计算机科学与技术专业研究型课程 矩阵和线性变换 宋传鸣 chmsong@lnnu.edu.cn 辽宁师范大学计算机与信息技术学院

矩阵的数学定义 由m×n个数aij∈K (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)排成的m行、n列的长方形表称为矩阵 两个矩阵相等就是对应位置的元(entry)全相等 方阵 对角矩阵:所有非对角线元都为0 单位矩阵:对角元为1,其它元为0 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

矩阵的运算 转置:矩阵元素沿着对角线翻折,即 标量和矩阵的乘法 对于任意的M,(MT)T=M 对于任意对角矩阵D,都有DT=D 对于 有 对于 有 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

矩阵的运算 矩阵乘法:记r×n矩阵A与n×c矩阵B的乘积AB为r×c矩阵C,且 矩阵乘法的性质 不满足交换律:AB≠BA 结合律: (AB)C=A(BC) (kAB)=k(AB)=A(kB), (vA)B=v(AB) (AB)T=BTAT, 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

矩阵的几何解释 向量可以解释成一系列与轴平行的位移 用任意3个基向量(不共面) 替代 V可表示成基向量 的线性变换 用任意3个基向量(不共面) 替代 当把矩阵的行向量解释为坐标系的基向量,乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

矩阵的几何解释 用基向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)乘以前述矩阵,有 几何解释的运用 矩阵的每一行为转换后的基向量 形象化解释矩阵所代表的变换 建立逆变换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

图形变换概述 图形变换是图形显示过程中不可缺少的一个环节 实际绘图中,经常要对图形进行各种变换,如几何变换、投影变换、窗口视区变换和视向变换等 通过图形变换可由简单图形生成复杂图形,可用二维图形表示三维图形 静态图形经过快速变换可获得动态显示效果 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

图形变换概述 图形变换的分类 二维图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下,对一个平面点集进行的线性变换 二维图形变换的结果 坐标模式变换(视象变换):图形不动,坐标系变动 图形模式变换(几何变换):坐标系不动,图形改变 二维图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下,对一个平面点集进行的线性变换 体是由若干面构成,面则由曲线组成,线由两个端点决定.因此,点是构成图形的基本要素 二维图形变换的结果 改变图形的位置 使图形产生变形 基本变换形式 基本变换:平移,旋转,比例(放缩) 其它变换:对称,错切,复合 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

点的齐次坐标表示 齐次坐标作为一个几何工具用于投影几何理论 齐次表示是指用一个n+1维向量表示一个n维向量 齐次坐标表示点的优势 二维点(x,y)的齐次表示是(hx,hy,h), h≠0 当h=0时,表示无限远点 齐次坐标(a,b,c)投射到二维坐标为(a/c,b/c) n维空间到n+1维空间的映射是一对多映射,每个坐标点(x,y)可有无数个等价齐次表达.最方便的选择是设置h=1 齐次坐标表示点的优势 矩阵变换的统一表示 防止浮点数溢出 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

二维图形的矩阵表示 图形学中,用点集来表示一个二维或三维图形,表达成矩阵形式为 对图形的变换可以通过相应的矩阵运算来实现 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 图形的原始点集 ×变换矩阵 图形的新点集 矩阵运算

平移(Translation)变换 平移是指将物体沿直线路径从一个坐标位置移动到另一个坐标位置 平移变换的解析表示 平移变换的矩阵表示 x'=x+tx y'=y+ty 平移变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 Y (x,y) (x',y') (tx,ty) (x,y) (x',y') (tx,ty) X X X

平移变换的特性 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上的每个点移动相同的坐标 直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上 多边形的平移是将平移向量加到每个顶点的坐标 曲线可用同样方法来平移 为了改变圆或椭圆的位置,可以平移中心坐标并在新中心位置重画图形 通过平移曲线的控制取样点来实现其它曲线的平移 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

旋转(Rotation)变换 二维旋转是将坐标点(x,y)绕旋转点逆时针一个角度θ,变换后的坐标为(x',y') 指定物体旋转的旋转点的位置(xr,yr)和旋转角θ(逆时针旋转时旋转角为正) 当旋转点为原点时,旋转变换的解析表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 又 则有

