第 7 章 旋轉運動與萬有引力定律
本章大綱 7.1 角速率與角加速度 7.2 等角加速度時的旋轉運動 7.3 轉動中的角度與線性的量之間的關係 7.4 向心加速度 7.5 牛頓的萬有引力 7.6 克卜勒定律 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.1 角速率與角加速度 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
弳(弧度)(rad) 徑度 (radian) 是量角度的一種單位。 徑度，可被定義為圓的弧長 s 除以半徑 r： Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
關於弧度進一步的說明 度與弳(弧度)的比較 由度轉換成弳(弧度) Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
角位置 (angular position) 右圖的轉動軸為垂直盤面通過圓盤中心的直線。 圓盤面上需要畫一固定的參考線。 在時間 t 內，參考線轉了θ角。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
剛體(rigid Body) 當物體轉動時，物體(系統)上的各點均繞著轉動中心O點作圓周運動。 物體上各點在相同時間內轉動的角度也都相同。 有這種特徵的物體稱為剛體。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
角位移 (angular displacement) 圓盤上的每一點，在任一時間間距內均有相同的角位移。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
平均角速率 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
瞬時角速率 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
瞬時角速率 (續) 若時間間隔很短，則平均角速率趨近於瞬時角速率，正如線性運動的情形。 當 θ 是增加時 (逆時針方向運動) ω為正值，而 θ 減少時 (順時針方向運動)，則 ω 為負值。 若角速率為定值，則瞬時角速率等於平均角速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.1 直昇機 一直昇機旋翼每分鐘轉了 3.20 × 102 轉，即 3.20 × 102 (每分鐘轉多少圈，revolution per minute，有時rpm又寫成rev/min)。(a) 將此角速率轉換成每秒多少徑度；(b) 若旋翼之半徑為 2.00 m，則在 3.20 × 102 s 內葉片末端所掃過的弧長為何？ 解 (a) 將角速率轉換成每秒多少徑度。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.1 直昇機(續) (b) 將角速率乘上時間以得到角位移。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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平均角加速度 如同角速度的情形，平均角加速度逆時針方向的角加速度為正，順時針方向的角加速度為負。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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瞬時角加速度 當剛體繞一固定軸旋轉時，物體的每一點有相同的角速率及相同的角加速度。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
角加速度 角加速度的正負號不必一定要和角速度相同。 瞬時角加速度是平均角加速度的分母(時間間隔)趨近於零時的極限值。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.2 等角加速度時的 旋轉運動 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
線運動與轉動間的對照關係 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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例題7.2 旋轉輪 一輪以等角加速度 3.50 rad/s2 旋轉。如果 t = 0 時，輪的角速率為 2.00 rad/s，(a) 從 t = 0 至 t = 2.00s ，輪轉了多少角度？以徑度及轉為單位作答；(b) t = 2.00s 時，輪的角速率為何？(c) 若 (b) 所求得的角速率加倍，則輪轉了幾轉？ 解 (a) 求在2.00 s後之角位移，以徑度和轉表示。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.2 旋轉輪(續) (b) 在 t = 0時，輪的角速率為何？ (c) 在此時間內，若 (b) 所求得的角速率加倍，則輪轉了幾轉？ 例題7.2 旋轉輪(續) (b) 在 t = 0時，輪的角速率為何？ (c) 在此時間內，若 (b) 所求得的角速率加倍，則輪轉了幾轉？ Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.3 轉動中的角度與線性 的量之間的關係 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
