习题课 阶段方法技巧训练（一） 专训1 三角形判定的 六种应用
一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS， ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的 判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法， 即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给 出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行 的方法来解题．
1 类型 已知一边一角型 一次全等型 应用1 1．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求 证：AD平分∠BAC.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB， 即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. 在△ABD和△ACD中， AB＝AC， ∠1＝∠2， BD＝CD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴∠BAD＝∠CAD. 即AD平分∠BAC. 证明：
同类变式 2. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接 AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF ⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF. 求证：AD是△ABC的中线．
两次全等型 应用2 3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD. 过点A作AM⊥BC，AN⊥BD， 分别交BC的延长线，BD的延 长线于点M，N. ∴∠M＝∠N＝90°. ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ACM＝∠ADN. 证明：
在△ACM和△ADN中， ∠M＝∠N， ∠ACM＝∠ADN， AC＝AD， ∴△ACM≌△ADN(AAS)． ∴AM＝AN，CM＝DN. 在Rt△ABM和Rt△ABN中， AB＝AB， AM＝AN， ∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN. ∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
同类变式 4. 如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点， EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.
2 类型 已知两边型 一次全等型 应用3 5．【中考•河北】如图，点B，F，C，E在直线l 上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异 侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
证明： 解： (1) ∵BF＝EC， ∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF. ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. ∴AB∥DE，AC∥DF. 证明： 解：
两次全等型 应用4 6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一 点．求证：AE＝CE. 在△ABD和△CBD中， AB＝CB， AD＝CD， BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠ABE＝∠CBE. 证明：
在△ABE和△CBE中， AB＝CB， ∠ABE＝∠CBE， BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)． ∴AE＝CE.
同类变式 7.如图，已知AD＝AE，AB＝AC.求证：BF＝FC.
3 类型 已知两角型 一次全等型 应用5 8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交 于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明： 在△DOB与△EOC中， ∵∠BDC＝∠CEB＝90°， ∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C. 又AO平分∠BAC， ∴∠BAO＝∠CAO. 在△ABO与△ACO中， 证明：
∠BAO＝∠CAO， ∠B＝∠C， AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(AAS)． ∴OB＝OC.
两次全等型 应用6 9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点 E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分 别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF. 在△ABC和△DCB中， ∠BAC＝∠CDB， ∠ACB＝∠DBC， BC＝CB， 证明：
∴△ABC≌△DCB(AAS)． ∴AC＝DB. 又∵∠BAC＝∠CDB， ∴∠FAC＝∠FDB. 在△FAC和△FDB中， ∠F＝∠F， ∠FAC＝∠FDB， AC＝DB， ∴△FAC≌△FDB(AAS)． ∴BF＝CF.