旋转(Rotation)变换 当旋转点为原点时,旋转变换的解析表示 当旋转点为原点时,旋转变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 变换的分类

旋转变换的特性 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上的所有点旋转相同的角度 直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角 多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

放缩(Scaling)变换 Y X 二维缩放变换是将坐标点(x,y)在X轴方向乘以比例系数Sx ,在Y轴方向乘以比例系数Sy 相对于原点的缩放变换的解析表示 x'=x·Sx y'=y·Sy 当Sx和Sy值相同时产生一致缩放, Sx和Sy值不等时产生差值缩放 相对于原点的缩放变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X O (x,y) (x',y') Y

放缩变换的特性 缩放变换不仅改变图形的位置,而且改变大小 参数取值讨论 直线段的放缩可分别改变两个端点的位置 多边形的放缩可将变换应用于每个顶点 其它物体变换则将缩放变换方程加到定义物体的参数 参数取值讨论 当Sx>1, Sy=1时,图形沿X方向放大 当0<Sx<1, Sy=1时,图形沿X方向缩小 当Sx=1, Sy>1时,图形沿Y方向放大 当Sx=1, 0<Sy<1时,图形沿Y方向缩小 当Sx=1, Sy=0时,图形沿Y方向压缩成线段 当Sx=0, Sy=1时,图形沿X方向压缩成线段 当Sx=1, Sy=1时,图形无变化,称为恒等变换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

错切(Shear)变换  X Y (x,y) (x',y')  X Y (x,y) (x',y') 二维错切变换是将图形沿着某一坐标轴滑动 沿X轴错切:坐标位置(x,y)水平地移动一个与y值成比例shx的量.若shx为负,坐标位置向左移动 沿Y轴错切:坐标位置(x,y)垂直地移动一个与x值成比例shy的量 沿X轴错切的解析表示 x'=x+y·Shx y'=y 沿X轴错切的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类  X Y (x,y) (x',y')  X Y (x,y) (x',y')

错切(Shear)变换  X Y (x,y) (x',y') 沿Y轴错切的解析表示 沿Y轴错切的矩阵表示 x'=x y'=y+x·Shy 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类  X Y (x,y) (x',y')

错切变换的特性 错切变换不仅改变图形的形状,而且改变图形的方位,但图形中的平行关系保持不变 错切操作可表示为基本变换的序列 多边形的缩放可将变换应用于每个顶点 其它物体变换则将缩放变换方程加到定义物体的参数 错切操作可表示为基本变换的序列 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

对称(Mirror)变换 Y (-x,y) (x,y) (x,y) (y,x) X (-y,-x) (-x,-y) (x,-y) 对称(镜像,反射)变换是将物体绕对称轴旋转180度 关于X轴的对称变换 关于Y轴的对称变换 关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 Y (-x,y) (x,y) (x,y) (y,x) X (-y,-x) (-x,-y) (x,-y)

对称(Mirror)变换 Y (x,y) X (x,-y) 关于X轴进行对称变换的解析表示 关于X轴进行对称变换的矩阵表示 x'=x y'= –y 关于X轴进行对称变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X Y (x,y) (x,-y)

对称(Mirror)变换 Y (-x,y) (x,y) X 关于Y轴进行对称变换的解析表示 关于Y轴进行对称变换的矩阵表示 x'= –x 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X Y (x,y) (-x,y)

对称(Mirror)变换 Y (x,y) X (-x,-y) 关于原点进行对称变换的解析表示 关于原点进行对称变换的矩阵表示 x'= –x y'= –y 关于原点进行对称变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X Y (x,y) (-x,-y)

对称(Mirror)变换 Y (x,y) (y,x) X 关于直线y=x进行对称变换的解析表示 关于直线y=x进行对称变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X Y (x,y) (y,x)

对称(Mirror)变换 Y (x,y) X (-y,-x) 关于直线y= –x进行对称变换的解析表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 X Y (x,y) (-y,-x)

对称变换的特性 对称变换是产生物体镜像的一种变换 对称变换只改变图形的方位,不改变形状和大小 齐次坐标矩阵的参数分块 直线段的对称变换可分别变换两个端点的位置得到 多边形的对称变换可将变换应用于每个顶点 其它物体的对称变换则将变换方程加到定义物体的参数 齐次坐标矩阵的参数分块 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 放缩、对称、错切和旋转变换 透视变换 全比例变换 平移变换

