第三章 一维定态问题 §3.1 一维束缚定态的性质 §3.2 一维方势阱 §3.3 一维谐振子 §3.4 势垒穿透 §3.5 函数势

§3.1 一维束缚定态的性质 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题—— 一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。

§3.1 一维束缚定态的性质 1、能量是非简并的 2、波函数为实函数 3、如V（-x）=V（x），则波函数具有确定的宇称

宇称简介 （1）空间反演：空间矢量反向的操作。 （2）此时如果有： 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； （3）如果在空间反演下， 则波函数没有确定的宇称。

§3.2 一维方势阱 （一）一维无限深方势阱 （二）一维有限深方势阱 （三）半壁无限高方势阱

引言 一维运动 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 引言 一维运动 当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其 Schrodinger 方程为： 令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程： 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。 所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。

其中

（一）一维无限深方势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 -a 0 a V(x) I II III 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数

（1）列出各势域的 S — 方程 2 2 -a 0 a I II III 方程可 简化为： 势V(x)分为三个区域， 表示， 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： 2 2 -a 0 a V(x) I II III 方程可 简化为：

（3）使用波函数标准条件 1。单值，成立； 2。有限：当x  - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0。 -a 0 a I II III V(x) I II III  （3）使用波函数标准条件 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。

使用标准条件 3。连续： 1）波函数连续： 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： -a 0 a V(x) I II III 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛 盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续 。

(1)+(2) (2)-(1) 两种情况： 由（4）式

讨论 状态不存在 所以 n 只取正整数，即 描写同一状态 于是： 或

由（3）式 于是波函数： 类似 I 中关于 n =  m 的讨论可知：

综合 I 、II 结果，最后得： 对应 m = 2 n 对应 m = 2n+1 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。

由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 （4）由归一化条件定系数 A

[小结] 由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下： 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。

（1）写出Schrodinger方程 （2）引入参数使方程简化 方程可 简化为： 势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： （2）引入参数使方程简化 方程可 简化为：

一维无限深势阱中运动的粒子的能级及对应的波函数 -a 0 a V(x) I II III 

（5）对解的物理意义讨论 a.束缚态与分立能级 束缚态 若粒子被束缚在 有限区域内，其状态为束缚态。 可知 由解 束缚态 粒子被束缚在 (-a, a)小区域内，不可能到达无限远处。 若粒子被束缚在 有限区域内，其状态为束缚态。 若粒子可到达无限远处，其状态为非束缚态。 一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。

b. n为什么未取为0和负整数？ 若 n=0, 则 0=0, 由于波函数模平方正比于粒子出现的几率，因此， n=0 的态是没有意义的！ 从求解过程可以看到，仅从数学上看n 也可取负整数 可见，n 取负整数与正整数描写同一状态。

所谓的基态是指能量最低的态 c. 不为零的基态能量 在本问题中能量最低的态对应n=1的情况，因此 基态能量为 这和经典粒子有本质的区别.在经典物理中，粒子的能量可以为零，这意味着粒子静止，即粒子的坐标有确定值且动量为零。但在量子力学中，因为波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，因此基态能量不能为零，这是微观粒子波动性的表现。

d. 激发态 所谓的激发态是指基态以外的态 在本问题中，n≥2的态均为激发态，n=2、3、4…对应的态分别为第一激发态、第二激发态、第三激发态…. 相邻两激发态的能量间隔 相对能量间隔为： 能量分立性消失 波动性消失 当量子数n很大时，量子效应消失而过渡到经典情况。

本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称 e. 宇称 宇 称 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； 则波函数没有确定的宇称。 奇宇称 偶宇称 本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称

为什么到纳米尺度才能观察到量子效应？ f. 关于纳米问题 电子的de Broglie波长 ～0.1 nm n=1 a～0.025 nm

（二）一维有限深方势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 -a 0 a V(x) I II III 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数

粒子所满足的S-方程为 按势能的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③

整理后，得 Ⅰ： ④ Ⅱ： ⑤ Ⅲ： ⑥

令 则 Ⅰ： ⑦ Ⅱ： ⑧ Ⅲ： ⑨

（三）半壁无限高方势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 -a 0 a V(x) I II III 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数

§3.3 一维谐振子 （一）引言 （二）线性谐振子方程的求解 （三）讨论

线性谐振子 （一）引言 （二）线性谐振子 （三）讨论 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （三）讨论

（一）引言 （1）何谓谐振子 在经典力学中，当质量为  的粒子 ，受弹性力F = - kx作用，由牛顿 第二定律可以写出运动方程为： 其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为 简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。 若取V0 = 0，即 平衡位置处于势 V = 0 点，则

（2）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数： a x V(x) V0

取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。

（二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数

（1）方程的建立 则 Schrodinger 方程可写为 ： 为简单计， 引入无量纲变量ξ代替x， 此式是一变系数 二阶常微分方程 线性谐振子的 Hamilton量： 则 Schrodinger 方程可写为 ： 为简单计， 引入无量纲变量ξ代替x， 此式是一变系数 二阶常微分方程

