Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis Chapter 9 第九章 單一母體之假設檢定 Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis Chapter 9

學習目標 1. 區別各種的假設 假設與檢定的過程 3. Ｐ值p-value的觀念與應用 單母體假設與檢定問題的解決 5. 假設的檢定力與應用 1. 區別各種的假設 假設與檢定的過程 3. Ｐ值p-value的觀念與應用 單母體假設與檢定問題的解決 5. 假設的檢定力與應用 As a result of this class, you will be able to ...

推論統計的應用 5

假設檢定的觀念 Hypothesis Testing Concepts 9

假設檢定Hypothesis Testing

假設檢定Hypothesis Testing Population       

假設檢定Hypothesis Testing Population       

假設檢定Hypothesis Testing Population       隨機抽樣 Random sample  Mean X = 20  

假設檢定Hypothesis Testing 拒絕Reject hypothesis! 差了太多 Population       隨機抽樣 Random sample  Mean X = 20  

何謂假設Hypothesis? 1.對於母體母數的信念論述A belief about a population parameter 母體的母數可能為population mean, proportion, variance 必須在事前先確定Must be stated before analysis

何謂假設Hypothesis? 1.對於母體母數的信念論述A belief about a population parameter 母體的母數可能為population mean, proportion, variance 必須在事前先確定Must be stated before analysis 我認為本班同學的平均 GPA 為 3.5! ?1984-1994 T/Maker Co.

虛無假設Null Hypothesis 1. 對於母體母數的通常性，一般性的論述 2. 若被拒絕則就得到對立假設的顯著性 1. 對於母體母數的通常性，一般性的論述 2. 若被拒絕則就得到對立假設的顯著性 3. 總是包含了等號: , , or  4. 通常簡寫為H0 5. 例如 H0:   某特定值 也可寫為不等式（或） 例H0:   3

對立假設 Alternative Hypothesis 1. 對立於虛無假設 2. 總是為不等式(不包含=)即: ,, or  3. 通常寫作Ha （亦被記為H1) 4. 例如Ha:  < 某特定值 例, Ha:  < 3

得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps 1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達

得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps 1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 某廠商由供應商進了一批零件需求的規格是：平均長度為2吋，為了決定此批零件該被收下或退回，品管部門須抽樣做檢定 Ha:   2 H0:  = 2

得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps 1.將問題以統計方式敘述 2需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次? Ha:  ＜ 20 H0:  ≧ 20

得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps 1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 某研究室設計了一種新的汽化器，預計能增加汽油利用的效率。假設過去平均每加崙的汽油可行使24哩，在大量製造推廣這種新的汽化器之前，我們必須搜尋充分證據證明此種新的設計的確比舊的有效 Ha:   24 H0:  ≦ 24

檢定依對立假設的形式可分成三類 以母體平均數μ之檢定為例 H0:  ≦ 0，Ha:  ＞ 0 右尾檢定（right-tailed test） H0:  ≧ 0，Ha:  ＜ 0 左尾檢定（ left-tailed test ） H0:  ＝ 0，Ha:  ≠ 0 雙尾檢定（ two-tailed test ） 0為一事先決定之常數 其中1. 2.又稱為單尾檢定

估計時可靠度（relibility）之評估 信賴水準（Confidence Level ） 誤差範圍（Error Bound）

決策風險機率 Decision Making Risks 檢定時可靠度之評估 決策風險機率 Decision Making Risks

決策錯誤機率 Errors in Making Decision 1. 型Ｉ錯誤Type I error 拒絕了正確的虛無假設reject a true null hypothesis 型Ｉ錯誤機率以(alpha)表示 也就是檢定的顯著水準Called level of significance 2. 型II錯誤Type II error 接受了錯誤的虛無假設Do not reject false null hypothesis 型II錯誤機率以(beta)表示

檢定力(power of the test) 正確的接受了對立假設的機率 =P(reject Ho I Ha is true) =1 - b

每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次? 範例 每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次? H0:  ≧ 20 Ha:  ＜ 20 型Ｉ錯誤 真實的情形：大學生平均每年逛書店的次數大於等於20次 檢定的決策：大學生平均每年逛書店的次數少於20次 型 II 錯誤 真實的情形：大學生平均每年逛書店的次數少於20次 檢定的決策：大學生平均每年逛書店的次數大於等於20次

決策後之結果 Decision Results H0: 被告是無辜的Innocent

 與 有相互間的反效應

 與 有相互間的反效應  

 與 有相互間的反效應  

 與 有相互間的反效應  

 與 有相互間的反效應 你無法同時減低型Ｉ與型II誤差  

決策後之結果 Decision Results H0: 被告是無辜的Innocent

顯著水準 Level of Significance 2. 一般以(alpha)表達；為既定顯著水準 3. 在進行檢定之前就先確定 常見的值為 .01, .05, .10

