圓心角及其所對的弧 圓周角及其所對的弧 圓內接四邊形 弦切角及其所夾的弧 圓內角與圓外角 自我評量

我們曾經學過弧的表示法與圓心角的概念，現在讓我們簡單的複習一下。 如圖2-29，圓上的A、B 兩點將圓周分成兩個弧，小於半圓的弧稱為劣弧，以AB表示。大於半圓的弧稱為優弧，通常會在弧上 加一點C，以ACB表示。其中AB 所對 的圓心角為∠AOB，ACB 所對的圓心 角為∠1。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ 圖2-29

⁀ 如右圖，將一圓分成十二等分，試求劣弧AB所對的圓心角∠AOB。 ∠AOB＝ ．360°＝120°

我們已經知道，若圓心角為 x°，則弧的長度等於圓周長的 。接下來，讓我們來看看弧的度數與圓心角的關係。

如圖2-30，把兩個量角器拼成一個圓，可以觀察到，整個圓周被分成360等分的弧，其中每一等分的弧所對的圓心角剛好是1°。我們稱1 等分弧的度數為1°，所以x°的圓心角所對弧的度數為x°。 簡單的說： 弧的度數就是該弧所對圓心角的度數。

⁀ 如右圖，AB的度數是55°，試求其所對的圓心角∠AOB。 圓心角∠AOB ＝AB的度數＝55° ⁀

根據上面的說明： 如圖2-31，若圓心角∠AOB＝x°， 則： (1) AB的度數為x°，簡記為AB＝x°。 (2) AB的長度＝圓周長． 。 (3) 扇形OAB的面積＝圓面積． 。 ⁀ ⁀ ⁀ 圖2-31

通常在同圓（等圓）中，表示兩弧長的關係時，即可省去「長」。 例如：AB＝CD，表示AB的長與CD的長相等，也表示兩弧的度數相等。 所以AB可以有三種意義：(1) AB本身；(2)AB的度數；(3)AB的長度，其意義可由前後文的相關敘述分辨。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

由此可知： (1)在同圓(等圓)中，度數相等的兩弧等長。 (2)在同圓(等圓)中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。

如右圖，正五邊形ABCDE的頂點均在圓O上，試求AB的度數。 ⁀ 1 弧的度數與長度 搭配習作P28 基礎題1 如右圖，正五邊形ABCDE的頂點均在圓O上，試求AB的度數。 ⁀ 解 ∵ABCDE為正五邊形， ∴以O為頂點，可將正五邊形ABCDE分割成5個全等的等腰三角形。 圓心角∠AOB＝ ＝72° 故AB＝∠AOB＝72°。　 ° ⁀

如右圖，正六邊形ABCDEF的頂點均在圓O上，試求AB的度數。 ⁀ ° 圓心角∠AOB＝ ＝60° 故AB＝60° ⁀

如圖2-32， 、 為圓O上的兩弦，若∠AOB＝∠COD，以O點為旋轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 與 重疊，此時A點與C點重疊，因此 ＝ 　

如圖2-33， 、 為圓O上的兩弦，若∠AOB＜∠COD，以O點為旋轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 與 重疊，此時A點會落在CD上，連接 ，因為∠CAD＞∠CAO＝∠OCA＞∠DCA，所以在△DAC中，由大角對大邊可得 ＜ 。 ⁀ 圖2-33

由上面的說明可知： 等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則它們所對的弦等長； 反之亦然。 (2)等圓（同圓）中，如果兩個小於180度的圓心角不相等，則較大的圓心角，所對的弦也較長；反之亦然。

2 半徑與弦、弧的關係 如圖，圓O1的半徑為r1， 圓O2的半徑為r2，若兩個 圓心角∠AO1B ＝∠CO2D， 試求：(1) AB長：CD長的 比值。 (2) ： 的比值。 ⁀ ⁀

(1) AB長：CD長的比值。 (1)設∠AO1B ＝∠CO2D＝x°， AB長：CD長 ＝（2πr1‧ ）：（2πr2． ） 解 (1) AB長：CD長的比值。 ⁀ ⁀ (1)設∠AO1B ＝∠CO2D＝x°， AB長：CD長 ＝（2πr1‧ ）：（2πr2． ） ＝ r1：r2 故AB長：CD 長的比值為 。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

