第九章 数控系统插补 （ CNC系统） 9.1 控制刀具运动轨迹的插补原理 9.2 刀具补偿（Tools compensation）
9．1 控制刀具运动轨迹的插补原理 1． 概念 插补和插值英文单词相同Interpolation 插补：对于给定的数学模型，并已知起点和终点坐标，确 定其中间点的位置的过程。 插补也简称为在起终点间进行数据密化的过程。 插补算法：实现完成插补过程的计算步骤。 插补算法种类： 逐点比较插补法 a) 硬件插补（通过插补器） 数字积分（DDA）插补法 比较积分插补法 上一页 章目录 下一页
标准插补法(略） b）软件插补 基于时间分割插补法 硬件插补的结果 ：表现为脉冲数目的输出； 软件插补的结果 ：表现为多坐标方向及角度方向的增量， 如△X，△Y， △Z， △Qa， △Qb， △Qc。 插补功能 直线插补 圆弧插补 其他二次曲线（抛物线、摆线、渐开线）插补 上一页 章目录 下一页
1． 逐点比较插补法。 1）思路： 每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方（或给定轨迹的里面或外面），从而决定下一步的进给方向，使之逼近加工轨迹。 2) 约定： a.位置坐标取脉冲当量数； b.将直线起点和圆弧的圆心假定为坐标系的原点（相对坐标系）； c.可通过坐标平移变换达到插补坐标与实际位移统一； d.每次采取单步进给（插补结果每次以一个脉冲输出， 或X，或Y，或Z）. 上一页 章目录 下一页
若tgаi> tgаo 则Yi/Xi> Ye/Xe 看图请单击 3） 插补步骤（四个节拍） a. 偏差判别 b. 坐标进给 c. 新偏差计算 d. 终点判别 4） 直线插补 直线插补的偏差函数 F=Yi Xe - Xi Ye tgаi =Yi/Xi tgаo =Ye/Xe 若tgаi> tgаo 则Yi/Xi> Ye/Xe Y Me ( Xe,Ye ) Mi ( Xi,Yi ) 看图请单击 Mi ( Xi,Yi ) ai a0 X 上一页 章目录 下一页
Fi+1 , j = Yi Xe - Xi +1Ye= YiXe – (Xi+1) Ye = Yi Xe - Xi Ye-Ye 因此，若 Yi Xe - Xi Ye > 0 则Mi在直线上方 同理 ： Yi Xe - Xi Ye < 0 则Mi在直线的下方 ≥0 下一步沿+X方向进给 Fi+1 , j 所以 Fi ,j <0 下一步沿+Y方向进给 Fi , j+1 Fi+1 , j = Yi Xe - Xi +1Ye= YiXe – (Xi+1) Ye = Yi Xe - Xi Ye-Ye =Fi ,j -Ye……..(1) 同理 ：Fi , j+1= Fi ,j+Xe……………………..(2) 终点判别 总脉冲数 n=| Xe | + | Ye | 上一页 章目录 下一页
开始（入口） 初始化F=0， n=Xe+Ye， Xe， Ye +X进给 +Y进给 F=F-Ye F=F+Xe n=n-1 直到n=0 Ⅰ象限 开始（入口） 初始化F=0， n=Xe+Ye， Xe， Ye F≥0 ？ YES NO +X进给 +Y进给 F=F-Ye F=F+Xe n=n-1 直到n=0 结束（出口） 上一页 章目录 下一页
初始化 F=0， Xe，Ye， n=| Xe |+| Ye | 开 始 初始化 F=0， Xe，Ye， n=| Xe |+| Ye | F≥0 ？ YES NO Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ +X -X +Y -Y F=F-| Ye | F=F+| Xe | n=n-1 直到n=0 结束 上一页 章目录 下一页