复合变换 由若干个基本的几何变换组合成为一个几何变换的过程称为复合变换,也称为几何变换的级联 有些变换仅用一种基本变换是不能实现的,必须由两种或更多种基本变换组合才能实现 二维变换具有结合性: (AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性 复合变换顺序不能颠倒.一般情况下,顺序不同,则变换结果也不同 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

复合变换 绕任意点P(xp, yp)旋转角的变换 将旋转中心平移到坐标原点 将图形绕坐标原点旋转β角 将旋转中心平移回原来的位置 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 绕任意点P的旋转变换矩阵为:

复合变换 关于任意点P(xp, yp)作放缩变换 将P点平移到坐标原点 将图形作关于原点的放缩变换 将P点平移回原来的位置 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 绕任意点P的放缩变换矩阵为:

复合变换 关于任意直线作对称变换 设任意直线的方程为Ax+By+C=0,直线在x轴和y轴上的截距分别为-C/A和-C/B,直线与x的夹角为β 平移直线,使其通过坐标原点 绕坐标原点旋转,使直线与某坐标轴重合(以X轴为例) 关于坐标轴作对称变换(以X轴为例) 绕原点旋转,使直线回到原来与X轴成β角的位置 平移直线,使其回到原来的位置 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

复合变换 关于任意直线作对称变换 设任意直线的方程为Ax+By+C=0,直线在x轴和y轴上的截距分别为-C/A和-C/B,直线与x的夹角为β 平移直线,使其通过坐标原点 绕坐标原点旋转,使直线与某坐标轴重合(以X轴为例) 关于坐标轴作对称变换(以X轴为例) 绕原点旋转,使直线回到原来与X轴成β角的位置 平移直线,使其回到原来的位置 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 关于任意直线作对称变换的矩阵为:

复合变换 复合变换可以得到特殊的二维变换 刚体变换 可以分解为平移和旋转的组合 物体的形状没有变化,位置和方位有变化 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 刚体变换

复合变换 仿射(Affine)变换 x'=ax+by+c y'=dx+ey+f 平移、旋转、缩放、反射和错切是二维仿射变换的特例.任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合 仅包含平移、旋转和放缩的仿射变换保持点的共线性、长度的比例＝>平行线 仅包含平移、旋转和对称的仿射变换维持长度以及平行线 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 仿射变换

三维图形变换概述 变换原理是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1) 通过指定一个表示物体在三个坐标方向移动距离的三维变换向量来对物体进行变换 用三个坐标的缩放因子来缩放物体 三维旋转的扩展则不那么简单 讨论二维旋转时,只需考虑沿垂直于xy平面的坐标轴进行旋转.在三维空间中,可能选择空间任意方向作为旋转轴方向 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

点的齐次坐标表示 在三维空间里,用四维齐次坐标表示三维点 三维变换矩阵则用4×4阶矩阵表示 点(x,y,z)的齐次坐标为(hx,hy,hz,h),其中 x=hx/h, y=hy/h, z=hz/z 简单起见,用(x,y,z,1)作为(x,y,z)的齐次坐标 三维变换矩阵则用4×4阶矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

平移(Translation)变换 三维空间物体平移通过平移物体的各个点来实现 平移变换的解析表示 平移变换的矩阵表示 x'=x+tx y'=y+ty z'=z+tz 平移变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

放缩(Scaling)变换 三维局部缩放变换将坐标点(x,y,z)在X轴方向乘以比例系数Sx,在Y轴方向乘以Sy,z轴方向乘以Sz 相对于原点的局部缩放变换的解析表示 x'=x·Sx y'=y·Sy z'=z·Sz 相对于原点的缩放变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

放缩(Scaling)变换 参数取值情况的讨论 当Sx=Sy=Sz时,图形不变,是恒等变换 当Sx=Sy=Sz >1时,图形放大 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

放缩(Scaling)变换 相对于原点的三维全比例缩放解析表示 相对于原点的三维全比例缩放矩阵表示 x'=x/s y'=y/s z'=z/s 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

放缩(Scaling)变换 参数取值情况的讨论 当s>1时,图形的各方向等比例缩小 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

