3. Motion in 2- & 3-D 二及三維運動 Vectors 向量 Velocity & Acceleration Vectors 速度和加速度向量 Relative Motion 相對運動 Constant Acceleration 等加速 Projectile Motion 拋體運動 Uniform Circular Motion 等速圓周運動

At what angle should this penguin leave the water to maximize the range of its jump? 這企鵝應該以甚麽角度離開水面才能跳得最遠？ 45

3.1. Vectors 向量 Vectors 向量 : Physics: Quantities with both magnitude & direction. 物理 : 同時具有大小和方向的量。 2. Mathematics : Members of a linear space. 數學 : 線性空間裏的成員。 (Free vectors 自由向量) Scalars: Quantities with only magnitude. 純量 : 祗有大小的量。 Displacement 位移 Position vector 位置向量 Vector addition 向量加法 : Commutative 可交換的 : A + B = B + A 2. Associative 可結合的 : (A + B) + C = A + ( B + C )

A 2 A z y y x x Multiplication by scalar : 乘以純量 : Coordinate system. 座標系統 Cartesian coordinate system. 卡氏座標 A Az k = Az y k j A Ay = Ay j Ax i = Ax Ay j = Ay i y j  x x i Ax = Ax i Vector components: 向量分量： Unit vectors: 單位向量 :

Example 3.1. Taking a Drive 開車 You drive to city 160 km from home, going 35 N of E. 你從家裏開車 160 km 到市區，方向是東北 35. Express your new position in unit vector notation, using an E-W / N-S coordinate system. 把你的新位置用一個西東 / 南北座標的單位向量表示。 y (N) city r = 160 km j  = 35 x (E) home i

Vector Arithmetic with Unit Vectors 使用單位向量的向量算術

3.2. Velocity & Acceleration Vectors 速度和加速度向量 Average velocity 平均速度 (Instantaneous) velocity (瞬時)速度 Average acceleration 平均加速度 (Instantaneous) acceleration (瞬時)加速度

Velocity & Acceleration in 2-D 二維的速度和加速度 a  v  circular motion 圓周運動

3.3. Relative Motion 相對運動 Motion is relative (requires frame of reference). 運動是相對的 ( 需要參框架 ) Man walks at v = 4 km/h down aisle to front of plane, 某人以 v = 4 km/h 沿走道往飛機的前方走， which move at V = 1000 km/h wrt (with respect to) ground. 飛機則以 V = 1000 km/h 相對於地面飛行。 Man’s velocity wrt ground is v = v + V. 該人相對於地面的速度是 v = v + V 。 Plane flies at v wrt air. 飛機以 v 相對於空氣飛行。 Air moves at V wrt ground. 空氣以 V 相對於地面流動。 Plane’s velocity wrt ground is v = v + V. 飛機相對於地面的速度是 v = v + V 。

Example 3.2. Navigating a Jetliner 駕駛噴射客機 Jet flies at 960 km / h wrt air, trying to reach airport 1290 km northward. 噴射機以 960 km / h 相對於空氣飛行，目的地是北方 1290 km 處的機場。 Assuming wind blows steadly eastward at 190 km / h. 假如風一直以 190 km / h 往東吹。 What direction should the plane fly? 飛機應朝甚麽方向飛 ? How long will the trip takes? 這趟旅程要多久 ? Desired velocity 想要的速度 Wind velocity 風的速度 V 190 km/h Jet velocity 噴射機的速度  v v 960 km/h  Trip time 旅程需時

3.4. Constant Acceleration 等加速 Vertical spacing is the same  vertical & horizontal motion are independent. 豎向間隔相等  豎與橫向運動獨立。 2-D:

Example 3.3. Windsurfing 風浪板 You’re windsurfing at 7.3 m/s when a wind gust accelerates you at 0.82 m/s2 at 60 to your original direction. 你的風浪板在 7.3 m/s 時被一陣風以 0.82 m/s2 朝你原方向 60 加速。 If the gust lasts 8.7 s, what is your net displacement? 如果陣風維持 8.7 s,你的淨位移為何 ? net displacement 淨位移

3.5. Projectile Motion 拋體運動 2-D motion under constant gravitational acceleration 重力等加速之下的二維運動 parabola 拋物線 vx 不變

Example 3.4. Washout 沖失 A section of highway was washed away by flood, creating a gash 1.7 m deep. 一段公路被洪水沖走，留下一個深 1.7 m 的斷層。 A car moving at 31 m/s goes over the edge. 一部汽車以 31 m/s 衝過斷處。 How far from the edge does it land? 它會落在離斷處多遠的地方?