例：插补一条直线，起点（1. 5,2. 5）,终点（2,3. 1）假设步进脉冲当量 0 例：插补一条直线，起点（1.5,2.5）,终点（2,3.1）假设步进脉冲当量 0.1mm/pulse，试用逐点比较法来计算中间的插补过程。 F=10mm/min N01 G00 X1.5 Y2.5 LF N02 G01 X2 Y3.1 F10 LF 解：（1）进行坐标平移变换，且化为脉冲当量数 Me Xe=（2-1.5）/0.1=5(pulse) Ye= (3.1-2.5) /0.1=6(pulse) n=|Xe|+|Ye|=5+6=11(pulse) M0(0,0) Me(5,6) 上一页 章目录 下一页
(2) 进行插补计算 n=11 1) F=0， +X， F=0-6= -6， 10 2) F〈0，+Y， F= -6+5= -1， 9 3) F〈0，+Y， F= -1+5=+4 ， 8 4) F〉0，+X， F=+4-6=-2， 7 5) F〈0，+Y， F= -2+5=+3， 6 6) F〉0，+X， F=+3-6=-3， 5 7) F〈0，+Y， F= -3+5=+2 ， 4 8) F〉0，+X， F=+2-6=-4， 3 9) F〈0，+Y， F= -4+5=+1， 2 10) F〉0，+X， F=+1-6=-5 ， 1 11) F〈0，+Y， F= -5+5=0 ， 0 看图 上一页 章目录 下一页
Y(pulse) Me（5，6） 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 X(pulse) 返 回 章目录
5 ) 圆弧插补： I. 顺、逆圆弧判断： 沿着垂直于加工平面的第三轴负方向观察圆弧， 若走刀为顺时针方向，则为顺圆，用CLW表示； 反之为逆圆，用CCLW表示。 II. 圆弧插补代码 G02 顺时针方向圆弧插补指令 G03 逆时针方向圆弧插补指令 上一页 章目录 下一页
在水平导轨车床车削，圆弧顺、逆与习惯相反 在倾斜导轨车床车削，圆弧顺、逆与习惯相同 Y Z -Y X 顺圆 上一页 章目录 下一页
Xi2+Yi2=X02+Y02=R2 (圆方程) 若 Xi2+Yi2- R2=0 则Mi点在圆上， Xi2+Yi2- R2＞0 则Mi点在圆外， Xi2+Yi2- R2＜0 则Mi点在圆内， 偏差计算公式为： F= Xi2+Yi2- R2 Y M0（X0，Y0） Mi（Xi，Yi） R Me（Xe，Ye） X 上一页 章目录 下一页
= Xi2+(Yj-1)2-R2 = Xi2+ Yj2-2Yj+1-R2 = Fi , j-2Yj+1 ≥0 Mi点在圆外（或圆上），-Y进给一步 若F ＜0 Mi点在圆内， +X进给一步 公式推导 F≥0 -Y进给 Fi , j+1=Xi2+Yj+12-R2 = Xi2+(Yj-1)2-R2 = Xi2+ Yj2-2Yj+1-R2 = Fi , j-2Yj+1 上一页 章目录 下一页
Fi+1 , j = X2i+1+ Yj2 -R2 =（Xi+1）2+Yj2-R2 = Xi2+ 2Xi+1+ Yj2-R2 F<0 +X进给 Fi+1 , j = X2i+1+ Yj2 -R2 =（Xi+1）2+Yj2-R2 = Xi2+ 2Xi+1+ Yj2-R2 = Fi , j+2Xi+1 新的偏差函数为 F-2Y+1 （-Y进给） F= F+2X+1 （+X进给） 上一页 章目录 下一页
Y Ⅰ象限逆圆 CCLW F=Xi2+Yj2-R2 ≥0 -X F= <0 +Y R X 上一页 章目录 下一页
公式推导 Fi+1 , j =（Xi-1）2+Yj2-R2 =Fi,j- 2Xi+1 同理 Fi , j+1 = Fi , j+2Yj+1 F-2X+1 (F≥0,- X进给 ) F= （F<0,+Y进给） F+2Y+1 上一页 章目录 下一页