对称(Mirror)变换 最简单的三维对称变换是物体关于坐标平面对称 关于XOY平面的对称变换 关于XOZ平面的对称变换 关于YOZ平面的对称变换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

对称(Mirror)变换 关于XOY平面进行对称变换的解析表示 矩阵表示 x'=x y'= y z'= –z 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

对称(Mirror)变换 关于XOZ平面进行对称变换的解析表示 矩阵表示 x'= x y'= – y z'= z 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

对称(Mirror)变换 关于YOZ平面进行对称变换的解析表示 矩阵表示 x'= –x y'= y z'= z 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

错切(Shear)变换 三维错切变换是将图形的某个面沿着某一坐标轴滑动 沿X轴错切:错切平面移动一个与y值成比例shy的量,或者一个与z值成比例shz的量 沿Y轴错切:错切平面移动一个与x值成比例shx的量,或者一个与z值成比例shz的量 沿Z轴错切:错切平面移动一个与x值成比例shx的量,或者一个与y值成比例shy的量 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

错切(Shear)变换 沿X轴错切的解析表示 矩阵表示 参数取值的讨论 x'=x+y·Shy或x'=x+z·Shz y'=y z'=z Shy >0时错切平面沿+X方向移动,且离开Y轴 Shy <0时错切平面沿–X方向移动,且离开Y轴 Shz >0时错切平面沿+X方向移动,且离开Z轴 Shz <0时错切平面沿–X方向移动,且离开Z轴 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

错切(Shear)变换 沿Y轴错切的解析表示 矩阵表示 参数取值的讨论 x'=x y'=y+x·Shx或y'=y+z·Shz z'=z Shx>0时错切平面沿+Y方向移动,且离开X轴 Shx<0时错切平面沿–Y方向移动,且离开X轴 Shz>0时错切平面沿+Y方向移动,且离开Z轴 Shz<0时错切平面沿–Y方向移动,且离开Z轴 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

错切(Shear)变换 沿Z轴错切的解析表示 矩阵表示 参数取值的讨论 x'=x y'=y z'=z+x·Shx或z'=z+y·Shy Shx>0时错切平面沿+Z方向移动,且离开X轴 Shx<0时错切平面沿–Z方向移动,且离开X轴 Shy>0时错切平面沿+Z方向移动,且离开Y轴 Shy<0时错切平面沿–Z方向移动,且离开Y轴 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

旋转(Rotation)变换 三维旋转是将空间立体绕坐标轴旋转 情况分类 物体作旋转变换时,必须指定一个旋转轴(物体将绕该轴旋转)和旋转角度 旋转的正方向按照右手定则确定 情况分类 绕Z轴旋转 绕X轴旋转 绕Y轴旋转 绕任意轴旋转 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

旋转(Rotation)变换 绕Z轴旋转θ角 旋转变换的解析表示 矩阵表示 立体绕Z轴旋转时,各顶点Z坐标不变,X和Y坐标在二维平面内绕原点旋转 旋转变换的解析表示 矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

旋转(Rotation)变换 绕X轴旋转θ角 旋转变换的解析表示 矩阵表示 立体绕X轴旋转时,各顶点X坐标不变,Z和Y坐标在二维平面内绕原点旋转 旋转变换的解析表示 矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

旋转(Rotation)变换 绕Y轴旋转θ角 旋转变换的解析表示 矩阵表示 立体绕Y轴旋转时,各顶点Y坐标不变,Z和X坐标在二维平面内绕原点旋转 旋转变换的解析表示 矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

复合变换 使立体绕通过原点的任意轴旋转θ角的变换 假设在OZ轴上取单位矢量K,将K绕Y轴旋转θ1角,再绕Z轴旋转θ2角,使其与ON重合,得到ON轴的方向余弦[n1,n2,n3]与θ1和θ2的关系 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 于是有:

复合变换 使立体绕通过原点的任意轴旋转θ角的变换 将图形随ON轴绕Z轴旋转–θ2角 绕Y轴旋转–θ1角 绕Z轴旋转θ角 绕Y轴旋转θ1角 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

复合变换 使立体绕通过原点的任意轴旋转θ角的变换 将图形随ON轴绕Z轴旋转–θ2角 绕Y轴旋转–θ1角 绕Z轴旋转θ角 绕Y轴旋转θ1角 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