Projectile Trajectory 拋體軌跡  Projectile trajectory : parabola 拋體軌跡 : 拋物線

Example 3.5. Out of the Hole 出洞 A construction worker stands in a 2.6 m deep hole, 3.1 m from edge of hole. 一個建築工人站在一個 2.6 m 深的洞中，離洞邊 3.1 m 處。 He tosses a hammer to a companion outside the hole. 他把一個鎚子拋給洞外的同伴。 Let the hammer leave his hand 1.0 m above hole bottom at an angle of 35. 讓鎚子離手時高於洞底 1.0 m ，仰角為 35 。 What’s the minimum speed for it to clear the edge? 要越過洞邊的最低速率為何? How far from the edge does it land? 它的落點離洞邊多遠? minimum speed 最低速率  Lands at 5.5 m from edge. 落點離洞邊 5.5 m 。

The Range of a Projectile 拋體的射程 Horizontal range 水平射程 ( y = y0 ) :  Longest range at 最遠射程在 0 = 45 = /4. Prob 70: Range is same for 0 & /2  0 射程一樣 Prob 2.77: Projectile spends 71% in upper half of trajectory. 拋體有 71%的時間是在軌跡的上半部

Example 3.6. Probing the Atmosphere 探測大氣 After a short engine firing, a rocket reaches 4.6 km/s. 經過引擎短暫的發動後，火箭達到 4.6 km/s。 If the rocket is to land within 50 km from its launch site, 如果火箭要在發射處 50 km 內降落， what’s the maximum allowable deviation from a vertical trajectory? 離垂直軌跡的最大偏角為何? Short engine firing 引擎短暫發動  y  0, v0 = 4.6 km/s.  maximum allowable deviation from a vertical trajectory is 0.67. 離垂直軌跡的最大偏角為 0.67.

3.6. Uniform Circular Motion 等速圓周運動 Uniform circular motion : circular trajectory, constant speed. 等速圓周運動：圓形軌跡，速度一定。 Examples 例 : Satellite orbit. 衛星軌道 Planetary orbits (almost). 行星軌道 (幾乎是) Earth’s rotation. 地球的自轉 Motors. 馬達 Electrons in magnetic field. 磁場中的電子 ⁞ ⁞

  v = v2  v1 ( centripetal 向心 )

Example 3.7. Space Shuttle Orbit 太空梭軌道 Orbit of space shuttle is circular at altitude 250 km, where g is 93% of its surface value. 太空梭的軌道是圓的，高度為 250 km；該處的 g 是地面值的 93% 。 Find its orbital period. 求其週期。 ( low orbits 低軌 ) ISS 太空站 : r ~ 350 km 15.7 orbits a day 每曰繞 15.7 次

Example 3.7. Engineering a Road 道路工程 Consider a flat, horizontal road with 80 km/h (22.2 m/s) speed limit. 茲有一平坦，在水平面的路，速限為 80 km/h (22.2 m/s) 。 If the max vehicle acceleration is 1.5 m/s2, 如果車輛的最大加速度是 1.5 m/s2 ， what’s the min safe radius for curves on this road. 這路在拐彎處最小的安全半徑為何？

Nonuniform Circular Motion 非等速圓周運動 Nonuniform Circular Motion : trajectory circular, speed nonuniform 非等速圓周運動 ： 圓形軌跡，速度不一定。  a non-radial but ar = v2 / r a 非徑向，但 ar = v2 / r v at ar a

GOT IT 懂嗎 ? 3.4. Arbitrary motion 隨意運動 : ar = v2 / r r = radius of curvature 曲率半徑 If v1 = v4 , & v2 = v3 , rank ak. 設 v1 = v4 , & v2 = v3 ,替 ak 排序。 Ans 答 : a2 > a3 > a4 > a1