Chapter 3 Carrier Transport Phenomena 載子傳輸現象------ 電場及濃度梯度影響下之帶電載子的運動

傳輸過程包括： 載子飄移(carrier drift) 載子擴散(carrier diffusion) 產生與復合過程generation and recombination process) 熱離子發射過程(thermionic emission process) 穿隧過程(tunneling process) 衝擊游離(impact ionization) 最主要

3.1 載子飄移（drift） 電場ε=0: 平衡狀態下，自由電子(假設在n型半導體中）的移動受熱能的影響 移動快速，但各方向都有，平均速度為零。 平均熱速率 (室溫下約107cm/s)

電場作用下之電子運動 c 為平均自由時間（mean free time），約為10-12s，為平均自由徑（約10-5cm)除以vth。 ε≠0時，電子整體朝電場反方向運動，此電場所貢獻的速度分量就稱為飄移速度。 飄移速率為何？ 平均動量變化 和電場成正比 c 為平均自由時間（mean free time），約為10-12s，為平均自由徑（約10-5cm)除以vth。

電場作用下之電子運動(續） 定義 為電子的遷移率n(mobility) 同理，對電洞而言： 為電洞的遷移率p 可得電子飄移速度 可得電洞飄移速度 為電洞的遷移率p

Mobility的討論：與c有關 c 受電子碰撞影響，其機制有二： 晶格散射：溫度越高，晶格熱震動越劇烈，L越小。 溫度越高，電子速度越快，越不受離子場的影響。

合併二種散射機制： 考慮在dt時間內，發生散射的機率為dt/c: 與遷移率定義比較可得： 散射機制越多，遷移率會越小。

對輕摻雜（1014cm-3）半導體而言，晶格散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越小。 對重摻雜半導體而言，在低溫時雜質散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越大。在高溫區，則為晶格散射效應較顯著，所以溫度越高，遷移率越小。

室溫下的遷移率與摻雜濃度關係圖 摻雜濃度越高，遷移率越低。 n > p 因為電子有較小的有效質量

3.1.2 Resistivity 電場對能帶圖的影響 考慮一均勻半導體，加一固定偏壓，能帶圖會改變。 電子所受的力為： （負的電子位能梯度） 即電場正比於能帶圖的梯度（斜率） 比較可得 （電位） 又已知：

由能帶圖的斜率可知電場 若電場為定值，可得一傾斜之能帶圖（斜率固定）。 電子的電位圖為將Ec或 EFi或Ev圖對y軸對稱（即上下相反） 由此能帶圖可看出，電子碰撞損失動能給晶格，然後掉到能量較低的位置。如右圖，如此之能量變化會使電子朝右移動，這些移動之電子所產生的電流就稱為飄移電流（drift current）。電洞亦然，移動方向與電子相反。 對電洞而言，右邊的能量較大，左邊較小

斜率表示電場 反過來畫

飄移電流 電子所產生的飄移電流 同理，電洞所產生的飄移電流 半導體中的總電流： 令 可得： 導電率(conductivity) 電荷密度 體積 電子所產生的飄移電流 同理，電洞所產生的飄移電流 半導體中的總電流： 令 導電率(conductivity) 可得：

半導體的電阻率 考慮非本質半導體： N型：n >> p P型：p >> n 與摻雜濃度和遷移率有關

電阻率與摻雜濃度關係 摻雜濃度越高，電阻率越小 N型的電阻率小於P型的電阻率（因為電子的遷移率大於電洞的）

導電率與溫度之關係 在高溫區，ni大增，影響顯著，所以溫度越高，導電率越大。 在中溫區，幾乎完全解離，電子濃度為定值，所以導電率受遷移率的影響，所以溫度越大，遷移率越小，導電率越小。 在高溫區，ni大增，影響顯著，所以溫度越高，導電率越大。 在低溫區，冷凝現象發生，溫度越低，雜質解離率越低，ni越低，故導電率也越低。 Si

半導體試片電阻率的量測 此法不適合半導體晶圓及薄膜 使用四點探針法 CF為修正因子，由d/s決定（例如d/s > 20時，CF=4.54）

3.1.3霍爾效應（Hall Effect） 可測得試片為n型或p型、載子濃度以及遷移率。 量測裝置如左圖： 試片中的電子及電洞為運動中的帶電粒子，在z方向磁場的作用下，會受到如圖所示之磁力。 以p型半導體為例，在y=0的面上會有正電荷堆積，形成一感應電場。 電流Ix、磁場Bz、試片幾何形狀為已知，VH為需量測值。

