認識紙張的尺寸 國中數學第五冊 第一章相似形

同學們在學習中常會接觸到不同尺寸的紙張所印 製的各式講義及試卷，但對紙張尺寸的名稱及大小的關係，卻很陌生。 希望透過本單元的介紹能讓同學們對紙張有更深入的認識，並配合數學第五冊第一章相似形的觀念找出紙張間的關係。

請將各種尺寸的紙張歸類。 透過大小比較及折疊找出彼此的關係。 實際測量每種尺寸紙張的長寬。 找出紙張長寬的關係。

學校常用紙張依照大小可歸類為下列幾種規格 紙張尺寸 長(mm) 寬(mm) A3 A4 B4 B5

長寬的測量結果 紙張尺寸 長(mm) 寬(mm) A3 420 297 A4 210 B4 364 257 B5 182

計算紙張長寬比 紙張尺寸 長(mm) 寬(mm) 長寬比 A3 420 297 A4 210 B4 364 257 B5 182

紙張長寬比 紙張尺寸 長(mm) 寬(mm) 長寬比 A3 420 297 1.414 A4 210 B4 364 257 1.416 B5 182 1.412

同系列紙張的縮放比 B系列 A系列 A3 A4 比值 長 420 297 1.414 寬 210 B4 B5 比值 長 364 257 1.416 寬 182 1.412

我們發現 兩張A4 的紙張拼好等於一張A3的紙。 兩張B5 的紙張拼好等於一張B4的紙。 紙張的長寬比都約等於1.414 。這個比值正好是√2的近似值。這個比值的意義為何?

紙張切割的原則為對切後，紙張長寬比例維持 不變，並且不會浪費紙。我们利用以下的推論 去求這個比例。 首先我們將黃色紙張對折可得到與藍色紙大小相同的紙張。 黃色紙張的長＝藍色紙張的寬的2倍。 黃色紙張的寬＝藍色紙張的長。 黃色紙張的面積＝2張藍色紙張的面積。

假設藍色紙的寬為 x，長為 y 則黃色紙的長為 2x ，寬為 y x : y = y : 2x y2 = 2x2

由以上的推論，我们得到紙張的黃金比例為 長寬比√2 ，也可稱做白金比例。 白金比例在紙張上的應用，如A系列紙有分為A0、A1、A2、A3、A4、A5等尺寸，其共通點就是形狀相同（或者說是相似）長寬比例為1：√2 ，下一個尺寸的面積大小是上一個尺寸的一半。因此如果面積減半但形狀仍維持相似的話，相臨兩個尺寸的紙張縮放比為1：√2 。 同系列的紙張能一直對切，比例維持不變。 。

根據維基百科的資料: 早在1786年，一位德國的科學家Georg Christoph Lichtenberg就發現長寬比為 √2 的矩形具有許多特點[1]。 在20世紀初期Walter Porstmann將此概念應用在一系列紙張尺寸的制定，並且在1922年被制定為德國標準（DIN 476）。隨着各國逐漸採用，後來此標準被定為國際標準（ISO 216）。

國際標準的紙張尺寸可分為A、B、 和C三種系列。此標準的特色是紙張 尺寸的長寬比均為√2(約為1.4142)。 同系列但不同尺寸的紙張，其幾何比例相同，因此可以直接縮放影印而不會造成紙面圖案有邊緣裁切的問題。

A系列 A系列的制定基礎首先是求取一張長寬比為√2且面積為1平方米(m²)的紙張。 因此這張紙的寬長分別為 841 毫米和 1189 毫米(長寬比為√2:1)，並且編號為A0。

若將A0紙張的長邊對切為二，則得 到兩張A1的紙張，其寬長均為 594 毫米和841 毫米。 依此方式繼續將A1紙張對切，則可以依序得到A2、A3、A4等等紙張尺寸。 在制定標準時，尺寸均以整數為準，因此對切的紙張尺寸若帶有小數(小於 1 毫米)則會捨入計算。

ISO 216 A系列紙張示意圖 資料來源：維基百科

B系列 B系列的制定基礎首先是求取寬邊的長度為1米且面積為√2平方米(m²)的紙張。 因此這張紙的寬長分別為 1000 毫米和 1414 毫米(長寬比為√2:1)，並將其編號為B0。

若將B0紙張的長邊對切為二，則得 到兩張B1的紙張，其寬長均為 707 毫米和 1000 毫米。 依此方式繼續將B1紙張對切，則可以依序得到B2、B3、B4等等紙張尺寸。 和A系列相比，B系列的紙張面積是同號A系列的√2倍，例如B4紙張面積是A4的√2倍。

問與答

選擇題 Q1： （ ） A1的紙是A3的幾倍？ (a)6 (b)4 (c)2 (d)1

是非題 Q3： （ ） A3 的紙比 B4 小 Q4： （ ） A0 的紙面積約一平方公尺 Q5： （ ） A4 和 B4 是相似形

ISO 216 常用紙張尺寸(mm) A系列 長 * 寬 B系列 A0 1189 * 841 B0 1414 * 1000 A1 長 * 寬 B系列 A0 1189 * 841 B0 1414 * 1000 A1 841 * 594 B1 1000 * 707 A2 594 * 420 B2 707 * 500 A3 420 * 297 B3 500 * 353 A4 297 * 210 B4 353 * 250 A5 210 * 148 B5 250 * 176

JIS 日本工業標準(mm) B系列 長 * 寬 B0 1456 * 1031 B1 1031 * 728 B2 728 * 515 B3 長 * 寬 B0 1456 * 1031 B1 1031 * 728 B2 728 * 515 B3 515 * 364 B4 364 * 257 B5 257 * 182