轉動與線運動各量間的關係 位移 速度 切線加速度 轉動物體上的任何一點都具有相同的轉動行為。 轉動物體上的任何一點不見得會具有相同的線運動。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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例題7.3 CD 一CD在 0.892 s 內，由靜止加速至角速率 31.4 rad/s。(a) CD的角加速度為何？假設角加速度為定值；(b) 達到最終角速率時，CD已行經多大的角度？(c) 如果CD半徑為 4.45 cm，求在 t = 0.892 s 時CD邊緣的小蟲之切線速率；(d) 在加速期間小蟲的切線加速度之大小為何？ 解 (a) 求角加速度。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.3 CD(續) (b) 此CD所行經的角為何？ (c) 求在 r = 4.45 cm 的小蟲之最後切線速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.4 CD的軌道長度 在CD讀取機中，當讀取頭由內向外移動時，角速率要減慢，使得讀取頭所在的位置線速率保持大約 1.3 m/s。(a) 求讀取頭在 r = 2.0 cm 及 r = 5.6 cm處，CD之角速率；(b) 老式唱片角速率固定，因此讀取頭 (唱針) 相對溝槽的線速率會不同。求在r = 2.0 cm 及 r = 5.6 cm 處，以 45.0 rpm 旋轉唱盤之線速率；(c) CD與唱片，資訊均以連續的螺旋線記錄資訊。求一播放 1.0 h 時間長度的CD，其軌道之長度為何？ Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.4 CD的軌道長度(續) 解 (a) 當讀取頭在 r = 2.0 cm 及 r = 5.6 cm，求角速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.4 CD的軌道長度(續) (b) 求 45.0 rpm 唱片在 r = 2.0 cm 及 r = 5.6 cm 處之線速率。 (c) 求可播放1.0 h 之CD軌道總長度。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.4 向心加速度 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
向心加速度 沿一圓形路徑移動。即使車為等速率移動，它仍有一加速度。 向心加速度來自於速度方向的改變。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
向心加速度 (續) 向心乃是從圓心來看的現象。 速度的方向不斷在改變。 加速度的方向指向圓周運動的中心點。 當以圓形路徑移動時，車的速度的方向持續改變，如圖7.6b所示。 向心加速度 (centripetal acceleration)，大小為： Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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向心加速度與角速度 角速度與線速度二者間大小的關係為 v = ωr 向心加速度 (ac) 也可以用角速度(ω)的大小來表示。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
總加速度 加速度的切線分量來自於速度大小的改變。 加速度的向心(徑向)分量來自於速度方向的改變。 總加速度可以利用畢氏定理，從上述二分量來計算。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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例題7.5 在賽車場 一賽車從 40.0 m/s 的速率於 5.00 s 內加速至 60.0 m/s，以逆時針方向繞行半徑 4.00 × 102 m 之圓形車道。當速率達 50.0 m/s 時，求 (a) 車的向心加速度；(b) 角速率；(c) 切線加速度；及 (d) 總加速度的大小。 解 (a) 求當 v = 50.0 m/s 時向心加速度的大小。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.5 在賽車場(續) (b) 求角速率。 (c) 求切線加速度。 (d) 求總加速度的大小。 Copyright © 滄海書局 例題7.5 在賽車場(續) (b) 求角速率。 (c) 求切線加速度。 (d) 求總加速度的大小。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
轉動方面各物理量的向量性質 在描述轉動時，角位移、角速度及角加速度亦為向量。 角速度向量的方向可以用右手定則 (right-hand rule) 求得 利用右手握住轉動軸 將四指順著物體轉動的方向彎曲 此時大拇指的方向即為角速度的方向 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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角加速度與角速度 圓盤繞圓心做順時針方向轉動，我們定義此時圓盤的角速度方向為進入紙面。 若角加速度與角速度的方向相同，角速度的大小會隨時間增加。 圓盤繞圓心做逆時針方向轉動，此時圓盤的角速度方向則由紙面出來。 若角加速度與角速度的方向相反，則角速率隨時間的增加而減少。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
造成向心加速度的力 根據牛頓第二定律，有向心加速度時，物體必受力作用。 Fc = mac 繩上的張力 萬有引力 摩擦力 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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一些能夠提供向心加速度的作用 各種不同狀況下提供向心加速度的作用力。 平坦彎道 傾斜彎道 水平面上的圓運動 鉛直面上的圓運動 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.6 扣上安全帶保平安 一車以 30.0 mi/h (13.4 m/s) 的速率在半徑 50.0 m 的圓形匝道上行駛，如圖7.13a所示。車輪與路之間至少要有多大的靜摩擦係數 μs，車才不會打滑？ Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.6 扣上安全帶保平安(續) 解 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.7 Daytona國際賽車道 佛羅里達州的Daytona海灘有一知名的國際賽車場地Daytona International Speedway，尤其是Daytona 500，於每年春天舉行。此處有傾斜達 31.0°、最大半徑 316 m 的彎道。如果車速太慢會滑下去，若車行太快會向上衝出去。(a) 若忽略摩擦力，求車不打滑之所需向心加速度；(b) 求賽車的速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.7 Daytona國際賽車道(續) Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.7 Daytona國際賽車道(續) 解 (a) 求向心加速度。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.7 Daytona國際賽車道(續) (b) 求賽車的速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.8 搭雲霄飛車 圖7.15a示出一雲霄飛車在半徑為 R 的軌道上運轉。(a) 在無任何輔助下，在最高點時，車速應為何車子才不會落下？(b) 當車子行至底部時速率為何？(c) 在底部時乘客所受的正向力為何？若 R = 10.0m。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.8 搭雲霄飛車(續) 解 (a) 求在軌道頂部的速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.8 搭雲霄飛車(續) (b) 求在軌道底部的速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.8 搭雲霄飛車(續) (c) 求在底部乘客的正向力。(此為視重) Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
假想力 離心力是一種假想力。 真實的力通常都代表著兩物間有相互作用。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.5 牛頓的萬有引力 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
牛頓的萬有引力定律 此力為平方反比定律 (inverse-square law) 的一個範例。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
萬有引力 (續) 由質點 1 作用於質點 2 上的力，和質點 2 作用於質點 1 上的力，二者大小相同，方向相反。 這兩個力形成牛頓第三定律的作用力─反作用力。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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萬有引力 (續) 一固定大小球形對稱且質量均勻分布之物體，對一位於其外之質點所施的力與將其質量集中在質心所施的力相同。 此稱為高斯定律 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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萬有引力常數的量測 引力常數是在1798年由卡文迪西 (Henry Cavendish) 量測而得 ，他所用的裝置包含了兩個質量為 的小球，固定於水平桿的兩端，以一細的金屬線懸掛。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
萬有引力的應用 萬有引力所引起的加速度(重力加速度)。 g 的值會隨距地面的高度而改變。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.9 撞球之間有無引力？ (a) 三個質量均為 0.300 kg 的撞球置於如圖7.19所示位置，形成一個直角三角形。求另外兩球對於母球 (白球) m1 所做之淨引力；(b) 求 m2 對 m3 所施之重力分量。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.9 撞球之間有無引力？(續) 解 (a) 求作用在母球的淨引力。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.9 撞球之間有無引力？(續) (b) 求 m2 對 m3 所施的力大小。首先求算 的大小： Copyright © 滄海書局 例題7.9 撞球之間有無引力？(續) (b) 求 m2 對 m3 所施的力大小。首先求算 的大小： Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.9 撞球之間有無引力？(續) Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.10 穀神星 (Ceres) 一太空人站在小行星群中最大的穀神星地表上，並從 10.0 m 的高度釋放一岩石，經 8.06 s 後著地。(a) 求穀神星的重力加速度；(b) 求穀神星的質量，已知半徑為；RC = 5.10×102 km (c) 求在穀神星地表上50.0 km 處的重力加速度。 解 (a) 求穀神星上的重力加速度 gC。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.10 穀神星 (Ceres)(續) (b) 求穀神星的質量。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.10 穀神星 (Ceres)(續) (c) 求在穀神星之上 50.0 km 處的g′C。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
