商用微積分 CH6 積分

反導函數 對所有在區間 I 的 x 而言，若F'(x) ＝ f(x)，則 F 為 f 的反導函數(antiderivative)。 CH6 積分 第336頁

定理1 已知G為函數 f 的反導函數，則 f 的每一反導函數 F必為 F(x) ＝ G(x) ＋ C的形式，其中C 為常數。 CH6 積分 第337頁

不定積分 法則1：常數的不定積分 法則2：乘冪法則 法則3：函數常數倍的不定積分 CH6 積分 第338-340頁

不定積分 法則4：和法則 CH6 積分 第340頁

不定積分 法則5：指數函數的不定積分 法則6：函數 f(x) ＝ x-1 的不定積分 CH6 積分 第341-342頁

微分方程式 微分方程式是一個與未知函數的導函數相關的方程式〔在(1)式中，f為未知函數〕，而微分方程式的解(solution)為滿足該方程式的函數。 CH6 積分 第342頁

初值問題 所謂的初值問題(initial value problem)就是給定一微分方程式及一個或幾個初始條件，要求出能滿足之特定解的問題。 CH6 積分 第343頁

代換積分法 步驟1 令u＝ g(x)，其中 g(x)為被積函數的一部分，通常是合成函數 f(g(x))中的“裏面函數”。 步驟2 求du ＝ g'(x) dx。 步驟3 將u ＝ g(x)及du ＝ g‘(x) dx代入原式，改變成只含 u 的積分。 步驟4 求新的積分。 步驟5 用g(x)取代 u，以得出為 x 之函數的解。 CH6 積分 第350-351頁

圖7 CH6 積分 第359頁

圖8 CH6 積分 第360頁

圖9 CH6 積分 第360頁

函數圖形下方的面積 令 f 為[a, b] 上的連續非負函數，則在 f 圖形下方區域的面積為 其中x1, x2,…, xn為將[a, b]分成n 個等寬度∆x ＝ (b － a) /n 之子區間中的任意點。 CH6 積分 第362-363頁

定積分 令f 為[a, b]上連續的函數，將區間[a, b]分成n 個等寬度∆x ＝ (b － a) /n的子區間，而x1, x2,…, xn為每一個子區間的代表點，若 存在，則稱此極限為 f 從 a 到 b 的定積分(definite integral)，並記為 故 a 稱為積分下限(lower limit of integration)而b 稱為積分上限(upper limit of integration)。 CH6 積分 第363頁

函數的可積性 令f 在[a, b] 上連續，則 f 在[a, b] 為可積，亦即定積分 存在。 CH6 積分 第364頁

在[a, b] 上 f(x) ≥ 0 時 的幾何意義 若 f 在[a, b] 上非負且連續，則 CH6 積分 第364頁

在[a, b] 上 的幾何意義 若 f 在[a, b] 上連續，則 等於在 x 軸上方區域的面積減去x 軸下方區域的面積（見圖15）。 CH6 積分 第365頁

定理2 微積分基本定理 設 f 在[a, b] 為連續，則 其中F為 f 的反導函數，即F'(x) ＝ f(x)。 CH6 積分 第367頁

定積分的性質 令 f 和 g 為可積函數，則 CH6 積分 第379頁

例3 求 之值。 CH6 積分 第381頁

解 令u = x3＋ 1，則du = 3x2 dx 或x2 dx = du。x ＝ 0 時 u ＝ 1 而 x ＝ 1 時u ＝2，這就是對u 積分的上下限。現在 CH6 積分 第381頁

函數的平均值 假設 f 在[a, b] 為可積，則 f 在[a, b]的平均值(average value)為 CH6 積分 第383頁

函數f 在區間[a, b] 之平均值的幾何意義 CH6 積分 第384頁

圖30 CH6 積分 第389頁

兩曲線間的面積 設 f 和 g 為區間[a, b] 上的連續函數且 f(x) ≥ g (x) ，則在區間[a, b] ，位於 y ＝ f(x) 下方且在 y＝ g (x) 上方之間的區域面積為 CH6 積分 第389頁