(2)△AO1B 和△CO2D 中， ∵∠AO1B＝∠CO2D， 且 ＝ ＝ ， ∴△AO1B∼△CO2D（SAS 相似）， 故 ＝ ， 解 (2)△AO1B 和△CO2D 中， ∵∠AO1B＝∠CO2D， 且 ＝　 ＝ ， ∴△AO1B∼△CO2D（SAS 相似）， 故 ＝ ， 即 ： 的比值為 。

如圖，已知AB長＝8，CD長＝6，圓O2的半徑為10，且∠AO1B＝∠CO2D，試求圓O1的半徑。 ⁀ ⁀ 如圖，已知AB長＝8，CD長＝6，圓O2的半徑為10，且∠AO1B＝∠CO2D，試求圓O1的半徑。 ∵∠AO1B＝∠CO2D ∴ AB長：CD長＝r1：r2 8：6＝r1：10 r1＝ 故圓O1的半徑＝ ⁀ ⁀

當兩弦相交的交點在圓周上，其所形成的角稱為圓周角。如圖2-34，∠BAC為圓周角， 為此圓周角所對的弦，BC為此圓周角所對的弧。 ⁀ 圖2-34

反過來說，B、C兩點將一圓分成BC和BQC，若在BQC上任取一點A，連接 、 ，則∠BAC為BC所對的圓周角，因為A為BQC上任一點，所以同一弧所對的圓周角有無限多個。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

⁀ 在右圖中， BC 所對的圓周角有哪些？ ∠BAC 與∠BDC 前面學過，圓心角的度數等於它所對弧的度數，那麼圓周角的度數和它所對弧的度數有沒有類似的關係呢？

如圖2-35，一圓的圓心和圓周角有三種位置關係：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部。 圓心在圓周角內部 圓心在圓周角外部 圖2-35

接下來，讓我們來看看，在這三種位置關係中，圓周角的度數和它所對弧的度數之間的關係。 當圓心O在圓周角∠A 的一邊上時： 如圖2-36，連接 。 ∵ ＝ ，∴∠C＝∠A。 又∠BOC＝∠C＋∠A（外角定理）， ∴∠BOC＝2∠A， 故∠A＝ ∠BOC＝ BC。 1. 圖2-36 ⁀

∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD， ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD ＝ ∠BOD＋ ∠COD ＝ ∠BOC＝ BC 當圓心O在圓周角∠BAC的內部時： 如圖2-37，作直徑 ，並連接 、 根據 的結果，可推得： ∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD， ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD ＝ ∠BOD＋ ∠COD ＝ ∠BOC＝ BC 故∠BAC＝ BC。 2. 1. ⁀ ⁀ 圖2-37

∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD， ∠BAC＝∠CAD－∠BAD ＝ ∠COD－ ∠BOD ＝ ∠BOC＝ BC 當圓心O在圓周角∠BAC的外部時： 如圖2-38，作直徑 ，並連接 、 根據 的結果，可推得： ∠BAD＝ ∠BOD，∠CAD＝ ∠COD， ∠BAC＝∠CAD－∠BAD ＝ ∠COD－ ∠BOD ＝ ∠BOC＝ BC 故∠BAC＝ BC。 3. 1. ⁀ ⁀ 圖2-38

從上一頁的討論與說明可以得到： (1) 一弧所對的圓周角度數等於該 弧所對圓心角度數的一半。 (2) 一弧所對的圓周角度數等於此 弧度數的一半。 (3) 在同一圓中，一弧所對的所有 圓周角的度數都相等。如圖2-39， ∠A1＝∠A2＝∠A3＝ BC。 圖2-39 ⁀

如右圖，已知AB長是圓周長的 ，試求∠ACB 與∠ADB。 搭配習作P28 基礎題2 3 求圓周角 ⁀ 如右圖，已知AB長是圓周長的 ，試求∠ACB 與∠ADB。 ⁀ 解 ∵ AB長是圓周長的 ， ∴ AB＝ ．360°＝90° 又∠ACB 和∠ADB 均為AB 所對的圓周角， ∴ ∠ACB＝∠ADB＝ AB＝45° ⁀ ⁀ ⁀