單母體假設檢定

單母體假設檢定 One Population

單母體假設檢定 One Population Mean

單母體假設檢定 One Population Mean Proportion

單母體假設檢定 σknown One Population Mean Proportion Large Sample Z Test (1 & 2 tail)

單母體假設檢定 σunknown σknown One Population Mean Proportion Small Large Sample Sample Z Test t Test (1 & 2 (1 & 2 tail) tail)

單母體假設檢定 σunknown σknown One Population Mean Proportion Small Large Sample Sample Z Test t Test (1 & 2 (1 & 2 tail) tail)

基本知識

基本知識 What is Z given  = .025?  = .025 

基本知識 當 = .025 時 Z 為?  .500 - .025 .475  = .025  α

基本知識 當 = .025 時 Z 為? 標準常態分配表 (部份)   .500 - .025 .475 .06  = .025  0.025 1.9 .4750

基本知識 當 = .025 時 Z 為? 標準常態分配表 (部份)   .500 - .025 .475 .06  = .025  = 0.025  1.9 .4750

假設檢定問題解決的步驟 Hypothesis Testing Steps 9

解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定  決定樣本數 n 決定合適的檢定統計

解決檢定問題的步驟流程 確定拒絕域rejection region及臨界值 critical values 根據問題決定 H0 計算出檢定統計值 根據檢定統計值做出決策 將決策以口語或文字表達 出來 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定  決定樣本數 n 決定合適的檢定統計

σ已知時平均數的單尾Ζ檢定 One-Tailed Z Test of Mean (σ known) 9

左尾檢定的範例 你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解Escorts型汽車的耗油量是否顯著的低於所訂定的32 mpg（公里每公升）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為3.8 mpg。今隨機抽取了 60 輛Escorts汽車得到了樣本平均耗油輛為 30.7 mpg。 試以顯著水準a=0.01 決定耗油量是否低於所訂定的32 mpg? Alone Group Class

解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定  決定樣本數 n 決定合適的檢定統 計 H0：μ≧32 α ＝ 0.01 n ＝ 60

步驟五：決定檢定統計量 （Test Statistic） 若有一統計量其數值可判定虛無假設應被接受或拒絕，則此統計量稱為檢定統計量 一般檢定μ時，x 為一恰當的檢定統計量

解決檢定問題的步驟流程 確定拒絕域rejection region及臨界值 critical values 根據問題決定 H0 計算出檢定統計值 根據檢定統計值做出決策 將決策以口語或文字表達 出來 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定  決定樣本數 n 決定合適的檢定統計

步驟六：確定拒絕域（rejection region）及臨界值（critical value） 拒絕域： X ＜ C C 即為臨界值 臨界值須由檢定統計量的抽樣分配及顯著水準決定

當母體的機率分配為常態或是大樣本（n≧30） 基本知識：X 的抽樣分配 當母體的機率分配為常態或是大樣本（n≧30） X 的抽樣分配為（或近似） 常態分配 N（μ，σ/√n）

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Rejection region does NOT include critical value.

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Rejection region does NOT include critical value. Ho Sample Statistic Value

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Ho Sample Statistic Value

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Nonrejection Region 接受區 Ho Sample Statistic Value

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Nonrejection Region 臨界值 Critical Value Ho Sample Statistic Value

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value.  Nonrejection Region Ho Critical Value Sample Statistic Value

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Level of Confidence Rejection region does NOT include critical value. 1 -  接受虛無假設 若樣本統計落在接受區Observed sample statistic

單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test) Sampling Distribution Level of Confidence Rejection region does NOT include critical value. 1 -  不接受虛無假設 若樣本統計落在拒絕區Observed sample statistic

臨界值的決定

臨界值的決定

步驟八：根據檢定統計值作出決策 X ＝ 30.7 ＜ 30.86 落在拒絕域 決策：拒絕虛無假設（ H0：μ≧32 ）

Escorts型汽車的耗油量顯著的低於所訂定的32 mpg（公里 / 公升）。 步驟九：將決策以文字表達 在0.01的顯著水準下， 有充分的證據證明 Escorts型汽車的耗油量顯著的低於所訂定的32 mpg（公里 / 公升）。

動腦想一想 μ>32 時之型 ∣錯誤機率為何? 2. 需要將型 ∣錯誤機率降的更低嗎?