Ⅰ象限顺圆 CLW 开始 -Y 进给 +X进给 F=F-2Y+1 F=F+2X+1 Y=Y-1 X=X+1 n = n-1 直到n=0 初始化X0,Y0, Xe,Ye, n=|Xe- X0|+|Ye-Y0|, F=0,X=X0,Y=Y0 F≥0 ？ YES NO -Y 进给 +X进给 F=F-2Y+1 F=F+2X+1 Y=Y-1 X=X+1 n = n-1 直到n=0 结束（出口） 上一页 章目录 下一页
初始化X0,Y0, Xe,Ye,n=|Xe- X0|+|Ye-Y0|,F=0,X=X0,Y=Y0 Ⅰ-Ⅳ象限顺圆 CLW 开 始 初始化X0,Y0, Xe,Ye,n=|Xe- X0|+|Ye-Y0|,F=0,X=X0,Y=Y0 F≥0 ？ YES NO Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ -Y +X +Y -X F=F-2Ye+1, Y=Y-1 F=F+2X+1, X=X+1 n=n-1 直到n=0 结束 上一页 章目录 下一页
初始化X0,Y0, Xe,Ye,n=|Xe- X0|+|Ye-Y0|,F=0,X=X0,Y=Y0 CCLW 开 始 初始化X0,Y0, Xe,Ye,n=|Xe- X0|+|Ye-Y0|,F=0,X=X0,Y=Y0 F≥0 ？ YES NO Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ -X -Y +X +Y F=F-2X+1, X=X-1 F=F+2Y+1, Y=Y+1 n=n-1 直到n=0 结束 上一页 章目录 下一页
Fi+1,j=Yj2-2P(Xi+1) = Yj2-2PXi-2P = Fi,j-2P b） 抛物线逐点比较法的建立（第Ⅰ象限） Y2=2PX （Y>0） ≥0，+X F= Y2-2PX <0，+Y Fi+1,j=Yj2-2P(Xi+1) = Yj2-2PXi-2P = Fi,j-2P Fi,j+1=(Yj+1)2 -2PXi = Yj2-2PXi+2 Yj +1 = Fi,j+2Yj+1 +Y Y +X O X 上一页 章目录 下一页
数字积分插补法（DDA法） （Digital Differential Analyzer） 基本思想：用数字累加来代替积分 ∫ ∑ 基本思想：用数字累加来代替积分 ∫ ∑ 矩形公式、梯形公式 设有一函数Y=f（X） 如图 需求出曲线下的面积。 F(x) Y 单击 O X 上一页 章目录 下一页
Y a X M(Xe , Ye) DDA直线插补法： 若如右图，第一象限的一条直线 Y=KX K=tgα= 对t求导，得 上一页 章目录 下一页
ΔY=KyeΔt 增量形式 ΔX=KXeΔt 全量形式 X= Δt 上一页 章目录 下一页
看图单击 累加器 KXe ΔX 累加器 KYe Δt （数字积分器） ΔY 把Δt设为一个触发脉冲 则 ΔX=KXe ΔY=Kye 用两个累加器，根据Δt触发脉冲的情况分别求出ΔX，ΔY ΔX 累加器 KXe 看图单击 Δt 发生溢出时就有信号输出（ΔX或ΔY） （数字积分器） ΔY 累加器 KYe 上一页 章目录 下一页
ΔX、Δy溢出的有关说明： 1)溢出快慢与选取的累加器的容量2n的大小有关； 2) 溢出快慢与被积函数Kxe，Kye的大小也有关； 3) ΔX、ΔY不再按单步进给，可能有同时进给的现象发 生； 4) 累加次数m1=m2=2n（容量） （m1为xe的累加次数；m2为ye的累加次数） 上一页 章目录 下一页
设累加m次应到达终点。 所以 Km1= Km2=1 m1= m2 ΔX≤1 KXe=K(2n-1) ≤1 ΔY≤1 KYe=K(2n-1) ≤1 所以 K≤1/2n-1 取 K=1/2n 上一页 章目录 下一页
ΔX=KXeΔt=Xe 1) ΔY=KyeΔt=Ye 累加器 Xe 累加器 ΔX Ye Δt ΔY 总结（3条） 2） 上一页 章目录 1) ΔY=KyeΔt=Ye 累加器 Xe ΔX Δt 2） 累加器 Ye ΔY 上一页 章目录 下一页