如圖，A、B、C 為圓上的七個等分點中的三個點，試求∠ABC。 思考，思考，再思考。 —愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955） 如圖，A、B、C 為圓上的七個等分點中的三個點，試求∠ABC。 ⁀ ∠ABC＝ ADC ＝ ．（ ．360°）＝

4 由圓周角求圓心角 如右圖，△ABC 的頂點均在圓O 上，已知∠BAC＝45°，∠ABC＝ 100°，試求∠BOC 與∠AOC。

求∠BOC (1)∵∠BAC為BC所對的圓周角， ∴ BC＝2∠BAC＝2．45°＝90°， 又∠BOC為BC 所對的圓心角， ⁀ (1)∵∠BAC為BC所對的圓周角， ∴ BC＝2∠BAC＝2．45°＝90°， 又∠BOC為BC 所對的圓心角， ∴∠BOC＝BC＝90° 解 ⁀ ⁀ ⁀

求∠AOC (2)∵∠ABC 為ADC 所對的圓周角， ∴∠ABC＝ ADC， ⁀ ADC＝2∠ABC＝2．100°＝200° 解 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

如右圖，A、B、C、D 為圓上四點，已知∠BAD＝60°，BC＝90°，試求CD 。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ CD＝BCD－BC ＝2∠BAD－90° ＝2．60°－90° ＝30°

我們已經知道，一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半，如圖2-40中，當 為直徑時，AB＝180°，故圓周角∠ACB＝ AB＝ ．180°＝90°。又∠ACB、∠AEB 與∠AFB 皆為AB所對的圓周角，∴∠ACB＝∠AEB＝∠AFB＝90°。 ⁀ ⁀ ⁀ 圖2-40 也就是說： 搭配習作P29 基礎題3 半圓所對的圓周角是直角。

如右圖， 為圓O的直徑，B為圓周上一點，若∠BAC＝40°，試求AB。 ⁀ ⁀ ∵ 為直徑 ∴ ABC＝180° 又∠BAC＝40° ∴BC＝80° 故AB＝ABC－BC＝180°－80°＝100° ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

在上一節時學過，要畫出通過圓O上任一點P的切線，只要先連接 ，再作通過P點且與 垂直的直線即可。如果P點在圓O外，要如何畫出通過P點且與圓O相切的切線呢？我們可以利用「半圓所對的圓周角必為直角」性質，畫出過圓外一點的切線。

如右圖，P為圓O外的一點，請利用尺規作圖，畫出通過P點且與圓O相切的直線。 5 過圓外一點作圓的切線 如右圖，P為圓O外的一點，請利用尺規作圖，畫出通過P點且與圓O相切的直線。 ‧O P‧

(2) 以 為直徑，作圓O'，交圓O 於A、B 兩點。 (3) 連接 與 。 (4) 則 與 即為所求。 (1) 連接 。 (2) 以 為直徑，作圓O'，交圓O 於A、B 兩點。 (3) 連接 與 。 (4) 則 與 即為所求。 作法

在例題5中，連接 、 ，如圖2-41。在圓O'中，因為 為圓O'的直徑，由「半圓所對的圓周角必為直角」知，∠OAP＝∠OBP＝90°，因此 與 都是圓O 切線。

如右圖，兩平行直線L1和L2在圓上截出AC 和BD，試說明 AC＝BD。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ 6 平行線截等弧 如右圖，兩平行直線L1和L2在圓上截出AC 和BD，試說明 AC＝BD。 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ (1)如右圖，連接 。 (2)∵L1 // L2， ∴∠1＝∠2（內錯角相等） (3)∠1＝ AC，∠2＝ BD， 故 AC＝BD。 證明 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

由例題6可知： 若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截出的兩弧度數相等。

⁀ ⁀ 如右圖，若AC和BD的度數相等，試說明 // 。 連接 ∵AC＝BD ∴∠1＝∠2 故 // ⁀ ⁀

如右圖，兩直線L1//L2，且L2與圓相切於C點，請問AC和BC是否相等？ ⁀ ⁀ 作直徑 。 ∵C 為切點，∴ ⊥L2。 又L1// L2，∴ ⊥L1。 故 為 的垂直平分線 則 ＝ 即AC＝BC ⁀ ⁀