霍爾效應（續） 穩定狀態時，磁力與電力應達平衡。 此電場會產生一電壓，即為霍爾電壓VH。 故可得 合併可得 稱為霍爾係數 其中 即為電洞的飄移速度 故可得 合併可得 又

利用霍爾電壓求主要載子濃度 即由已知值及測量所得之霍爾電壓便可求得電洞濃度 整理可得 同理，n型半導體所量得的霍爾電壓為負值，其電子濃度亦可求。

利用霍爾電壓求遷移率 又由 可得 同理，n型半導體之電子遷移率（低電場下）為

載子擴散 載子會由濃度高處往濃度低處移動。 考慮單位時間單位面積通過 x = 0 平面之淨電子流 F1 故淨電子流為 dp/dx dn/dx 左邊流過來 右邊流過來 故淨電子流為

擴散電流 用泰勒展開式展開n(-l)與n(l)，取前二項： 其中定義擴散係數 所以電子的擴散電流為 同理，電洞的擴散電流為 （熱速率乘以平均自由徑） 所以電子的擴散電流為 同理，電洞的擴散電流為

總電流密度方程式（低電場時） 1-D 3-D 若在高電場作用下，公式中的nε及pε要修正成電子及電洞的飽和電流。

Einstein Relation 考慮一維情況，利用平均分配能量理論： 將此關係式代入擴散係數定義，可得： Einstein 關係式

Einstein 關係式 q 同理，對電洞的參數也有此關係

3.3 產生與復合過程（非平衡狀態） 熱平衡狀態下，np=ni2。 非平衡狀態下， 非平衡狀態包括：照光，加偏壓等。 非平衡狀態會朝向平衡狀態進行，所以電子電洞，會藉由產生（generation）及復合（recombination）過程恢復至平衡狀態的電子電洞濃度。

產生與復合過程（續） 同時發生的兩個過程。平衡狀態下兩者的生成率相同，故np可維持等於ni2；非平衡狀態下兩者的生成率不同，故np不等於ni2 。 產生（generation）過程是產生新的電子電洞對。 復合過程是產生過程的相反，電子電洞對會同時消失。 過多載子注入時，復合率大於產生率，使恢復平衡；反之，產生率大於復合率，使恢復平衡。

過多載子注入（carrier injection） 半導體材料照光或pn接面接順向偏壓時，就會使得電子電洞濃度比平衡態時大，這些多出來的載子稱為過多載子（excess carriers） 當過多載子遠小於熱平衡主要載子時，稱為低階注入（low injection），即主要載子濃度仍不變。 若非以上所述，過多載子已使主要載子濃度增加，稱為高階注入。

產生與復合過程的分類 直接復合(direct recombination)：較易發生在直接能帶隙之半導體，例如砷化鎵。 間接復合(in direct recombination)：較易發生在間接能帶隙之半導體，例如矽。 表面復合(Surface recombination) 歐傑復合(Auger recombination)

3.3.1直接產生與復合-較易發生在直接能帶之半導體 直接產生：電子吸收熱能或光能，直接由價電帶躍升至導電帶，使得電子電洞對產生。 直接復合：電子直接由導電帶落至價電帶，消滅了電子電洞對。 熱平衡，Gth=Rth 照光時，產生率大於復合率 Gth：平衡時每秒產生的電子電洞對濃度 Rth：平衡時每秒消失的電子電洞對濃度

直接能帶隙與間接能帶隙 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p不同 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p相同

Direct Bandgap & Indirect Bandgap 直接能帶隙:如GaAs，電子在價電帶與導電帶中躍遷，不需要改變動量。所以光電子產生的效率高，適合作為半導體雷射或其他發光元件的材料 間接能帶隙：如Si，電子在價電帶與導電帶中躍遷，需要遵守動量守恆。所以躍遷發生除了所需能量外，還包括與晶格的交互作用。

直接產生與復合率 復合率R和電子電洞濃度成正比： 為比例常數 平衡時： 光所造成之產生率 非平衡時： 過多載子濃度 電洞濃度改變率：

考慮穩態， 可得： U表示淨復合率 若為低階注入，p、pn0<<nn0，故上式可簡化為 少數載子的生命期 令

少數載子生命期的測量 利用一照光之半導體，照光後少數載子會增加，在t=0時將光源移去，少數載子會因復合過程而減少，直至恢復平衡狀態。 Rs vL

假設為低階注入情形，/dar<<1，選擇適當阻值使RSd=RL，則可得近似

3.3.2 間接產生與復合 間接能帶隙之半導體材料電子由價電帶躍遷至導電帶的機率較小，所以主要的產生與復合過程為間接的，即需借助能帶隙中之局部性的能態（好像踏腳石），稱為產生復合中心(recombination centers)或陷阱(trap)。 局部性的能態由雜質或缺陷造成，位置約在能隙的中央。 共有四種過程。