K=1/2n 3） Q=2n（累加器的容量）（2n-1） m=Q= 2n 例：用DDA法插补（0，0） （7，4）的一条直线 解：（1）将坐标二进制化 7=（111）2B 4=（100）2B 由此至少选n≥3的数字积分器。 取n=3 m=23=8 上一页 章目录 下一页
看图 8次 累加器 （X0） X积分器 （Xe） ΔX （Y0） Y积分器 （Ye） ΔY 000 111 100 7 6 1110 1 000 111 100 7 6 1110 1 1000 5 1101 4 1100 3 1011 2 1010 1001 注意：最后一步必须同时溢出 看图 上一页 章目录 下一页
Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 X 返 回 章目录
看图请单击 Y 顺圆 B(Xe,Ye) Vy Vx Vy Pi(Xi,Yi) Vx Vy 逆圆 Vx A(X0,Y0) X 2 ) DDA圆弧插补法 圆方程（以逆圆为例） X2+Y2=R2 X2+Y2-R2=0 对t求导 逆圆 Y 顺圆 B(Xe,Ye) Vy Vx Vy Pi(Xi,Yi) Vx 看图请单击 Vy 逆圆 Vx A(X0,Y0) X 上一页 章目录 下一页
顺圆时 增量形式 VY=-KX ΔY=-KXΔt=-X VX=KY ΔX=KYΔt=+Y （4—15） 逆圆 上一页 章目录 下一页
逆圆时 VY=KX ΔY=X VX=-KY ΔX=-Y 按（4-15）式，圆弧插补与直线插补相似，也可以用两套数字积分器来实现 。 上一页 章目录 下一页
对第Ⅰ象限CLW（顺圆）DDA法： 累加器 Y ΔX 看图单击 -1 X方向 Δt Y方向 ΔY 累加器 -X +1 上一页 章目录 下一页
a） 加、减1修正 （m1≠m2≠2n） X= Y= b） 终点判据 若X=Xe，则停止X方向的累加； Y=Ye， 则停止Y方向的累加。 最后一次进给可能不一定同步。 误差分析：法向方向误差不会超过一个脉冲当量。 数字积分法圆弧插补计算过程，对于不同象限圆弧的不同走向都是相同的，只是溢出脉冲的进给方向为正或为负，以及被积函数Xi ， Yi是进行“加1修正”或“减1修正”有所不同而已。具体情况见P86表4-3 上一页 章目录 下一页
圆弧插补积分器与直线插补器的差别： a） X坐标值（Xi）累加的溢出脉冲作为Y轴的进给脉 冲；而Y轴坐标值（Yi）累加的溢出脉冲作为X轴的进给脉 冲； b）X.Y坐标的函数值寄存器的内容是变化的（作加、减1修正）； X= ， Y= c） 两坐标不一定同时到达终点 。 当X=| Xe-X0|，Y=| Ye-Y0|时，停止插补。 上一页 章目录 下一页
讨论 ： 逐点比较法和DDA法对插补速度v的影响 1、逐点比较法对插补速度v的影响 fg=fx+fy+fz 在2维坐标系中 VX=60 fxδX （δX 为X方向脉冲当量） VY=60 fYδY （δy为Y方向脉冲当量） 设：δX =δY=δ，fg=fx+fy 上一页 章目录 下一页
合成速度V插 当fx=1/2 fg时 V插=30×21/2δfg=Vmin 当fx=0或fx=fg V插=60δfg=Vmax 上一页 章目录 下一页
V插=（1~1.414）V虚拟 V=（0.707~1）V虚拟 由上可知： 当加工与轴线成450的直线时，V插最小 若工艺进给速度为V0=60δfg V=（0.707~1）V虚拟 上一页 章目录 下一页
一般情况下速度变化不会太大，能满足要求 V/Vg 1 0.707 0 26.560 450 63.440 900 X 上一页 章目录 下一页
