三角形的外心 三角形的內心 三角形的重心 自我評量

如圖3-3，P 點在直線 L 上， (1)如果 L 是 的中垂線，則 。 (2)如果 ，則 L是 的 中垂線。 圖 3-3 如果想作一個圓同時通過△ABC 的三個頂點，這個圓一定作得出來嗎？如果作得 出來，它的圓心會在哪裡？

如圖3-4，△ABC中，L1為 的中垂線，L2為 的中垂線，L1與L2交於 O 點，連接 、 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 圖 3-4

∵L1 是 的中垂線，∴ 。 又 L2 是 的中垂線，∴ 。 故 ，即 O 點到三頂點等距離。 因此若以 O 點為圓心， 為半徑畫圓，則此 圓必通過△ABC 的三個頂點。 如圖 3-4，若 L3為 的中垂線，則 L3也會通過 O 點嗎？ 會

下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線，請利用這些中垂線，各作出一個圓，使這個圓通過三角形的三個頂點。

下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線，請利用這些中垂線，各作出一個圓，使這個圓通過三角形的三個頂點。

由上面的說明與隨堂練習可知： 任意三角形三邊的中垂線交於同一點（設為O點），且此點到三頂點的距離相等（設為R）。若以O點為圓心，R為半徑，作一圓通過此三角形的三頂點，此圓稱為該三角形的外接圓，圓心稱為該三角形的外心。

外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說明如下： 　　如圖3-5，△ABE為銳角 三角形，△ABD 為直角三角 形，△ABC 為鈍角三角形， 且△ABE、△ABD 與△ABC 皆為圓 O 的圓內接三角形， 所以 圖 3-5

(1)銳角三角形ABE的外心（圓心 O）會在三角形內部。 (2)直角三角形ABD的外心（圓心 O）剛好在三角形的斜邊中點。 (3)鈍角三角形ABC的外心（圓心 O）會在三角形外部。 圖 3-5

如下圖，有A、B、C三村，想蓋一座公園到三村的距離相等，請用尺規作圖找出公園的位置。 搭配習作 P44 基礎題 4 如下圖，有A、B、C三村，想蓋一座公園到三村的距離相等，請用尺規作圖找出公園的位置。

直角三角形 ABC 中，∠A＝90°， ＝6， ＝8，試求△ABC外接圓的半徑長。 搭配習作 P43 基礎題 1 1直角三角形外接圓半徑 直角三角形 ABC 中，∠A＝90°， ＝6， ＝8，試求△ABC外接圓的半徑長。 ∵△ABC 為直角三角形， ∴斜邊 ＝ ， 且 中點即為外心， 故外接圓半徑＝ ＝10 ÷ 2＝5。 解

直角三角形ABC中，∠A＝90°， ＝9， ＝12，試求△ABC 外接圓的半徑長。 斜邊 ＝ ∴外接圓半徑＝13÷2＝

2 30°－60°－90°三角形三邊長比 如右圖，△ABC 中，已知∠ACB＝ 90°，∠B＝60°，∠A＝30°， ＝a，試求 、 。

如右圖，作斜邊中點O，∵∠ACB＝90°， ∴O 為外心， ＝ ＝ ， 又∠OCB＝∠B＝60°，則∠BOC＝60°， 故△OBC 為正三角形， ＝ ＝ ＝a， ＝ ＋ ＝2a ＝ 解

如圖3-6，△ABC 中， ＝c， ＝a， ＝b， ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， 則△ABC 三邊長的比為 a：b：c＝1： ：2 。 圖3-6

如右圖，△ABC 中，∠A＝30°， ∠C＝60°，若 ＝6，試求 。 ∠B＝180°－30°－60°＝90° ： ： ＝ ：1：2 6： ＝ ：1 ＝

圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，而一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半，可利用此關係求解相關問題。 搭配習作 P43 基礎題 2 3 外接圓的應用 如右圖，△ABC 中，∠A＝67°，O為△ABC的外心，試求∠BOC。