間接產生與復合過程—Shockley-Read-Hall復合理論 電子捕捉：傳導帶中之電子被一原為中性的空陷阱捕獲 電子發射：電子捕獲的逆過程。 電洞捕捉：陷阱中的電子落至價電帶中，好似價電帶的電洞被移至陷阱 電洞發射：電洞捕捉的逆過程。

間接產生與復合率(見附錄I) 電子捕捉速率 Ra與電子濃度陷阱濃度及1-F(E)成正比。 所以設 電子發射速率Rb與陷阱濃度及F(E)成正比。 陷阱為空的機率 捕獲截面積，表示陷阱捕獲電子的效率 比例常數en為放射機率 熱平衡時 Ra = Rb，故 = 代入n與費米機率的公式

間接產生與復合率（續） 表示若陷阱靠近Ec，en越大 同理， 電洞捕捉速率 陷阱要填滿 電洞發射速率 陷阱要空

均勻照光下 設產生率為GL，穩態時 可得 消去F，可解得 復合速率為： Ra-Rb= (48)

可看出少數載子的生命期與Nt成正比，也與陷阱能階的位置有關，可適當調整來獲得所需的生命期。 假設電子電洞的捕獲截面相同為，可得 (49) 再考慮低階注入，復合速率可為 和直接復合的公式一樣 (50) 為復合生命期 可看出少數載子的生命期與Nt成正比，也與陷阱能階的位置有關，可適當調整來獲得所需的生命期。

3.3.3 表面復合 在晶體表面，理想單晶的週期性結構被終止，會在能隙中形成局部的能態或是產生-復合中心，稱為表面態階 懸鍵：可形成復合中心

在表面過多載子的生命期較小，所以在表面的復合速率會較大，故表面的過量少數載子濃度會比較低。

表面復合率 考慮低階注入：單位時間單位面積復合的總數目為 故令 稱為低階表面復合速率 Nst為單位面積的復合中心密度 ps為表面電洞濃度 單位正好為速度的單位 Nst為單位面積的復合中心密度 ps為表面電洞濃度 故令 稱為低階表面復合速率

3.3.4 歐傑復合（Auger recombination） 電子電洞對復合所釋放的能量轉移至第三個電子或電洞。 常發生於高濃度摻雜半導體或是高階注入的情形下。 歐傑復合率和載子濃度成正比： ……能量轉移給第三個電子 或 ……能量轉移給第三個電洞

3.4 連續方程式 連續方程式：將電場效應、擴散效應及復合與產生過程等三種傳輸現象整合在一起的方程式。代入適當邊界條件即可解得少數載子的函數。 考慮如右圖之半導體，在dx的範圍內電子的變化率和流進的電流Jn(x)、流出的電流Jn(x+dx)以及其中的產生與復合率有關。 故電子數的變化率為

連續方程式（續） 將上式之Jn(x+dx)用泰勒展開式表示，並消去Adx： 可得 其中 ……稱為連續方程式 P型半導體中的電子

連續方程式（續） 同理，在n型半導體中的電洞的行為為 此外仍須滿足Poisson’s 方程式： 電場 半導體的空間電荷濃度 半導體的介電係數

常見之連續方程式的簡化

3.4.1 單邊穩態注入 A： ，電場為零，無限長 此情形下之連續方程式可簡化為： 邊界條件為pn(x=0)=pn(0) （常數） 解此偏為分方程式之邊界條件問題可得 其中令 稱為擴散長度

B： ，電場為零，長為W） 若改成邊界條件為pn(x=0)=pn(0) pn(x́́=w)=pn0 求在x=w處之電流為 解此偏為分方程式之邊界條件問題可得 求在x=w處之電流為

3.4.2表面的少數載子 假設表面照光，則由內部往表面流動之電洞電流密度為qUs。又已知表面因表面復合，表面處的電洞濃度會減少，故此處的濃度梯度應等於前述之電洞電流密度，即可得邊界條件如下： 穩態時之連續方程式為 帶入邊界條件解之可得 當Slr0時 Slr∞時，

3.4.3 海尼斯-蕭克利實驗 一個可以測量及D的著名實驗。 裝置如右圖，V1提供半導體穩定的電場，接點1的脈波提供過多載子，經電場作用飄移至接點2可測得此過量載子所產生的輸出電壓V2。 經過一個脈波後，連續方程式中的Gp= 0及 ∂ε/∂x = 0（電場為定值），故連續方程式為：