（2）求解 1. 渐近解 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件： 为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为： 1. 渐近解 欲验证解的正确性，可将其代回方程， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， ξ2 >> ± 1 因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为： 波函数有限性条件： 当ξ→±∞ 时，应有 c2 = 0，

其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； 将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程： 2. H(ξ)满足的方程

3.级数解 我们以级数形式来求解。 为此令： 用 k 代替 k’

ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2] 即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式： 该式对任意ξ都成立， 故ξ同次幂前的系数均应为零 ， 只含偶次幂项 由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令： b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ). 只含奇次幂项 则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]

（3）应用标准条件 单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。 因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。 (I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限 (II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 为此考察相邻 两项之比： 考察幂级数exp[ξ2}的 展开式的收敛性 比较二级数可知： 当ξ→±∞时， H(ξ)的渐近 行为与exp[ξ2]相同。

所以总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0. 代入递推关系)得： 结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。

由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 （4）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为： 归一化系数 λ = 2n+1 Hn(ξ) 也可写成封闭形式： 由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。

基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2 应 用 实 例 下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：

（5）求归一化系数 继续分步积分到底 于是归一化系数 (I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=α dx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式。 ( 分 步 积 分 ) 该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。 继续分步积分到底 则谐振子 波函数为： 于是归一化系数 因为Hn的最高次项 ξn的系数是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。

上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 （三）讨论 1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 2. ψn具有n宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。

以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1 4. 波函数 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)μω2 x2 = {1/2} ħω= E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。 然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。  -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 n = 2 n = 1 n = 0

分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 5. 几率分布 -2 2 -4 4 |10|2  ωn(ξ) n=2 n=1 n=0 -1 1  -1 0 1 ω0(ξ)

量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子 线性谐振子解法总结 何为谐振子 在经典力学中，当质量为  的粒子，受弹性力 F = -kx 作用，由牛顿定律可写出运动方程为： x =Asin(ωt +δ) 这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子

简谐振动往往作为复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究无论理论还是在应用上都是很重要的。 为何要研究谐振子 自然界中随处可见简谐振动。事实上，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 处理线性谐振子的方法非常典型。 简谐振动往往作为复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究无论理论还是在应用上都是很重要的。 例:双原子分子，两原子间的势V 是二者相对距离x 的函数 a x V(x) V0 可见复杂势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。

（1）写出Schrodinger方程 Hamiton量 算符代替力学量 Hamiton算符 (1)

（2）方程简化 (1) 利用 引入参数 ，则方程变成： (2) 方程（2）是变系数的二阶常微分方程。 如果直接用幂级数方法求解，系数递推公式将会非常复杂，常用方法是先求方程的渐近解，然后再求方程再整个区间的解（这也是解Schrödinger方程的一种常用方法）

（3）渐近解 (3) 以尝试解 代入并略去量级较小的项 因此，方程(3)有两个解，分别为 和 不满足波函数有限的条件，略去 为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 ξ→±∞ 时ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为： (3) 以尝试解 代入并略去量级较小的项 因此，方程(3)有两个解，分别为 和 不满足波函数有限的条件，略去 所需要的波函数渐近解应当为

（4）由波函数标准条件确定出Schrodinger方程的解 令 代入到方程（2）有 (4) 该方程称为厄米方程 把H 展开成 的幂级数，即 代入到方程(4)可得 由的同次幂级数之和为零，得到递推公式 (5)

为满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式，这就要求 H(ξ) 从某一项（如第 n 项）起以后各项系数均为零，即 an ≠ 0, an+2 = 0. 代入递推关系得： 由 得到谐振子的能量 (n=0, 1, 2,….)

对应于不同的n 或不同的，厄米方程的解为 Hn()， Hn()称为厄米多项式，可表示成： (6) 其最高次幂是n，其系数为 两个递推公式 因此我们可得到线性谐振子的波函数为 利用 归一化系数 得到

(5). 解的物理意义及讨论 a. 能量量子化 谐振子的能量取分立值： 原因是：在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于谐振子的势能U(x)，当x∞趋于无限大，即 一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。 因此，粒子不可能出现在无限远处。 结论：谐振子问题属于束缚态问题。

对应于不同的n 或不同的，厄米方程的解为 Hn()， Hn()称为厄米多项式，可表示成： (6) 其最高次幂是n，其系数为 两个递推公式 因此我们可得到线性谐振子的波函数为 利用 归一化系数 得到

(5). 解的物理意义及讨论 a. 能量量子化 谐振子的能量取分立值： 原因是：在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于谐振子的势能U(x)，当x∞趋于无限大，即 一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。 因此，粒子不可能出现在无限远处。 结论：谐振子问题属于束缚态问题。

(5). 解的物理意义及讨论 b. 均匀分布的能级 c. 不为零的基态能量 由 ，可知 相邻能级间的间隔 在本问题中，基态对应于n＝0的情况。 当n＝0时， 这正是planck当初的假设！ 经典 能量 量子 典型的量子效应 ！

经典情况 (5). 解的物理意义及讨论 d. 和经典谐振子的比较 经典力学中，粒子在△x范围内出现的几率∝粒子通过△x所需要的时间 X 经典力学中粒子在原点x＝0处出现的几率最小。 粒子在△x范围内出现的几率 （因为粒子在x＝0处的速度最大）

