与圆锥曲线有关的最值问题

如果函数y=f(x)在点 的附近有定义，并且 的值比在 附近所有各 点的函数值都大（或都小），那么称 是函数f(x)的极大值（或极小值）。 函数y=f(x)在区间 内有定义，如果在 上的一点 处的函数值 不小于（或不大于）函数在 上其余各处的函数值，那么称 是函数 y=f(x)在区间 上的最大值（或最小值）。 函数y=f(x)在区间 上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值 中的最大者；最小值则是在 上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。 与圆锥曲线的关的最值问题，往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。 下面分类介绍解析几何中求最值的方法

一、平面几何法 例1、在抛物线 上求一点M，使点M致到点A（1，0）和点B（3，2） 两点距离之和最小，并求这最小值。 解：如图，作抛物线 的准线l:x=-1,再作 于N点。 x y M A B l o N 为抛物线的焦点， 显然，B、M、N三点共线且直线 时，|MN|+|MB| 最小，也即|MA|+|MB|最小。 此时M（1，2）

解：（1）设P（x,y) 由已知，|PO|：|PB|=2：1 例2、已知点O（0，0）、B（m，0）（m>0)，动点P到O、P的距离之比为 2：1，求（1）P点的轨迹方程；（2）P点在什么位置时，三角形POB 的面积最大，并求出最大面积。 解：（1）设P（x,y) 由已知，|PO|：|PB|=2：1 y x A B P P` P`` o 化简，得 即P点轨迹为以A 为圆心， 为半径的圆。 （2）如图，三角形POB的一边OB（定长）在x轴上，另一顶点P在以A点为圆心的圆上，由平面几何知识，知当P点是与x轴垂直的直径的两端时，三角形POB的面积最大。 过点A且与x轴垂直的直线方程为 它与圆A交于 故P点坐标为 时，三角形POB的面积最大，其值为

如上图所示： 如下图所示： 解：设椭圆左焦点为A`（-4，0）。显然A（4，0）为椭圆右焦点， 因而由椭圆定义得|MA|+|MA`|=10 例3、已知A（4，0）、B（2，2）是椭圆 内的两定点，M是椭圆 上一动点，求|MA|+|MB|的最值。 解：设椭圆左焦点为A`（-4，0）。显然A（4，0）为椭圆右焦点， 因而由椭圆定义得|MA|+|MA`|=10 |MA|+|MB| =|MA|+|MA`|+|MB|-|MA| x y o M A B A` 如上图所示： =10+|MB|-|MA`| |MA|+|MB| =|MA|+|MA`|+|MB|-|MA| 如下图所示： x y o A` A M B =10-（|MA`|-|MB|） 说明：在用平面几何法求最值问题时，主要利用平面几何的以下几个重要概念： （1）两点间线段最短；（2）点到直线的一切线段中，垂线段最短。 （3）同圆的一切弦中，直径最长。

二、一次函数法 例4、三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，圆O为内切圆，设P为 圆上一 点，求发PA、PB、PC为直径的三圆面积之和的最值。 解：如图，以圆心O为原点，以过O且平行于BC的直线为x轴， 建立直角坐标系，设P（x,y)。 x y o A B C E P D 易知A（-1，2）、B（-1，-1）、C（3，-1） 则所求面积之和为：

三、二次函数法 两焦点为 M点为椭圆上动点， 例5、已知椭圆 求f(M)的最值，并求此时M点的坐标。 解：设P(x,y) o M 由已知，a=5，b=4，c=3 三、二次函数法 例6、P为抛物线 上的动点，求P点到直线4x+3y+46=0的最短距离。 解：设P(x,y) 则P点到直线4x+3y+46=0的距离 y x o P

四、判别式法 因此，所求最高点为（6，9），最低点为（4，5） 例7、求曲线 的最高点、最低点的坐标. 解：曲线化为： 化简，得 解之，得 例8、A、B为抛物线 上两个动点，且|AB|=3，线段AB中点为M，求点M到y轴 的最短距离，并求此时M点的坐标。 y x o A B M 将（1）、（2）代入（3）得：

五、切线性质法 又AB中点M到y轴距离 代入（4），得 化简，得 所以，此时M点纵坐标为 因此，M点到y轴最短距离为 此时 M点坐标为 例9、已知P(x,y)为椭圆 上任一点，求u=2x+3y的最值。 求u的最值，就是求与椭圆 有公共点且 斜率为 的平行直线系在y轴上截距的最值。 解：由u=2x+3y,得