海尼斯-蕭克利實驗（續） 在無電場情形下 連續方程式的解為： 單位時間產生的電子電洞數 在無電場情形下 連續方程式的解為： V1不等於零時，除了載子擴散，還會飄移。 無外加電場(V1=0)時，隨時間增加可看到載子擴散。 在有外加電場情形下，連續方程式的解為：將無電場解中的 x 以 x - pε 取代

海尼斯-蕭克利實驗（續） 量測在峰值在接點２(x = L) 出現的時間t0，可得 擴散係數可由左圖求得： 找出輸出電壓V的值使得 求出的 t 的兩個解 t1及 t2，設 t2 - t1 = t 整理可得

少數載子生命期的估算

3.5 熱離子發射過程 (Thermionic emission process) 電子親和力 功函數 半導體表面的載子若有足夠大的能量，可以直接躍升到真空能階，稱為熱離子發射。

3.6穿隧過程（Tunneling process） II III 若兩個半導體靠的很近，能階圖（右圖）中之位障（potential barrier）寬度就很小。左邊半導體中的電子雖然能量小於位障，但仍能穿透至右邊，稱為穿隧現象。 可以解三區（左、位障區、右）之薛丁格方程式（下式），求出電子的行為（(x)），以求出穿透率。 I 位障 電子能量

穿隧過程（續） 第I區 第II區 第III區 X ≤ 0 0 ≤ x ≤d X ≥ d I II III 解為

穿隧過程（續） 代入邊界條件：在 x = o 及 x = d 處要連續以及 d/dx = 0，可解得係數關係。 定義穿透率為 當d>>1時，穿透率會變得非常小，變為 小的d，小的位障qV0以及小的電子有效質量可得到較大的穿透率。

3.7高電場效應 低電場時，vd和電場成正比（因假設平均自由時間與電場無關） 何謂低電場？當vd < vth (107cm/s for Si) 時。 當vd 接近 vth，vd和電場就不成比例。 當電場很大時，飄移速度會達飽和 vs為飽和速度(107cm/s for Si) ε0為常數(7×103V/cm for electrons; 2×104V/cm for holes)

高電場效應（續） 以矽而言，電場越大，電子和電洞的飄移速度都會達飽和。 以砷化鎵而言，電場越大，電洞的飄移速度會達飽和，但是電子的飄移速度為先上升後下降。

砷化鎵的電子飄移速度 因為砷化鎵的能帶圖中，導電帶的部分有兩個極小值。較低能谷電子的有效質量為0.067m0而較高能谷為0.55mo。 電場小時（ε<εa)，電子存在較低能谷，有效質量較小，故遷移率較大。 電場大時（ε<εa)，電子能量增加，部分可散射進入較高能谷，但有較小的遷移率。

電場越大，散射至高能谷的電子數越多 ε >εb

兩種不同電子質量對整體遷移率的影響 設在低能谷的電子數為n1，在高能谷的電子數為n2： 討論： 其中平均遷移率為 故飄移速度為

兩種不同電子質量對整體遷移率的影響（續） 討論： 設1εa>2εb 所繪之圖如左 會有一段遷移率為負之區域

衝擊游離（Impact ionization） 在高電場作用下，電子具有很大的動能，在與晶格碰撞時，大量的動能會損失給晶格，晶格所獲得之大能量足以破壞鍵結，也就是說可以使價電帶的電子游離至導電帶產生新的電子電洞對。此電子電洞對受電場加速也會具有高動能，再繼續與晶格碰撞。如此連鎖循環下去，會有大量的電子電洞對被游離出來就稱為衝擊游離（又稱雪崩效應）。

衝擊游離（Impact ionization）（續） 考慮電子1撞擊晶格所釋放能量產生電子電洞對2與2’，此過程要遵守動量守恆以及動能守恆，假設電子1與電子電洞對2及2’的有效質量相同，且作用後三載子的動能與動量相同： 原電子1的動能提供價電帶電子2躍升至導電帶， 並提供所產生的的電子電洞對動能。 vs為飽和速度，vf為末速度。 表示電子動能必須相當大於能隙才能夠產生雪崩效應。實際上對矽而言，電子需3.6eV (3.2Eg)，電洞需5.0eV (4.4Eg)

游離率 電子游離率n是指電子走過單位程度的距離所產生的電子電洞對數；電洞游離率p是指電洞走過單位程度的距離所產生的電子電洞對數。 n與p受到電場強烈的影響。以要達到104cm-1這樣大的游離率來說，矽所受的電場要加到大於3×105V/cm；砷化稼所受的電場要加到大於4×105V/cm。 電子電洞對產生率GA為：