解 如右圖，畫出△ABC的外接圓。 ∵∠A＝ ∠BOC （圓周角＝ 圓心角） ∴∠BOC＝2∠A＝2 × 67°＝134°

1.如右圖，△ABC中，O為外心，若∠BAC＝46°，∠ABC＝79°，試求∠AOB。 ∠ACB＝180°－46°－79° ＝55° ∴∠AOB＝AB ＝2∠ACB＝110°

2.如右圖，△ABC為鈍角三角形，外心O在三角形外部，若∠ABC＝28°，∠BAC＝106°，試∠AOB。 ∠ACB＝180°－28°－106° ＝46° ∴∠AOB＝AB ＝2∠ACB＝92°

如果想在三角形內部作一個圓，使得這個圓和三角形的三邊相切，這個圓一定作得出來嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？ 如圖 3-7，△ABC 中，作 ∠CAB的角平分線 L1、∠ABC 的角平分線 L2，I 為 L1、L2 的 交點，並作 、 、 ，分別交 、 、 於 D、E、F。 圖 3-7

∵ L1是∠CAB的角平分線， ∴ ， ∵ L2是∠ABC的角平分線， 故 ， 即 I 到△ABC三邊等距離。 圖 3-8 因此，若以 I 為圓心， 為半徑畫圓，則此圓和三角形的三邊相切，如圖 3-8。

若 L3為∠ACB 的角平分線，則 L3是否也會通過 I 點？由上面可知， ，且 、 ∴ I 點必在∠ACB 的角平分線 L3上。 由此可知，三角形三內角的角平分線交於一點，且此點為三角形內切圓的圓心，所以將此點稱為三角形的內心。

(1)三角形三內角的角平分線交於一點，此點稱為三角形的內心。 (2)三角形的內心到三邊等距離。 (3)若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離為半徑畫圓，可得到三角形的內切圓。

如圖，△ABC為鈍角三角形，請利用尺規作圖，

三角形的內心，一定都在三角形內部嗎？為什麼？ 搭配習作 P43 基礎題 3 三角形的內心，一定都在三角形內部嗎？為什麼？ ∵內心為三內角的角平分線交點 ∴一定在三角形內部

如右圖，I 為△ABC的內心，且∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，試求∠BIC。 搭配習作 P44 基礎題 5 4 角度的計算 如右圖，I 為△ABC的內心，且∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，試求∠BIC。

∵I 為△ABC的內心， ∴ 為∠ABC的角平分線， 則∠1＝ ∠ABC＝35°。 同理，∠2＝ ∠ACB＝20°。 ∠BIC＝180°－∠1－∠2 ＝180°－35°－20°＝125° 解

如右圖，△DEF 中，I 為內心，∠EFD＝40°，∠E＝80°，試求∠DIF。 ∠EDF＝180°－40°－80°＝60° ∴∠DIF＝180°－∠IDF－∠IFD ＝180°－ ∠EDF－ ∠EFD ＝180°－30°－20° ＝130°

將三角形的內心與三個頂點連接，可以將原三角形分成三個小三角形，因為內心到三邊的距離相等，我們可以利用此性質來討論這三個小三角形的面積比。 如圖 3-9，△ABC中， I 為△ABC的內心， ， ， ， 其中D、E、F 為垂足， ∴ 圖 3-9

△AIB：△BIC：△CIA ＝( × × )：( × × )：( × × ) ＝ ： ： 圖 3-9

5 三角形內心與面積 如右圖，△ABC 中，I 為內切圓的圓心，△ABI 的面積為24，△ACI 的面積為 15，△BCI 的面積為 21，試求 ： ： 。 解 ： ： ＝△ABI：△ACI：△BCI ＝24：15：21 ＝8：5：7

若△ABC 為等腰直角三角形，且∠C＝90°，I 為內心，試求△AIB：△BIC：△CIA。 ∴ ： ： ＝1：1： 又 I 為內心，∴△AIB：△BIC：△CIA ＝ ： ： ＝ ：1：1