由切线性质可知,当直线 与椭圆相切时,u取最值. x y o 椭圆的切线方程为 例10、已知A（3，1）、B（-2，-2）是椭圆 上两定点，M、N是椭圆 上位于直线AB两旁的两动点，求四边形AMBN的最大面积。 分析：如图所示， x o y M N B A 都平行于直线AB时， 过M、N的 四边形AMBN有最大面积。

六、三角法 例11、已知动点P(x,y)在曲线 上运动，求x,y各取何值时， 代入原方程，得

解：设P点、R点坐标为 R点坐标亦即 例12、如图，已知点P是圆C： 上一点，它 关于定点A（5，0）的对称点为Q，当点P绕圆心C（5，5）依逆时 针旋转 时，所得点记作R，当点P在圆C上移动时，求|QR|的最值。 解：设P点、R点坐标为 C P R Q A x y o R点坐标亦即

七、平均值定理法 例13、如图，平面直角坐标系中，在y轴正半轴上给定两点A、B，试在x轴 正半轴上求一点C，使 取得最大值。 C A B o

说明:此题是1986年高考(理科)试题,解此题的关键是通过三角变换,构 造出关系式(1),再利用平均值定理求解. 例14、以双曲线xy=a(0<a<1)与抛物线 的三个交点为项点得一三 角形ABC，问当a为何值时，这个三角形的面积S最大？ 解之，得 直线BC：x-y=0，所以点A到直线BC的距离 当且仅当2a=1-a即 说明：此题利用了平均值定理 的变形

练习：一、选择题： 1、已知P是椭圆 上动点， 为一定点， 则 B 2、过定点M 作直线l与椭圆 交于A、B 两点，O为坐标原点，则三角形AOB面积的最大值是 A 3、已知三定点 动点P 在圆 上运动，点P到A、B、C距离平方和最大时， P点的坐标为 C

4、在抛物线 上有一点P，P到 左顶点 距离最小，这最小值为 A 5、过抛物线 的焦点F作动弦AB，M点为线段AB中点，则 M到直线x-y=0的最短距离为 D 6、已知抛物线 上有两定点A（3，-6），B（12，12）在 抛物线的弧AOB（O为原点）上有动点P，且三角形APB面积最 大，则P点坐标为 B 7、椭圆 的内接三角形面积的最大值为 C

8、椭圆 的内接距形面积的最大值为 A 9、直线l：x+y+5=0与抛物线 间的最短距离为 D 10、四边形ABCD内接于椭圆 且A（4，0),C（0，5） B在第一象限，D在第三象限，则四边形ABCD面积的最大值为 B 二、填空题 1、抛物线 所有过焦点的弦中，最短的焦点弦 所在直线的方程为 2、双曲线 上一动点P，A（m,0)为x轴上一定点，且

3、抛物线 在 x轴上被截得的弦长的最大值为 2 4、抛物线 上有一动点P，点P到直线y=4x-5 距离最短时， P点的坐标为 5、已知动点P(x,y) 在圆 上，则 的最大值为 6、直线l:x-y+9=0上任一点P，过P且以椭圆 焦点为焦点 作椭圆，其中长轴最短时椭圆方程为 7、已知A（0，5），B（4，3）是圆 外两点，在圆上 有一动点M，当|MA|+|MB| 最小时，M点的坐标为 （1，2） 8、已知A（-3，2），B（1，-6），M是圆 上一动点，则 的最大值为 282

9、当 时， 之间距离最小值为 1 三、解答题： 1、F为定点，l 为F外一定直线，点F到l的距离为p(p>0),点 M在 直线l上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足 2、在三角形ABC中， 所对的边分别为a,b,c，且c=10， P为三角形ABC内切圆上动点，求点P到A、 B、C到距离平方和的最值。 3、已知A（3，-4）、B（4，-2），C在圆 上，求 三角形面积最小时，C点坐标。

为何值时，上述曲线被直线x=14截得的弦最长或最短， 4、已知曲线C： 设Q是曲线 C上任一点， 试用a表示d。 6、点P在圆A： 上运动，点M在椭圆B： 上运动，求|PM|的最值。 8、已知曲线C： 当 为何值时，上述曲线被直线x=14截得的弦最长或最短， 并求出此时的弦长。