動腦想一想 μ>32 時之型 ∣錯誤機率為何? Ans: μ>32 時之型 ∣錯誤機率必定較 μ＝32 時之型 ∣錯誤機率為小 2. 需要將型 ∣錯誤機率降的更低嗎? Ans: 不用，否則型 ∥錯誤機率會增加

Standardized Test Statistic： 標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Standardized Test Statistic： Z = （X -μ）/ （σ/ √n）

標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Test Statistis： Z = （X -μ）/ （σ/ √n） Z的抽樣分配為標準常態 N（0 ,1）

標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Test Statistis： Z = （X -μ）/ （σ/ √n） Z的抽樣分配為標準常態 N（0 ,1） 左尾檢定之拒絕域：Z＜- Zα

左尾檢定的範例 你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解Escorts型汽車的耗油量是否顯著的低於所訂定的32 mpg（公里每公升）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為3.8 mpg。今隨機抽取了 60 輛Escorts汽車得到了樣本平均耗油輛為 30.7 mpg。 試以顯著水準a=0.01 決定耗油量是否低於所訂定的32 mpg? Alone Group Class

標準化檢定統計量解答 H0: Ha:  = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

單尾Z檢定解答 H0:  = 32 Ha:  < 32  = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

單尾Z檢定解答 H0:  = 32 Ha:  < 32  = .01 n = 60 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

單尾Z檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = 0.10 n = 48 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: -1.28

單尾Z檢定解答 H0:  = 32 Ha:  < 32  = .01 n = 60 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

單尾Z檢定解答 H0:  = 32 Ha:  < 32  = .01 n = 60 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .01下拒絕虛無假設

σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 25 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在  = .05情形下拒絕Ho 有充分證據證明重量超過368公克

σ已知時平均數的單尾檢定例題 假設由台北飛金門的班機，必須平均至少有60%的載客率才會有利可圖，今隨機調查48架次由台北飛金門的班機的載客率，顯示平均載客率為58%，若已知載客率的標準差為11%，試在0.10的顯著水準下檢定此資料是否足以證明該此班機無利可圖？

σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = 0.10 n = 48 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

單尾Z檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = 0.10 n = 48 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: -1.28

單尾Z檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = .10 n = 48 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: 0.58-0.60 1.26 0.11 48 -1.28

單尾Z檢定解答 H0:  ≧ 0.60 Ha:  < 0.60  = .10 n = 48 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: 在 =0 .10下無法拒絕虛無假設 0.58-0.60 1.26 0.11 48 -1.28

單尾Z檢定解答 Conclusion： 在0.1的顯著水準下，樣本並沒有顯示充分 的證據來證明此班機無利可圖。

單尾Z檢定解答 檢定結果無法拒絕虛無假設Ho時： 錯誤結論： 有足夠的證據支持虛無假設 正確結論：沒有足夠的證據來支持對立假 設或沒有足夠的證據來拒絕虛無假設

單尾Z檢定解答 檢定結果無法拒絕虛無假設Ho時： 錯誤結論： 有足夠的證據支持虛無假設 正確結論：沒有足夠的證據來支持對立假 設或沒有足夠的證據來拒絕虛無假設 理由： 檢定時並沒有控制型II錯誤機率

影響的因素 母體母數的真實值 型Ｉ誤差, 的選擇 3. 母體的標準差,  4. 樣本數, n 當兩假設母數差異減少時， b增加 減小時b增加； 增加時b減小 3. 母體的標準差,   增加時b增加 4. 樣本數, n 當n減少時b增加

右尾檢定範例 368 gm. 盒裝的麥片重量是否顯著的多過標籤上所載為368 公克呢? 隨機抽選了36 盒的麥片得到了： 樣本平均數為X = 372.5公克。 根據盒上記載裝填所產生的標準差為15公克。請以顯著水準a= 0.05檢定之。 368 gm.

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: Ha:  = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 36 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 36 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 25 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 25 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在  = .05情形下拒絕Ho

σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0:  = 368 Ha:  > 368  = .05 n = 25 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在  = .05情形下拒絕Ho 有充分證據證明重量超過368公克

σ已知時平均數的單尾Ζ檢定 H0:≧μ0 Ha: <μ0 H0: ≦μ0 Ha:  > μ0 若檢定統計量Ζ值小於－ Zα時拒絕H0 若檢定統計量Ζ值大於Zα時拒絕H0

檢定 動動腦想一想 在“某一新型汽車美加侖汽油平均行駛的里程數是否顯著的低於25哩 ”的檢定中，若已知該型汽車行駛里程數的標準差為3哩 / 加崙，隨機測試了30輛車並建立決策法則如下：若樣本平均數少於24，則拒絕虛無假設。試問 a.此檢定的顯著水準為何？ b.若真實的情形：每加侖汽油平均行駛的里程數只有24.5哩，則此時的型II錯誤機率為何？

單尾Z檢定 動動腦想一想 解答 Ho：μ≧25 Ha：μ＜25 P(型I錯誤機率) 顯著水準：可容忍的最大型I錯誤機率 = P(拒絕Ho∣Ho正確) = P(X < 24∣μ = 25) = P(Z < -1.83) = 0.0336

單尾Z檢定 動動腦想一想 解答 b. Ho：μ≧25 Ha：μ＜25 P(型II錯誤機率) = P(接受Ho∣Ha正確) = P(X ≧ 24∣μ = 24.5) = P(Z ≧- 0.91) = 0.6814 b.