复合变换 使立体绕通过任意点P(x0,y0,z0)的轴旋转θ角的变换 平移变换使得旋转轴通过坐标原点 使立体图形绕过原点的轴旋转θ角 将坐标轴平移回原来的位置 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 实现上述变换的矩阵为:

非线性三维变换 变换矩阵是空间位置(x,y,z)或者旋转角度 (x,y,z)的函数 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

投影变换概述 投影是将n维的点变换成小于n维的点 本节只介绍三维到二维平面的几何投影,即:将立体坐标变换成平面坐标 通常图形输出设备都是二维的,用这些设备输出三维图形,必须把三维坐标系下图形上各点的坐标转化为某一平面坐标系下的二维坐标 投影变换的分类 投影变换主要有两种方式:平行投影和透视投影 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

投影变换概述 平行投影中,坐标位置沿平行线变换到观察平面上 平行投影保持物体的有关比例不变 物体的各个面的精确视图由平行投影而得 但这并没有给出三维物体外表的真实性表示 对透视投影,物体位置沿收敛于某一点的直线变换到观察平面上,此点称为投影参考点(或投影中心) 投影视图由计算投影线与观察平面之交点而得 透视投影生成真实感视图但不保持相关比例 平行投影与透视投影的区别 透视投影的投影中心到投影平面之间的距离有限 平行投影的投影中心到投影平面之间的距离无限 定义平行投影只需指明投影线的方向,即投影方向;定义透视投影需指明投影中心的位置 透视投影符合人类的视觉特点;平行投影适用于建筑和机械设计 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

投影变换概述 投影变换的分类 主视图 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 正投影 俯视图 侧视图 正平行投影 正等侧 正轴测投影 平行投影 正二侧 斜等侧 斜平行投影 投影 斜二侧 一点透视 透视投影 两点透视 三点透视

正平行投影 投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影;否则,称为斜平行投影 正投影是将三维图形上的各点分别向某一坐标平面作垂线,其垂足称为该点的投影点.将所有投影点按原来的次序连接起来得到的图形 当投影平面不与某一坐标轴垂直时,形成的投影称为正轴测投影,用来显示物体多个侧面 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

正投影变换 工程上将三维坐标系OXYZ中的三个坐标平面分为H面(XOY平面),V面(XOZ平面)和W面(YOZ平面) 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

正面(V面)投影主视图变换 正面投影是物体在XOZ平面上的投影 变换的解析表示 x'=x y'=0 z'=z 变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

水平面(H面)投影俯视图变换 正面投影是物体在XOY平面上的投影 变换的解析表示 x'=x y'=y z'=0 变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

侧面(W面)投影侧视图变换 正面投影是物体在YOZ平面上的投影 变换的解析表示 x'=0 y'=y z'=z 变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三视图 工程中规定需将V面、H面和W面上得到的3个正投影以一定方式展平在同一个平面上(习惯上放在V面上),结果称为三视图 计算三视图的过程 正视图保持不变 俯视图绕X轴逆转90度到V面,并向–Z轴方向平移n 侧视图绕Z轴正转90度到V面,并向–X轴方向平移l 变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三视图—例题 2 1 3 5 6 7 8 9 10 4 y x z 例:设立体图的点集矩阵为D,各投影图之间的距离为10,求立体的三面投影 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 2 1 3 5 6 7 8 9 10 4 y x z

三视图—例题 主视图的求解: 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三视图—例题 俯视图的求解: 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三视图—例题 侧视图的求解: 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三视图—例题 结果 2 1 3 5 6 7 8 9 10 4 y x z 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 x z

正轴测投影 轴测图是一种简单的立体图形,能给人一种直观的形象,以帮助建立空间的概念.由于它的绘制方法比较简单,所以在工程制图中经常用到 具体做法:将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转,再向该投影面作正投影 一般用V面为轴测投影面.将立体绕Z轴正向旋转θ角,再绕X轴负向旋转β角,最后向V面作正投影 只要任意给定一组θ和β角,代入矩阵就可以产生一种正轴测投影矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