4 基于时间分割的插补法： 适用于二坐标两联动直线和圆弧插补运算，三坐标三联动直线插补。 设进给速度为F或（V0）， 插补周期T插。 4 基于时间分割的插补法： 适用于二坐标两联动直线和圆弧插补运算，三坐标三联动直线插补。 设进给速度为F或（V0）， 插补周期T插。 基本思想：用若干微小直线段L=FT插（um）来逼近加工轮廓曲线。 V插≈V0 （V0为进给速度） 近似逼近的精度（误差）为拱高误差（即径向误差 ） T为插补周期；F为刀具速度指令；R为圆弧半径。 上一页 章目录 下一页
计算对象Δxi ，ΔYi : Y 分为两步: a） 准备阶段 eK A 为了节省时间，将在插补 过程中仅需要计算一次的 常量先计算出来 B b) 再 计算Δxi ，ΔYi具体循 环插补 尺 寸。 eK A B R X 上一页 章目录 下一页
Y X Δxi=L·Cosθ （1）直线插补： 已知进给速度F和插补周期T a) 准备阶段： 计算斜率K Me(Xe , Ye) X Δxi=L·Cosθ b） 增量位移 ΔYi=Δxi·K 上一页 章目录 下一页
xi= xi-1+Δxi Yi= Yi-1+ΔYi （2）圆弧插补 坐标位移 Mi-1(Xi-1,yi-1) Yi-1 δ a Yi Yi= Yi-1+ΔYi Y Mi-1(Xi-1,yi-1) Yi-1 （2）圆弧插补 ① 准备阶段： a δ a Yi θ Mi(Xi,yi) Xi-1 Xi X 上一页 章目录 下一页
② 计算 上一页 章目录 下一页
5. 三坐标联动直线插补 三坐标联动的进给速度为合成进给速度f，是指刀具相对于工件的合成进给速度。由于合成量在三个坐标轴之间的分量不同，但插补时各坐标均应同时以各自对应的速度移动，以保证三坐标同时达到预定的值。 插补时先计算出最长轴分量进给值。 假如最长轴为ΔX，其余两轴的分量分别是ΔY、 ΔZ 。 即： 如图 上一页 章目录 下一页
Z PYZ PZX PXYZ ß Y a PXY X 返 回 章目录
9.2 刀具补偿（Tools compensation） 刀具半径补偿：要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动计算出刀具中心轨迹. 沿着刀子前进方向看，若刀具处在工件左侧，为左偏（G41）。 沿着刀子前进方向看，若刀具处在工件右侧，为右偏（G42）。 上一页 章目录 下一页
刀具半径补偿的方法和步骤： 若CNC系统具有半径补偿功能，则编程时可采用轮廓编程。 1） 方法： ① B机功能（basic补偿最基本的插补） 编程时不考虑加工的前一段和后一段程序对本段 程序刀偏的影响，只对本段轮廓作法向偏移R距离，各程 序段之间的过渡部分，用人工插入相切圆弧来完成。 上一页 章目录 下一页
② C机能插补法 编程时还应考虑到前后程序的影响，每次提取前后两程序段，中间插入相应的直线段。 插补类型： a）伸长型 刀具中心行程＞零件轮廓长度 b) 缩短型 刀具中心行程＜零件轮廓长度 c) 插入型 转接形式： L-L 线.线型 L-C 线.圆弧型 C-L 圆弧.线型 C-C 圆弧. 圆弧型 图4-14.d 图4-14.c 图4-14.a 图4-14.b 上一页 章目录 下一页
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例：刀补建立过程 解：刀具Ф6 S600 M03 N01 G92 G90 X0 Y0 N02 G00 X15 N03 G01 G41 X15 Y10 F50 N04 Y30 N05 X40 Y25 N06 G03 X45 Y10 R50 F30 N07 G01 X5 N08 G40 G00 X0 Y0（刀补结束） N09 M02（程序结束） 如图 上一页 章目录 下一页
Y 30 4 25 5 3 R50 10 6 2 1 40 45 X 15 回程序
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