5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分 5.7 反三角函數：積分 5.8 雙曲函數

5.6 反三角函數：微分 反三角函數的定義 函數 定義域 值域 函數 定義域 值域 y = arcsin x iff sin y = x –1 ≤ x ≤ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2 y = arccos x iff cos y = x –1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤π y = arctan x iff tan y = x –∞ < x <∞ –π/2 < y <π/2 y = arccot x iff cot y = x –∞ < x <∞ 0 < y <π y = arcsec x iff sec y = x |x| ≥ 1 0 ≤ y ≤π, y≠π/2 y = arccsc x iff csc y = x |x| ≥ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2, y≠0 P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.29 P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 1 計算反三角函數 計算下列各題的值。a. arcsin(–½) b. arccos 0 c. d. arcsin(0.3) 解 例 1 計算反三角函數 計算下列各題的值。a. arcsin(–½) b. arccos 0 c. d. arcsin(0.3) 解 a. 由定義，從 y = arcsin(–½) 可得 sin y = –½，在區間 [–π/2,π/2] 中，y 的正確答案是 –π/6，因此 arcsin(–½) = –π/6 b.由定義，從 y = arccos 0 可得 cos y = 0，在區間 [0,π] 中，y 的正確答案是 y =π/2，因此 arccos 0 = π/2 P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 1（續） c. 由定義，從 可得 ，在區間 (–π/2,π/2) 中，y 的正確答案是 y =π/3，因此 d. 以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ 0.305 P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

反三角函數的性質 如果 –1 ≤ x ≤ 1 並且 –π/2 ≤ y ≤ π/2，則有 sin(arcsin x) = x 和 arcsin(sin y) = y 如果 –π/2 < y < π/2，則有 tan(arctan x) = x 和 arctan(tan y) = y 如果 |x| ≥ 1 並且 0 ≤ y <π/2 或者 π/2 < y ≤π，則有 sec(arcsec x) = x 和 arcsec(sec y) = y 其他反三角函數也有類似的性質。 P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 2 解方程式 原式 兩邊取正切 tan(arctan x) = x 解 x P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 3 利用直角三角形 a. 已知 y = arcsin x， 0 < y <π/2，求 cos y。 例 3 利用直角三角形 a. 已知 y = arcsin x， 0 < y <π/2，求 cos y。 b. 已知 y = arc ，求 tan y。 解 a. 從 y = arcsin x，可知 sin y = x，所以以一個直角三角 形表示 x 和 y 的關係，如圖5.30 所示。 （此結果亦適用於 –π/2 < y < 0）。 b. 以圖5.31 中的直角三角形來看 P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.30 P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.31 P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

定理5.16 反三角函數的導函數 P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 4 求反三角函數的微分 a. b. c. d. 因為 e2x > 0，絕對值記號是多餘的。 P.261 例 4 求反三角函數的微分 a. b. c. d. 因為 e2x > 0，絕對值記號是多餘的。 P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 5 一個可以化簡的導函數 微分 。 解 P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 6 分析一個反三角函數的圖形 分析 y = (arctan x)2 的圖形。 解 先求導函數 例 6 分析一個反三角函數的圖形 分析 y = (arctan x)2 的圖形。 解 先求導函數 可看出 x = 0 是唯一的臨界數。由一階導數檢定， x = 0 對應的是一個相對極小，再由二階導數 反曲點出現在 2x arctan x = 1 處，可利用牛頓法求出 x 的近似值大概是 x ≈ ±0.765。最後，由於 得知圖形以 y =π2/4 為水平漸近線，見圖5.32。 P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.32 y = (arctan x)2 的圖形，以 y = π2/4 為水平漸近線。 P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 7 求攝影角度的最大值 攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上，上下高度 4 呎的畫， 鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎，如圖5.33 所示。攝影 例 7 求攝影角度的最大值 攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上，上下高度 4 呎的畫， 鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎，如圖5.33 所示。攝影 機應該距畫多遠才能使攝角最大？ 解　在圖5.33 中，令β是攝角。 β=θ–α = arccot x/5 – arccot x 微分得到 由於當 x = 時，dβ/dx = 0，從一階導數檢定得知β 會有最大值。因此，x ≈ 2.236 呎，而最大角β≈ 0.7297 弧度 ≈ 41.81°。 P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.33 攝影機要距離牆壁 2.236 英呎才能得到最大的攝角 。 圖5.33 攝影機要距離牆壁 2.236 英呎才能得到最大的攝角 。 P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

基本函數的微分規則 P.263 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數