轴向变形系数 取三个坐标轴上的点,其齐次坐标分别为A(1,0,0,1),B(0,1,0,1)和C(0,0,1,1).对它们进行正轴测投影,有 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

轴向变形系数和轴间角 令各轴的轴向变形系数分别为: 将O′X′,O′Y′和水平轴的夹角αx 和αy称为轴间角 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

正等测投影 正等测投影为三根轴上的变形系数相等时的正轴测投影 正等测投影变换矩阵 此时解得 , 基本概念 几何解释 2D几何变换 此时解得 , 正等测投影变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

正二测投影 正二测投影一般取X和Z轴变形系数相等,且为Y轴变形系数的2倍 正二测投影变换矩阵 此时解得 , , , 基本概念 几何解释 此时解得 , 正二测投影变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 , ,

斜轴测投影 投影方向不垂直于投影面的平行投影称为斜平行投影,或斜轴测投影 斜轴测投影可由三维图形进行错切和正投影得到 斜轴测投影变换矩阵 通常先沿X含Y错切,再沿Z含Y错切,最后向XOZ坐标平面投影 斜轴测投影变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

轴向变形系数和轴间角 取三个坐标轴上的点,其齐次坐标分别为A(1,0,0,1),B(0,1,0,1)和C(0,0,1,1).对它们进行斜轴测投影,有 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

斜等测投影 斜等测投影定义为: 解得 斜等测投影变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

斜二测投影 在斜轴测图中,常用的是斜二测图 斜二测投影定义为: 解得 斜二测投影变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

透视投影 透视图是通过空间一点将立体投影到投影面上所得到的投影图 空间点称为投影中心或视点,相当于观察者的眼睛 投影面置于视点与立体之间,将立体上的各点与视点相连所得到的投影线分别与投影面相交,交点就是立体上相应点的透视投影 将各投影点依次相连,即可获得具有真实立体感的透视图 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

点的透视变换 在Y轴上取一点E为视点,投影面为XOZ,E到XOZ面的距离为d, ABCD的透视投影点为A′B′C′D′ ΔDEB和ΔD′EB′相似,则有 设q= –1/d,则有 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 即 同理有

点的透视变换 视点在X轴上的透视投影变换矩阵为 视点在Z轴上的透视投影变换矩阵为 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

灭点 将Y轴上的无限远点(0 1 0 0)作透视变换,有 平行于某一坐标轴的平行线的灭点称为主灭点 Y轴上的无限远点经过透视变换后成为有限远点(0 1/q 0 1).原来与Y轴平行的直线变换后交汇于(0 1/q 0)点.这个点称为透视的灭点 同样,平行于X轴和Z轴的直线分别交汇于灭点(1/p 0 1)和(0 0 1/r) 平行于某一坐标轴的平行线的灭点称为主灭点 主灭点数最多为三个 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

透视投影的基本步骤 生成透视投影图的过程分为两步 变换矩阵的基本形式 对立体进行透视变换 正投影 基本概念 几何解释 2D几何变换 变换的分类

一点透视投影 z z x x o 在生成一点透视图时,为了避免把图所属立体安置在坐标系的原点而产生如下图所示的透视效果 一点透视变换矩阵 将三维图形沿着X,Y和Z方向平移l,m,n 进行透视变换 向XOZ面作正投影 一点透视变换矩阵 一般取-1<q<0,以获得较好的透视图形效果 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 x z o z x o

一点透视投影:例子 对下图作一点透视变换 q=-0.5, l=1, m=-2, n=-1.5 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

两点透视投影 两点透视的生成过程 两点透视变换矩阵 将三维图形沿着X,Y和Z方向平移l,m,n 对立体进行透视变换 绕Z轴旋转 向XOZ面作正投影 两点透视变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

两点透视投影:例子 对下图作两点透视 p=-0.4, q=-0.5, θ=60°, l=-0.5, m=-1, n=-2 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三点透视投影 三点透视的生成过程 三点透视变换矩阵 将三维图形沿着X,Y和Z方向平移l,m,n 对立体进行透视变换 将立体绕Z轴旋转正θ角 向XOZ面作正投影 三点透视变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