如果已知道三角形的面積與各邊的邊長，我們也可利用三角形內心到三邊等距離的性質，算出三角形內切圓的半徑。 搭配習作 P45 基礎題 6 6 內切圓半徑 如右圖，I為△ABC的內心， △ABC的面積為84， 若 ＝15， ＝13， ＝14， 試求△ABC的內切圓半徑。

設內切圓半徑為 r，連接 、 、 ， ∵ I 為內心， ∴ I 到三邊的距離均為 r， △ABC＝△IAB＋△IBC＋△IAC 84＝ ． ．r＋ ． ．r＋ ． ．r 84＝ ．14．r＋ ．13．r＋ ．15．r 84＝21r r＝4 故△ABC的內切圓半徑為4。 解

如右圖，I為△ABC內心， ， ， ，若△ABC 面積為 ，且 ＝5， ＝6， ＝7，試求 。

連接 、 、 ∵ I 為內心，∴ 令 ＝ ＝ ＝r， △ABC＝△AIB＋△BIC＋△CIA ∴ r＝ 故 ＝

如圖3-10，△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，內切圓半徑為 r， I 為內切圓的圓心，連接 、 、 ，則△IAB、△IBC、△IAC的底 邊分別為c、a、b，且高都是r。 圖 3-10

△ABC＝△IAB＋△IBC＋△ICA ＝ ＋ ＋ ＝ （a＋b＋c） 三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。 　 接下來，我們來探討直角三角形的兩股、斜邊與內切圓半徑的關係。

如圖3-11，直角三角形ABC中，∠C＝90°，作出內切圓 O，且切三邊於D、E、F 三點，令 r 為其半徑，分別連接 、 。 圖 3-11

由於 、 為切線長，所以 ＝ ， 同理 ＝ ， ＝ 。 因為 E、F 為切點，∠C＝90°， ＝ ＝r， 因此四邊形OECF為正方形。 故 ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋2r ＝ ＋2r 由上面的說明可知： 直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的2倍。

7直角三角形的內切圓 △ABC中，∠A＝90°， ＝5， ＝12，試求△ABC的內切圓半徑。 解一 ＝ △ABC 的周長＝5＋12＋13＝30 △ABC＝ ． ． ＝ ．5．12＝30 設內切圓半徑為r △ABC＝ ．r．△ABC 的周長 30＝ ．r．30 r＝2 故內切圓半徑＝2

斜邊 ＝ 設內切圓半徑為r ＋ ＝ ＋2r 5＋12＝13＋2r r＝2 故內切圓半徑＝2 解二

直角三角形ABC 中，∠B＝90°， ＝8， ＝6，試求△ABC 的內切圓半徑。 斜邊 ＝ 設內切圓半徑為r ＋ ＝ ＋2r 8＋6＝10＋2r r＝2

將三角形的頂點和其對邊中點連線，此線段稱為三角形的中線，其長度稱為中線長。 如圖3-12，△ABC有三條中線， 為 上的中線， 為 上的中線， 為 上的中 線。 圖3-12

將一個質地均勻的三角板，依次輪流懸掛其中的一個頂點，然後將懸掛線延長，可觀察到這條線通過懸掛頂點的對邊中點，如圖3-13，兩條虛線會交於一點，那麼第三條虛線會交於同一點嗎？

接下來，我們將證明第三條中線會通過前面二條中線的交點，而此交點稱為三角形的重心。 如圖 3-14，△ABC 中， D、E、F 分別為 、 、 中點，且 和 兩中線 交於 G 點。連接 。 圖 3-14

∵ E、F 分別為 、 中點， ∴ // ，且 ＝ 。 在△GBC 與△GEF 中， ∠1＝∠3，∠2＝∠4，（ // ） 則△GBC∼△GEF（AA 相似）， 故 ： ＝ ： ＝2：1。 圖 3-14

　 如圖 3-15，設 與 兩 中線交於 G' 點， 同理 ： ＝2：1， 故 G 與 G' 是同一點， 即 通過 G 點。 圖 3-15

由上面的說明可知： 1.如圖3-16，△ABC的三中線 、 、 交於重心 G。 圖 3-16 2.如圖 3-17，若 G為△ ABC的 重心，則 ＝ ， ＝ 。 圖 3-17