重力位能的回顧 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.11 一接近地球的小行星 一小行星質量 m = 1.00 × 109 kg 從無窮遠的外太空朝地球掉落。(a) 當它距地心 4.00 × 108 m (比月球遠一些) 時，位能的變化為何？此外，重力所作的功為何？(b) 假設此行星在無窮遠時為靜止的，求在該點時行星的速率；(c) 若有其他星體對它作功，使其在距地球 4.00 × 108 m 時，其速率只有 (b) 所得之一半值，此作用的功為何？ Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.11 一接近地球的小行星(續) 解 (a) 求位能的變化及由重力所作之功。 Copyright © 滄海書局 例題7.11 一接近地球的小行星(續) 解 (a) 求位能的變化及由重力所作之功。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.11 一接近地球的小行星(續) (b) 求它抵達 rf = 4.00 × 108 m 時之速率。 例題7.11 一接近地球的小行星(續) (b) 求它抵達 rf = 4.00 × 108 m 時之速率。 (c) 求使速率降為 7.05 × 102 m/s (即所求得值之一半) 時外力所需作的功。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
重力位能 重力位能 PE = mgy 的表示法，僅限地表附近。 對於在地表上方相當高處的物體，其重力位能有另外一種表示法 此時的零位能(參考位置)，訂在地球無窮遠處。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
脫離速率 脫離速率是物體自地球(星球)表面離開進入太空，不再受地球的影響所需要的最小速率。 對地球而言，脫離速率為11.2 km/s 請注意！脫離速率和脫離物體的質量無關。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
不同星球上的脫離速率 對太陽系中各行星上的脫離速率都不同。 脫離速率是一項決定行星上大氣的因素。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.12 從地球到月球 在Jules Verne的經典小說 From the Earth to the Moon (飛向月球) 中，在佛羅里達州有一太空船自一巨型大炮朝月球發射。(a) 如果太空船以脫離速率發射，當它距地心 1.50 × 105 km 時，其速率為何？忽略任何摩擦效應與月球的重力；(b) 若大炮長1公里，則太空船的定加速度為何？ Copyright © 滄海書局
例題7.12 從地球到月球(續) 解 (a) 求在 r = 1.50 × 105 km 處的速率。 Copyright © 滄海書局 例題7.12 從地球到月球(續) 解 (a) 求在 r = 1.50 × 105 km 處的速率。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
例題7.12 從地球到月球(續) (b) 求在炮管中的加速度。假設其為常數。 Copyright © 滄海書局 例題7.12 從地球到月球(續) (b) 求在炮管中的加速度。假設其為常數。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
7.6 克卜勒定律 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
克卜勒定律( Kepler’s Laws) Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
克卜勒定律 (續) 此一定律是根據丹麥天文學家泰戈‧布拉赫 (Tycho Brahe, 1546-1601) 牛頓示明此三定律為存在於兩物體之間萬有引力之結果。 牛頓的萬有引力定律以及他的運動定律提供描述行星與衛星運動之所有數學解答。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
克卜勒第一定律 所有的行星都是在橢圓形軌道上運行，太陽位於橢圓其中一個焦點上。 任何物體在平方反比的束縛力作用下，都會繞相互吸引的另一物體，繞橢圓軌道運動。 橢圓的另一焦點上是空無一物的。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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克卜勒第二定律 由太陽到行星的連線，在相同時間內所掃過去面積相等。 圖中行星在相同時間內自 A 到 B ，與自 C 到 D 兩塊暗影區的面積相等。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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克卜勒第三定律 行星繞太陽公轉的週期平方與該行星至太陽連線的平均距離三次方成正比。 對繞太陽公轉的行星而言，比例常數 K = KS = 2.97×10-19 s2/m3 。 K 與行星的質量無關。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
通訊衛星 (同步衛星) 與地球同步的衛星 它一直停留在地面某一定點的正上方空中。 衛星繞地球的週期為24小時。 軌道半徑 r 等於地球半徑 RE 加上地面上高度 h；即 r = h + RE 。 仍然和衛星的質量無關。 Copyright © 滄海書局 第7章 旋轉運動與萬有引力定律
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例題7.13 地球同步軌道與通訊衛星 對通信用的衛星而言，其與地球的相對位置維持固定，因此衛星的公轉週期與地球自轉週期相同，即 24.0 h。(a) 同步衛星的軌道距地心多遠？(b) 衛星的軌道速率為何？ 解 (a) 求地心至同步衛星的距離。 Copyright © 滄海書局
例題7.13 地球同步軌道與通訊衛星(續) (b) 求軌道速率： Copyright © 滄海書局
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