三点透视投影:例子 对下图作三点透视变换 p=-0.3, q=-0.3, r=-0.35,θ=30°, φ=30°, l=-1, m=-1, n=-1.5 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换 创建好三维世界后,希望能够从任意位置进行观察 人们观察三维空间物体和绘图的习惯 从世界坐标系到观察坐标系的转换称为视向变换 X轴自原点水平向右 Y轴自原点竖直向上 还需一维坐标表示物体离观察者的距离.距离越远,坐标越大;反之,坐标越小 这个坐标系称之为观察坐标系 从世界坐标系到观察坐标系的转换称为视向变换 建立观察坐标系取决于两个因素 观察点的位置,它决定了坐标系原点的位置 观察方向,它决定深度坐标轴的指向 为了简化问题,假定观察点可以在任意位置,但观察方向总是指向世界坐标系的原点 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 视向变换不能靠一次单一的简单变换来实现,而需要一个包括平移和旋转的多次变换的级联 平移变换 平移的变换矩阵 将世界坐标系的原点平移至观察点的位置 设观察点在世界坐标系中的坐标为E(x,y,z) 当坐标系原点发生变化,原坐标系的点坐标均需减去平移量 平移的变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 旋转变换1 旋转的变换矩阵 将平移后的坐标系绕X轴逆时针旋转90度 使得Y轴垂直向上,Z轴垂直指向XwOZw坐标平面 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 旋转变换2 旋转的变换矩阵 将上两次变换后的坐标系绕Y轴顺时针旋转θ 使得Z轴垂直指向原来世界坐标系的Z轴 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 旋转变换3 旋转的变换矩阵 将上三次变换后的坐标系绕X轴逆时针旋转β 使得Z轴指向原来世界坐标系的原点 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 改变X轴的指向 旋转的变换矩阵 调整X轴的指向 使得X轴由原来指向左边改变成指向右边 基本概念 几何解释 2D几何变换 变换的分类

视向变换矩阵 视象变换矩阵是上述五次基本变换的级联 视象变换矩阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 其中

线性空间的基底 同一线性空间可有不同的基底,同一向量在不同基底下的坐标是不同的 设n维线性空间的两个基底分别为 和 ,则有 其中 和 ,则有 其中 称为由E到E*的基底变换阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

线性空间的基底 任取一向量a,则它在两个基底下的线性表示为 将上式代入E*表达式,则有 和 故得 即 向量的原坐标等于新坐标行右乘基底变换阵 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 和 故得 即 向量的原坐标等于新坐标行右乘基底变换阵

视窗变换的概念 在把窗口中的图形信息送到视区输出之前,需要把用户坐标系下的坐标值转化为设备坐标系的坐标值,称为视窗变换 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

视窗变换 视窗变换的解析表示 视窗变换的矩阵表示 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类 令 , , 则有

线性变换 满足线性叠加和数量乘的变换称为线性变换 线性变换的性质 F(a+b)=F(a)+F(b) F(ka)=kF(a) 零向量的任意线性变换结果仍然是零向量,即原点位置不会发生变化 除投影变换外,平行线在线性变换后仍然是平行的 线性变换可能会造成拉伸,但是直线不会弯折 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

其它变换 仿射变换:线性变换后接着平移变换 可逆变换:对于任意a,F始终存在F-1,使得F-1(F(a))=a 主要形式: v’=vM+b 可逆变换:对于任意a,F始终存在F-1,使得F-1(F(a))=a 主要视相应的线性变换是否可逆.若线性变换矩阵M式奇异的,则变换不可逆.可逆矩阵的行列式不为0 除了投影变换,现有线性变换都可逆 等角变换:变换前后两向量夹角的大小和方向都不改变 等角变换会保持比例不变 所有等角变换都是仿射和可逆的变换 只有平移、旋转和等比例放缩是等角变换 对称变换会改变向量夹角的方向 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

其它变换 正交变换:轴保持垂直,且不进行缩放变换 刚体变换:只改变物体的位置和方向,不改变形状 平移、旋转和对称是仅有的正交变换 所有正交变换都是仿射和可逆的 刚体变换:只改变物体的位置和方向,不改变形状 所有长度、角度、面积和体积都不变 平移和旋转是仅有的刚体变换 所有刚体变换都是正交、仿射和可逆的 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类

变换分类的总结 基本概念 几何解释 2D几何变换 3D几何变换 变换的分类