8 求中線長 如右圖，△ABC 中，三中線 、 、 交於 G點， ＝12， ＝18， ＝15， 試求 、 、 。 搭配習作 P45 基礎題 7 8 求中線長 如右圖，△ABC 中，三中線 、 、 交於 G點， ＝12， ＝18， ＝15， 試求 、 、 。

解 ∵G 為三中線 、 、 的交點， ∴G 為△ABC重心 故 ＝ ＝ ．12＝8 ＝ ＝ ．18＝12 ＝ ＝ ．15＝10

如右圖，△PQR中，M、N分別為 、 中點， 、 交於G 點，若 ＋ ＝5，試求 ＋ ∴ ＝3 ， ＝3 ∴ ＋ ＝3 ＋3 ＝3（ ＋ ） ＝15

9 重心均分面積 搭配習作 P46 基礎題 8 如右圖，△ABC 的三中線 、 、 交於一點G，試證△ABG、 △BCG、△CAG面積相等。

證明 (1) △ABC中，D為 中點， ∴△ ABD＝△ ACD。 同理，△GBD＝△GCD。 (2)△ ABG＝△ABD－△GBD ＝△ACD－△GCD＝△CAG 同理，△BCG＝△CAG。 ∴△ABG＝△BCG＝△CAG。

如右圖，△ABC的三中線 、 、 交於一點G，試證△AFG＝ △ABC的面積。 ∴△AFG＝ △ABG ＝ ． △ABC ＝ △ABC

由例題 9 與隨堂練習可知： 如圖 3-18，△ABC中， 、 、 為三中線，G 為重心，則： (1) △AGB＝△BGC ＝△CGA＝ △ABC (2) △AGF＝△BGF＝△BGD ＝△CGD＝△CGE ＝△AGE＝ △ABC 圖 3-18

如右圖，△ABC中，∠ABC＝90°，兩中線 、 交於G 點， ＝6， ＝8， 試求：(1) 、 。 (2)△ABG 的面積。 搭配習作 P46 基礎題 9 10 重心計算 如右圖，△ABC中，∠ABC＝90°，兩中線 、 交於G 點， ＝6， ＝8， 試求：(1) 、 。 (2)△ABG 的面積。 (3)四邊形CDGE 的面積。

(1)∵△ABC為直角三角形，∴ ＝ ∵ E為斜邊 中點，∴E 為△ABC 外心。 則 ＝ ＝ ＝10÷2＝5， 且 ＝ ＝4， ＝ 又兩中線 、 交於G 點， ∴G為△ABC的重心， ＝ ＝ ． ＝ ＝ ＝ ．5＝ 解

(2)△ABG ＝ △ABC＝ ．（ ．6．8）＝8 (3)如圖，連接 ， 則四邊形CDGE 面積 ＝△CDG＋△CEG ＝ △ABC＋ △ABC ＝ ．（ ．6．8） ＝8 解

如右圖，△ABC 中， ＝8， ＝15，∠BAC＝ 90°，若G為重心，試求 及△AEG 的面積。

＝ ∵D為外心，∴ ＝ ＝ G為重心，∴ ＝ ＝ △AEG＝ △ABC＝ ×（ × 8 × 15）＝10

11重心的應用 如右圖，平行四邊形ABCD中， O為對角線 、 的交點，E 為 中點，H為 中點，試 證 ＝ ＝ 。

(1)∵平行四邊形對角線互相平分， ∴ ＝ ， ＝ 。 (2)△ABC中，O 為 中點，H 為 中點， ∴G 為重心，故 ＝ ， ＝ 。 證明 同理， ＝ ， ＝ 。 (3)∵ ＝ ， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 故 ＝ ＝

如右圖，長方形ABCD 中， ＝9， ＝12，若G1 、G2分別為△ABC、△ACD 的重心，試求 。

＝ ∵G1、G2分別為△ABC、△ACD 的重心 ∴ ＝ ＝ 故 ＝ ＝5

在前一節中，我們學過「等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平分頂角」，即等腰三角形底邊的中線和中垂線與其頂角平分線相同，故正三角形的三中線即是三邊的中垂線，也是三內角平分線。