量子情况 波函数 n = 0 n = 1 n = 2  -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2

几率分布 n=2 n=1 n=0 -1 0 1 (1) 粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇）  -1 0 1 ω0(ξ) (1) 粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇） -2 2 -4 4 |10|2  (2) 粒子可在经典禁区中出现 (3) 当n越大时，其几率密度分布与经典几率密度分布越来越接近，当n∞时，量子和经典无差别，这也表现当量子数很大时，量子体系过渡到经典情况。

§3.4 势垒穿透 (一）引言 （二）方程求解 （三）讨论 （四）应用实例

势垒穿透 势 垒 U0 O a U 经典理论： 1.E >U0的粒子， 能够越过势垒。 2.E <U0的粒子，不能越过势垒。 量子理论： 1.E > U0 的粒子，也存在被弹回的概率—— 反射波。 2.E < U0 的粒子，也可能越过势垒到达另一区—— 隧道效应。

(一）引言 势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下： V(x) V0 E 现在的问题是已知粒子以 0 a V(x) V0 I II III E 现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。

（二）方程求解 上述三个区域的 Schrodinger 方程可写为： （1）E > V0 情况 因为 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改写为：

2. 波函数导数连续 1. 波函数连续 波函数意义 定态波函数ψ1,ψ2,ψ3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/] 即可看出： 式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。由于在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C'=0，于是解为： 利用波函数标准条件来定系数。 首先， 解单值、有限条件满足。 2. 波函数导数连续 1. 波函数连续 综合 整理 记之

几率流密度矢量： 对一维定态问题，J 与 时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ik1x] ψ* = A* exp[-ik1x] 则入射波几率流密度 反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以反射波几率流密度： 对透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以透射波几率流密度： 其中负号表示与入 射波方向相反。

于是透射系数为: 同理得反射系数： 由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。

因 k2=[2μ(E-V0)/ ]1/2，当 E < V0 时，k2 是虚数， 故可令： k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ]1/2。 这样把前面公式中的 k2 换成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a 即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。 0 a V(x) x V0 隧道效应 （tunnel effect） 入射波+反射波 透射波 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。下图给出了势垒穿透的波动图象。

（三）讨论 透射系数则变为： 故4可略 于是： （1）当k3a >> 1时 粗略估计，认为 k1 ≈ k3 （相当于E ≈V0/2）, 则 D0 = 4是一常数。下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。

例1: 入射粒子为电子。 例2: 入射粒子换成质子。 设 E=1eV, V0 = 2eV, 质子与电子质量比 a = 2× 10-8 cm = 2Å， 算得 D ≈ 0.51。 质子与电子质量比 μp/μe ≈ 1840。 对于a = 2 Å 则 D ≈ 2 × 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。 若a=5× 10-8cm = 5 Å， 则 D ≈ 0.024，可见 透射系数迅速减小。 量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的α衰变现象。

此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。 （2）任意形状的势垒 可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。 对每一小方势垒透射系数 0 a b V(x) E dx 则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。

（四）应用实例 除了大家熟悉的α衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。 （1）原子钟 （2）场致发射（冷发射）

（1）原子钟 原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。 H 如果N原子初始在N处，则由于隧 氨分子(NH3)是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个 H 原子 在基底。如图所示： N N’ E 如果N原子初始在N处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在 N’点。当运动能量小于势垒高度 如图中能级 E 所示，则N原子的运动由两种形式组成。 1. R-S之间或T-U之间的振荡（谐振子）； 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NH3基态，第二种振荡频率为2.3786× 1010 Hz。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。

（2）场致发射（冷发射） 欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。 但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。 图 （a） 图 （b）

扫描隧穿显微镜（STM） 扫描隧穿显微镜(Scanning Tunneling Microscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。 利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，若在样品与针尖间加一微小的电压，电子就会穿过两个电极间的势垒流向另一个电极，形成隧道电流。

隧道电流 I 样品和针尖间距离a的关系 a — 样品和针尖间的距离 U — 加在样品和针尖间的微小电压 A — 常数  — 平均势垒高度 模式一：利用电子反馈线路来控制隧道电流I 的恒定，利用压电陶瓷材料来控制针尖在样品表面上的扫描，则探针在垂直于样品方向上的高低变化，就反映出了样品表面的起伏。 模式二：对于表面起伏不大的样品，可以控制针尖高度守恒扫描，通过记录隧道电流的变化来得到表面态密度的分布。

扫描探针显微镜 包含类型：隧道扫描、磁力扫描、横向力扫描、力调制扫描、相检测扫描、静电力扫描

2. STM扫描图象 硅晶体表面的STM扫描图象 50 90 30 70 10 (nm)

rectangular

Stadium Corral

镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波

由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。 前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是 1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追溯他的功劳。 图片取自清华大学编大学物理 宾尼 罗赫尔 鲁斯卡

§3.5 函数势 (一）引言 （二）波函数一阶不连续的条件 （三）粒子在 势阱中的束缚态 （四）粒子波在 势上的穿透率