例6 已知區域 R 完全被函數 f(x) ＝ x3－ 3x ＋ 3 及g(x) ＝ x ＋ 3 的圖形包圍住，求區域 R 的面積。 CH6 積分 第393頁

解 首先畫出y ＝ x3－ 3x ＋ 3及y ＝ x ＋ 3的圖形，再標記出區域 R，由圖36看出有兩塊區域 R1和R2構成R。令 y ＝ x ＋ 3與y ＝ x3－ 3x ＋ 3相等而求解 x 即得兩曲線的交點，故 所以兩曲線的交點為(-2,1)、(0,3)及(2,5)。 CH6 積分 第393-394頁

解 在-2 ≤ x ≤ 0的區間，函數 f 的圖形是在 g的上方，由(13)式可得R1的面積為 或4平方單位。 CH6 積分 第394頁

解 在0 ≤ x ≤ 2的區間，函數 g 的圖形是在 f 的上方，所以 R2 的面積為 或4平方單位。故區域 R 的面積為 R1 及 R2 的面積和，亦即為 4 ＋ 4 ＝8 平方單位。 CH6 積分 第394頁

消費者剩餘及生產者剩餘 消費者購買 x 單位時願意付的價格，與實際付的價格之差值稱為消費者剩餘(consumers’ surplus)。 CH6 積分 第399頁

消費者剩餘 消費者剩餘為 其中D 為需求函數， 為市場單價而 為銷售量。 CH6 積分 第400頁

生產者剩餘 生產廠商真正收到的價格與願意接受之價格間的差異稱為生產者剩餘(producers' surplus)。 生產者剩餘為 其中S(x)為供應函數， 為市場單價而 為供應量。 CH6 積分 第401頁

圖43 CH6 積分 第402頁

大量所得的累積或總未來值 大量所得 R(t)（以元／年計）在 T 年後的累積或總未來值，依年利率r 且連續複利計算時為 CH6 積分 第404頁

大量所得的現在值 大量所得 R(t) （以元／年計）賺取年利率 r 且連續複利的利息時，其現值為 CH6 積分 第404頁

應用例題3 投資分析 電影院的老闆正考慮兩種改善戲院的計畫，A 計畫需要馬上動用現金 250,000元，B 計畫則需要立即支出現金 180,000 元。在未來的3年，採用A 計畫後淨所得的產生速率（以元／年計）為 f(t)＝630,000 而採用B 計畫的產生速率（以元／年計）為 g(t) ＝ 580,000 若在未來的 5 年內年利率是10%，試問哪一個計畫在 3 年期滿時有較多的淨所得？ CH6 積分 第405頁

解 採用A計畫的立即現金支出為 250,000元，在(19)式中代入R(t)＝ 630,000、r ＝ 0.1 及T＝ 3，則淨所得的現值為 或約1,382,845 元。 CH6 積分 第405頁

解 至於B 計畫，可在(19)式中代入R(t) ＝ 580,000、r ＝ 0.1 及 T＝ 3 而得 如同上面的方式計算，結果為1,323,254元。 比較兩者可知在3 年期滿，A計畫的淨所得較多。 CH6 積分 第405頁

年金金額 年金金額為 P＝ 年金的每次發放金額 r ＝ 利率且連續複利 T＝ 年金的屆滿期（以年計） m ＝每年發放的次數 CH6 積分 第406頁

年金的現值 年金的現值為 其中P、r、T 及 m 如稍早所定義的。 CH6 積分 第406頁

Lorentz 曲線 經濟學家用來研究社會的所得分配時，使用Lorentz曲線來分析。令 f(x)表人口中所得最窮的100 x%（其中0 ≤ x ≤ 1）占總所得的比例。 函數 f 的性質： 1. f 的定義域為[0, 1]。 2. f 的值域為[0, 1]。 3. f(0)＝ 0 且f(1) ＝ 1。 4. 對[0, 1]的 x 恆有f(x) ≤ x。 5. f 在[0, 1] 為遞增。 CH6 積分 第407頁

圖45、47 CH6 積分 第407.409頁

應用例題7 所得分配 在某國家經濟發展局對其勞動力中某階層所做的所得分配研究中，發現醫生與電影明星所得的Lorentz 曲線分別為 CH6 積分 第409頁

解 各不平均係數分別為 在這個國家醫生的所得分配較電影明星的所得分配公平。 CH6 積分 第409頁

第6章公式總整理 CH6 積分 第411-412頁