如圖 3-19，△ABC 為正三 角形， 、 、 為三中線 ，則 、 、 分別為 、 、 的中垂線，也分別是∠A、∠B、∠C 的角平分線 。由上面的說明可得： 圖 3-19 正三角形的外心、內心與重心是同一點。

垂心 三角形的三高交於一點，該點稱為三角形的垂心，通常以 H 來表示△ABC 的垂心。如圖 3-20，銳角三角形的垂心位於三角形內部，鈍角三角形的垂心位於三角形外部，直角三角形的垂心即為直角頂點。

圖3-20

在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。 ──羅素（Bertrand Russell，1872-1970）

1.外心： 任何三角形三邊的中垂線交於同一點（外心），且此點到三頂點的距離相等。 2.三角形外心的位置： (1)銳角三角形的外心會在三角形內部。 (2)鈍角三角形的外心會在三角形外部。 (3)直角三角形的外心剛好在斜邊中點上。

3.直角三角形的三邊比： △ABC 中， ＝c， ＝a， ＝b，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，則△ABC 三邊長的比為a：b：c＝1： ：2。

4.內心： (1)三角形三內角的角平分線交於一點，此點就是三角形的內心。 (2)三角形的內心到三邊等距離。 (3)若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離為半徑畫圓，可得到三角形的內切圓。

5.內切圓的半徑： (1)三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。 (2)直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的 2 倍。

6.重心： (1)三角形的三中線交於一點 ，此交點稱為三角形的重 心。 (2)如圖 3-21，G 為△ABC 的重心，則 ＝ ， ＝ 。 圖 3-21

(3)如圖 3-22，△ABC中， 、 、 為三中 線，G為重心，則： △AGB＝△BGC ＝△CGA＝ △ABC △AGF＝△BGF＝△BGD ＝△CGD＝△CGE ＝△AGE＝ △ABC 圖 3-22

1.若直角三角形的兩股長分別為2、6，試求其外心到三個頂點的距離和。 3-2 自我評量 1.若直角三角形的兩股長分別為2、6，試求其外心到三個頂點的距離和。 斜邊長＝ ∴外心到三頂點的距離和 ＝3 ×（ × ）＝

2.△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝40°，若O為△ABC 的外心，試求∠BOC。 ∴∠BOC＝BC＝2∠A＝120° ⁀

3.△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝90°，若O為外 心，且 ＋ ＋ ＝18，試求△ABC的面積。 △ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝30° ∴ ： ： ＝1： ：2 ： ：6＝12： ：2 ∴ ＝6， ＝ △ABC＝ × × ＝

4 .△ABC 的面積為 24，其內切圓半徑為 3，試求△ABC 的周長。

5.如右圖，△ABC 中，三中線 、 、 交於 G 點，若△ABC 的面積為 48 平方公分，試求四邊形 AEGF 的面積。 ＝△AGE＋△AFG ＝ △ABC＋ △ABC ＝16（平方公分）

6.設 G 為正三角形 ABC 的重心，若 ＝12，試求 。 如右圖， G 為重心， 為中線 ∵△ABC 為正三角形 ∴ 亦為高 故 ＝ ＝ ＝ ＝

尤拉線 在平面幾何中，尤拉線（圖3-23中的紅線）是指通過三角形的垂心（H）、外心（O）、重心（G）的一條直線。瑞士數學家暨物理學家尤拉（Leonhard Euler，1707-1783）證明了在任意三角形中，以上三點共線。尤拉線上的三點中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

圖 3-23

旁心 三角形的任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線交於一點，這種點對於一個三角形而言共有三個，它們即為三角形的旁心，旁心恆在三角形的外部，通常以 Ia、Ib、Ic 表示旁心。如圖 3-24，△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，其中 Ia 表示與 相切的旁切圓圓心，Ib表示與 相切的旁切圓圓心，Ic表示與 相切的旁切圓圓心。

圖 3-24