电容器可视为平行板电容器，第i个元电容为

小试身手题7 解 : 用微元法 解题方向: 介质变化的电容器等效为无穷多个介质不同的平行板电容器串联! 无穷均分C 等式两边取n次方极限得 返回 　　　　　 平行板电容器的极板面积为S，板间距离为D．其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一个极板处为ε1 ，在另一个极板处为ε2 ，其它各处的介电常数与到介电常数为ε1处的距离成线性关系，如图，试求此电容器的电容C ． 小试身手题7 解题方向: 介质变化的电容器等效为无穷多个介质不同的平行板电容器串联! 解 : 用微元法 无穷均分C … i 1 2 n ε1 ε2 x ri-1 ri D 等式两边取n次方极限得

解 : 专题18-例4 解题方向:利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约 1 2 3 4 +q1 -q1 +q2 -q2 + + + + 四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2．各板彼此相距为d，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板1、板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差 ． 解 : 解题方向:利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约 1 2 3 4 + + + + + +q1 -q1 +q2 -q2

解 : 专题18-例5 如果在每个金属板上附加面密度为-4.5μC/m2的电荷，电容器的带电就成为“标准状况”了——两板带等量异种电荷: D 如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一板上电荷面密度σ1=3μC/m2，另一板上电荷面密度σ2=6μC/m2 ，在两板之间平行地放置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数ε=2．求两金属板之间的电压 ． 如果在每个金属板上附加面密度为-4.5μC/m2的电荷，电容器的带电就成为“标准状况”了——两板带等量异种电荷: +σ2 +σ1 D d 解 : 附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不会改变电容器的电势． 等效电容为:

小试身手题８ 解 : 如果在每个金属板上附加-2.5q的电荷，电容器的带电就成为两板带等量异种电荷1.5q 的“标准状况”： 　　　　　 电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量＋q，而另一个极板上有电量+4q，求电容器两极板间的电势差． 小试身手题８ 解 : 如果在每个金属板上附加-2.5q的电荷，电容器的带电就成为两板带等量异种电荷1.5q 的“标准状况”：

小试身手题9 解 : 解题方向:考虑电容器电容、电压与电量之间的关系 设三个电容带电量分别为 　　　　　 三个电容分别为C1、C 2、C 3的未带电的电容器，如图方式相连，再接到点A、B、D上．这三点电势分别为ＵA、UB、ＵD．则公共点O的电势是多大？ 小试身手题9 C1 C3 C2 O D B A 解 : 解题方向:考虑电容器电容、电压与电量之间的关系 设三个电容带电量分别为

小试身手题10 解 : 解题方向:与设想将q均匀细分n份，均匀分布在距板r处的平面M后等效 这是两个电容并联! 两电容器电容之比 　　　　　 如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板之间放入点电荷q，使它距A板r，距B板R．求A、B两板上的感应电荷电量各如何？ 小试身手题10 B A + 解 : 解题方向:与设想将q均匀细分n份，均匀分布在距板r处的平面M后等效 这是两个电容并联! 两电容器电容之比 并联电容总电量 每个电容带电量 M

返回 　　　　　 三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距d1和d2．起初板1上带有电量Q，而板2和板3不带电．然后将板３、２分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为U．若板1、3用导线连接如图，求1、2、3各板所带电量 ？ 小试身手题11 解 : 设三块板上电量依次为＋q1、－q2、 ＋q3，由电荷守恒： ① 1、2两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加： ② 3、2两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加： ③

解 : 专题18-例6 由电荷守恒： 由电势关系： S4断开， S1、S2、S3接通的条件下，三电容器并联在电源上，电路情况如图所示： C1 如图所示的电路中，C1＝4C0，C2＝2C0，C3＝C0，电池电动势为，不计内阻，C0与为已知量．先在断开S4的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给三个电容器充电；然后断开S1、S2、S3，接通S4，使电容器放电，求：放电过程中，电阻R上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，R上的电流 ． 专题18-例6 S4断开， S1、S2、S3接通的条件下，三电容器并联在电源上，电路情况如图所示： 解 : C1 C2 C3 S4 R S4 每个电容器电量为 S3 R C1 C2 C3 断开 S1、S2、S3接通S4的条件下，三电容器串联在电源上，电路情况如图所示： q1 -q1 -q2 q2 q3 -q3 S1 S2 由电荷守恒： 由电势关系：

解 : 专题18-例7 原来电容以C0表示，由电容器电容公式 B A 板间距离为0.9d时 情况1中电容器两板间电压恒为U S 比较两式得 在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板A固定，极板B用绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关S闭合，极板B开始平行地向极板A移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了d1=10%．如果开关闭合极短时间后就立刻断开（此间设极板B未及从原位置移动），求此后极板B到达新的平衡位置时两极板间距离减少的百分比d2 ． 解 : 原来电容以C0表示，由电容器电容公式 B A 板间距离为0.9d时 情况1中电容器两板间电压恒为U S 比较两式得 A板引起的场强是电容器板间场强的一半！ B板上的电量 情况2中电容器板上电量恒为C0U

解 : 专题18-例8 解题方向: 把介质拉出的过程,视为外力克服电场力做功消耗电场能的过程! b d U 两块平行金属板，面积都是a×b，相距为d，其间充满介电常数为ε的均匀介质，把两块板接到电压为U的电池两极上．现在把板间介质沿平行于b边慢慢抽出一段，如图，略去边缘效应及摩擦，求电场把介质拉回去的力 ． 解 : 解题方向: 把介质拉出的过程,视为外力克服电场力做功消耗电场能的过程! b d ε U 设将介质沿b拉出两板边缘x,外力大小为F,由功能关系：

