函數的遞增、遞減與極值 9

目錄 綱要 函數的極值 均值定理 單調函數及相對極值判別法 極值的應用問題 動動腦想一想 總複習 練習題

綱要 本講將介紹函數極值 (extreme values of function)之求法，包括絕對極值 (absolute maximum & absolute minimum) 與相對極值 (relative maximum & relative minimum)及其 應用與均值定理 (the mean value theorem)。

函數的極值 (Extrema) 找出『最佳』方法去完成某工作有關的問 題，稱為最適化問題(Optimization)，最適化 問題即為求函數的最大值或最小值並判斷此 值發生於何處

函數的極值 定義1： 設函數 f 定義在區間 I 中，且 (1)若對 I 中的所有χ恆有 ，則稱 f 在 C 處有絕對極大值或簡稱為最大值 (absolute maximum) (2)若對 I 中的所有χ恆有 ，則稱 f 在 C 處有絕對極小值或簡稱為最小值 (absolute minimum)

函數的極值 定義2： 設函數 f 定義在區間 J 中，且 (1)若存在包含C 之開區間I，使得 對I 中的所有χ皆成立，則稱 f 在C 處有 相對極大值或簡稱為極大值 (relative maximum) (2)若存在包含C 之開區間I，使得 相對極小值或簡稱為極小值 (relative minimum)

函數的極值 以下為絕對極值與相對極值發生之處 f 在[c1,c7]中 在c6處有絕對值大值；在c2處有絕對極小值

函數的極值 相對 = More than One 在c3,c6處有相對極大值；在c2,c4處有相對值小值

函數的極值 在c3,c6處有相對極大值；在c2,c4處有相對值小值 相對 = More than One 相對 = Local

函數的極值 在c6處有絕對值大值；在c2處有絕對極小值 絕對 = Only One

函數的極值 在c6處有絕對值大值；在c2處有絕對極小值 絕對 = Only One 絕對 = Global

函數的極值 定理1：極值存在定理 若函數 f 在閉區間[a.b]連續，則 f 在[a,b]上有絕對極大值亦有絕對極小值 證明：略 註：此定理中之連續條件不可少且區間必須是閉區間 才一定會有絕對極值，否則未必有絕對極值

函數的極值 以下為函數 f 在 連續之情形

函數的極值 以下為 f 在[a,b]連續之情形

函數的極值 定理2： 若函數 f 在 C 處有相對極值，則 或 不存在。其逆不真 證明： 若函數 f 在C處有相對極值，則 可能存在亦可能不 或 不存在。其逆不真 證明： 若函數 f 在C處有相對極值，則 可能存在亦可能不 存在，如f’ (c) 不存在，則毋須再證 若 存在且 (1) 則 (2) 則

函數的極值 表 f 之函數值在C 處附近隨χ 值增加而增加，則 非相對極值同理，若 亦可証得 f 之函數值在C處附近隨χ值減少而減少， 亦非相對極值。 綜合上述討論，f 在C 處有相對極值 則 不存在或

函數的極值 定義3 設 若 或 不存在，則稱C為 f 之臨界點 (critical point) 註：由定理2，若函數有相對極值，則相對極值必發生於臨界點，反之，在臨界點處未必有相對極值

函數的極值

函數的極值 在定理1中 f 在[a,b]連續，則有絕對極值，事實上 f 在[a,b]之絕對極值必發生於端點或臨界點 (1)先求 f 之臨界點C (2)再求 (3)比較(2)中函數值最大者，即為絕對極大值；函數值最小 者，即為絕對極小值。

註： C須在[a,b]內才考慮 f 在[a,b]內之臨界點C可能不止一個，亦可能不存在 在定理1中，f 須在閉區間[a,b]連續，絕對極值才必然 存在，然而當 f 在開區間(a,b)或半開區間[a,b) 、(a,b] 、 (-∞,b] 、[a, ∞)連續，則欲找 f 之絕對極值往往須由 f 之函數圖形中判斷其是否有絕對極值。若 f 在區間I (含開區間、半開區間或閉區間)連續，且在此區間I 中只有一個臨界點C而 則 為絕對極大值； 則 為絕對極小值

例1：求 在 之絕對極值 解： f 之臨界點 -1 , 2 均在 內 又 故 f 在 之絕對極大值為：7 絕對極小值為：-20

例2：求 分別在(1) (2) (3) 之絕對極值 解： f 之臨界點為

∴ (1) f 在 之絕對極大值為： 絕對極小值為：0 (2) f 在 之絕對極大值為： (3) f 在 之絕對極大值為： 絕對極小值為：

例3：求 在(1,2)之絕對極值 解： 在區間(1,2)恆正 表 f 在(1,2)為遞增的，但因 例3：求 在(1,2)之絕對極值 解： 在區間(1,2)恆正 表 f 在(1,2)為遞增的，但因 故 f 在(1,2)無相對極大值亦無相對極小值

均值定理 均值定理為微積分裡最重要的結果之一，首先討論均值定理的特例，即為洛爾定理 定理3：洛爾定理 若函數 f 在[a,b]連續，在(a,b)可微分，且 ，則在(a,b)中至少存在一數C使得

均值定理 證明： 因 f 在[a,b]連續，由定理1(極值存在定理) ，f 在[a,b]有絕對極大值M與絕對極小值m (1)若M=m，則f在[a,b]為常數函數 設 (k為常數) 故 (2)若m<M，因 ，故m,M兩數中至少有一與 不等，故在(a,b)中至少存在一數C，使得 f(c) 為極值，又 f 在(a,b)可微，根據定理6.2得

證明：令 則 ∴ f 只有一臨界點 且 若 在(-2.-1)中至少有二實根 令此二根為χ1, χ2，則 例4：試證方程式 在區間(-2,-1)中至多有一實根 證明：令 則 ∴ f 只有一臨界點 且 若 在(-2.-1)中至少有二實根 令此二根為χ1, χ2，則 由洛爾定理，在χ1, χ2間存在一數C 使得 與 f 只有一臨界點矛盾 故 在(-2,-1)中至多有一實根

均值定理 定理4：均值定理 若函數 f 在[a,b]連續，且在(a,b)可微分，則在(a,b)中至少存在一數C，使得

均值定理 證明：令 則 g 在[a,b]連續 且 又 根據洛爾定理 在(a,b)中至少有一數C，使得 故 即

例5： 設 ，試求所有 C 值， 使滿足均值定理的結論 解： 令 故c1,c2均滿足

例6：設 ，試證，均值定理之結論不成 立，並說明其原因 證明： 設存在一數 滿足 但

與結論不合，乃因 f 在 可微分之條件不符 ( 不存在)