Chapter 5 Logit與Probit迴歸
線性機率迴歸模型原理 應用時機 線性機率模型 一個屬質的反應變數，對應一個或多個解釋變數的情況，就適合採用Logit或Probit迴歸模型來進行分析 線性機率模型 上式中Yi的分配為二項分配，其機率密度函數為 P是應變數Yi=1的機率，Yi的期望值： 多變量分析—管理上的應用
線性機率迴歸模型原理 隨機誤差項機率分配 多變量分析—管理上的應用
線性機率迴歸模型原理 線性機率模型的限制 自變數範圍限制 當自變數的值超過某範圍時，預測所得的應變數值可能會大於1或小於0，因而違反機率的定理；解決方法之一為將估計式設限，成為下式 多變量分析—管理上的應用
線性機率迴歸模型原理 線性機率模型的限制 參數估計偏誤 線性機率迴歸模型在進行參數估計時，很容易受到樣本分佈的影響，而造成斜率的低估或高估偏誤 多變量分析—管理上的應用
Logit模型 機率密度函數 累積機率密度函數 Logit 模型中，將應變數值為1的機率設為 Logit迴歸模式的估計式 多變量分析—管理上的應用
Probit模型 統計模型 以標準常態的累積機率密度函數（standardized cumulative normal function）來取代原始的線性機率模型 假設Y代表一個二元決策的虛擬變數，其值0、1分別代表二個不同的決策結果，同時，我們設定一個連續變數Zi=α+βXi作為影響個別樣本決策的指標、為界定決策結果Y值為0或1的臨界值 假設Zi *為一個服從標準常態分配的隨機變數 Probit 函數為Zi * Zi的機率 決策指標Zi則可表示為Pi的反函數 Xi為影響屬質決策的解釋變數，由上式可以估計決策指標Zi與解釋變數Xi之關係，並在特定的Zi *之下，利用此一估計式預測特定事件發生的結果 多變量分析—管理上的應用
Probit模型與線性機率模型的比較 相同點 相異點 以變數轉換的方式，將屬質的應變數轉為連續變數，以機率表示事件發生的可能性 任意自變數所對應的因變數值的範圍，恒介於[0,1]之間 相異點 線性機率模型估計式的斜率為固定，而Probit模型估計式的斜率是變動的；在Z值接近0的區域，Probit迴歸式的斜率較大，而在Z值接近兩端（-2及2）的區域，則以線性機率模型的斜率較大 多變量分析—管理上的應用
實例與應用5-1 隨機選擇3個觀測值，其中2個選擇開車、1個選擇搭公車（Y1=1, Y2=1, Y3=0），其對應的X值分別為：X1=15, X2=20, X3=5。另假設此三個觀測值彼此之間相互獨立，則Y1=1, Y2=1, Y3=0的聯合機率密度函數為 利用電腦輔助的數值方法，可以求得使得L極大化的參數估計值（a, b），而此一最能夠代表上述3個樣本的函數為 多變量分析—管理上的應用
邊際效果(Marginal effect) 定義式 涵義 由於f(α+βX)為機率密度函數，其值恒大於0，因此，邊際效果的正負完全取決於β 當X變動時，函數f(α+βX)的值亦隨之變動，但其變動的效果並非常數 若α+βX的值相當大(如：接近3)，，X的變動對於F(Z)的影響效果就很小。而當α+βX的值相當小時(如：接近-3)，也有類似的情況 多變量分析—管理上的應用
準確率(Hit Ratio) 應用 為了驗證此一迴歸估計式預測的準確性，我們可以將原自變數樣本資料代入迴歸估計式中，以得出預測的(predicted)應變數結果。然後，將此結果與應變數的實際(actual)情況比較，以檢視其準確率 多變量分析—管理上的應用