　　　　　 极板相同的两个平行板空气电容器充以同样电量．第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍．如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都互相平行，问系统的静电能如何改变？ 小试身手题12 解 : + 相互插入前： +Q -Q + -Q + +2Q -2Q + +Q 故两电容器总电能 按第1种方式 插入: +Q -Q + + -Q +Q 按第2种方式 插入: +Q + -Q

小试身手题13 解 : 电容器带电时，上极板所受电场力矩与质量为m的砝码重力矩平衡，即 　　　　　 静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是S，相距为x，下板固定，上板接到天平的一头，当电容器不带电时，天平正好平衡．然后把电压U加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡．求所加的电压U ． 小试身手题13 电容器带电时，上极板所受电场力矩与质量为m的砝码重力矩平衡，即 解 : x S m

　　　　　 三只电容均为C 的电容器，互相串联后接到电源上，电源电动势为ε．当电容器完全充电后跟电源断开，然后接入两只电阻均为R的电阻器，如图所示．试问每只电阻上释放的热量有多少？当中间一只电容器的电压减小到电源电动势ε的1/10的瞬间，流过电阻R的电流i1和i2各为多大？ 小试身手题14 解 : 充电完毕时各块板上电量均为 接入两电阻,电荷重新分布! R 三电容成并联,故每个电容带电量为 C C C 释放的热量即减少的电场能,为 R 每个电阻放热

　　　　　 如图所示，两个电容均为C的电容器C1和C2，一个双刀双掷开关S，一个可提供恒定电压U的蓄电池E．将它们适当联接并操作开关，以使这个电路的输出端得到比U高的电压，试求出这个最高输出电压 ？ 小试身手题15 解 : 双刀双掷开关 c C1 d C2 e f C2充电至q1=CU/2 C2输出电压U1=U/2 双刀双掷开关 C1充电至电压U、电量CU 双刀双掷开关 a b C2充电至q2=5CU/4 C2输出电压U22=5U/4 双刀双掷开关 由此类推 C2充电至q3=13CU/8 C2输出电压U23=13U/8

１．(a)两块边长为15 cm的正方形平板，相距为5 cm，组成一个空气平行板电容器．＝8 　　　　　 １．(a)两块边长为15 cm的正方形平板，相距为5 cm，组成一个空气平行板电容器．＝8.85×10-12 F/m．试求该电容器的电容．电容器平板被竖直固定在绝缘支撑物上．（b）涂有导电漆的球形木髓小球被长为10 cm的一段丝线悬挂，丝线上端固定于A板上，如图所示，木髓小球开始时和A板接触．它的质量m＝0.1 g，半径r＝0.3 cm，求木髓小球的电容． ２．平板电容器的B板接地，A板与电势为60000V范德格喇夫起电机做瞬时接触，然后平板电容器再次绝缘．这时可观察到木髓小球离开A板运动到B板，然后再返回到A板，往复几次以后，木髓小球处于平衡位置，并且悬挂丝线与A板夹角为θ． (a)解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置； (b)计算两平行板之间最终电势差； (c)试求木髓小球在静止前来回摆动的次数k； (d)作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回次数的函数关系UAB＝f (k) 小试身手题16 接范德格喇夫起电机 A B 解答

由此类推 读题 ⑴(a)由平行板电容器公式得空气平行板电容器电容： (b)由孤立导体球电容器公式得木髓球电容器电容： ⑵(a) 球带电后被A板静电推斥，与B板接触时放电．而后受重力作用摆回A板充电，再被推到B板放电，如此往复k次，使板间电压减小、场强减小，直至小球所受电场力与重力及丝线张力平衡而静止在将要接触B板但未放电的位置，则丝线与A板夹角为 (b)由于球平衡，有 (c)初时A板与球电势均为U0=60000 V，球推开后A的电势变成U1，板上电量CU1，球上电量C0 U0，由电荷守恒： 电势差 次数 22 60000V 8840V (d) 由此类推

　　　　　 有26块半径为R和26块半径为r（R＞r）的薄金属板，它们被平行地放置，如图所示．任何两块邻近的平板之间的距离均为d（d＜r）．用这种方式可形成一电容器，问应该如何把这些板连接成两组，使所得的电容量成为最大？求出这个最大电容量. 小试身手题17 解 : 要使总电容最大，采用并联形式为好，故首先设计将小板联在一个电势点，大板联在一个电势点，这就相当于51个电容为 R r d 对称轴 A B 1 2 并联! 增大正对面积是增大电容的又一途径: B 1 4 26 2 3 25 …… A

　　　　　 如图所示，恒温的矩形盒内装有理想气体，当隔板将盒等分为二时，两侧气体压强均为P0，当隔板平移时无摩擦、无漏气，两侧气体经历准静态过程．隔板是面积为A的金属板，带电量为Q，矩形盒上与它平行的两块板也是金属板，面积同样是A，相距为2L，固定并接地．隔板两侧电场均匀．盒的其余部分是绝缘板．现将隔板拉离原平衡位置一小位移，确定隔板的运动状况 . 小试身手题18 设隔板向右发生一小位移x，两侧气体对隔板的压力： 解 : 隔板上电荷受两侧电场静电力合力： 隔板所受合力： P0 A 隔 板 -Q 简谐运动 一直向右（左）靠到盒右（左）侧 静止在新位置