如圖2-42，在圓上依序任取A、 B、C、D四點，連接 、 、 、 ，則四邊形ABCD稱為圓O的內 接四邊形，而圓O稱為四邊形ABCD 的外接圓。 接著，我們來學習圓內接四邊形的一些性質。 圖2-42

如右圖，ABCD為圓O的內接四邊形，試說明∠A＋∠C＝180° ，∠B＋∠D＝180°。 搭配習作P29 基礎題4／P29 基礎題5 7 圓內接四邊形對角互補 如右圖，ABCD為圓O的內接四邊形，試說明∠A＋∠C＝180° ，∠B＋∠D＝180°。

⁀ ∵∠A所對的弧為BCD， ∠C所對的弧為BAD， ∴∠A＋∠C＝ BCD＋ BAD ＝ （BCD＋BAD） ＝ ．360° ＝180° ＝ ．360° ＝180° 同理，∠B＋∠D＝180°。 證明 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

由例題7可知： 圓內接四邊形的對角互補。 1.如右圖，ABCD為圓O的內 接四邊形，已知 // ， ∠DCE＝105°，試求∠A 與 ∠B。

∵ // ，且∠DCE＝105°， ∴∠D＝105°，∠BCD＝75°， 又ABCD 為圓O 的內接四邊形 ∴∠A＝180°－∠BCD＝105° ∠B＝180°－∠D＝75°

2.如右圖，ABCD為圓O的內接四邊形，∠1為∠BCD的外角，試說明∠A＝∠1。

由隨堂練習可知： 圓內接四邊形的任一外角等於其相鄰內角的對角。

弦與切線在圓周上所形成的交角稱為弦切角。如圖2-43，切線 與弦 交於C點，∠BCD與∠ACD即為弦切角，且CD為弦切角∠BCD所夾的弧，而CED為弦切角∠ACD所夾的弧。 ⁀ ⁀ 圖2-43

接下來我們來學習，弦切角的度數與它所夾弧的度數之間的關係。 一圓上的弦切角可因弦是否通過圓心，而有下列兩種情況：

弦 通過圓心： 如圖2-44， 為直徑， 因此CD為圓周的一半， 也就是CD＝180°， ⁀ 又C為切點， ∴∠ACD＝∠BCD＝90°， 弦 通過圓心： 1. 如圖2-44， 為直徑， 因此CD為圓周的一半， 也就是CD＝180°， 又C為切點， ∴∠ACD＝∠BCD＝90°， 故∠ACD＝∠BCD＝ CD。 ⁀ ⁀ 圖2-44 ⁀

弦 不通過圓心： 如圖2-45，過C 點作直徑 ， 承 知∠BCE＝ CDE， ∠ACE＝ CFE， ∠BCD＝∠BCE－∠DCE 弦 不通過圓心： 如圖2-45，過C 點作直徑 ， 承 知∠BCE＝ CDE， ∠ACE＝ CFE， ∠BCD＝∠BCE－∠DCE ＝ CDE－ DE ＝ （CDE－DE）＝ CD 2. ⁀ 1. ⁀ 圖2-45 ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

∠ACD＝∠ACE ＋∠DCE ＝ CFE ＋ DE ＝ （CFE＋DE）＝ CED 故∠BCD＝ CD， ∠ACD＝ CED。 ⁀ ⁀ ⁀ 圖2-45 從上面的說明可知： 弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。

如右圖，∠ABC 為圓O 的一個弦切角，若∠ABC＝50°，試求AB 的度數。 ⁀ ∵∠ABC 為弦切角 ∴AB＝2∠ABC＝100° ⁀

8 求弦切角 如右圖， 與圓O 相切於B 點， 已知∠CAB＝60°，試求∠CBE。 ∵∠CAB 為圓周角， ∴∠CAB＝ BC。 搭配習作P30 基礎題6 8 求弦切角 如右圖， 與圓O 相切於B 點， 已知∠CAB＝60°，試求∠CBE。 ∵∠CAB 為圓周角， ∴∠CAB＝ BC。 又∠CBE 為弦切角， ∴∠CBE＝ BC， 故∠CBE＝∠CAB＝60°。 解 ⁀ ⁀

由例題8知： 如圖2-46，∠BAC為圓周角， ∠BCD為弦切角， 則∠BAC＝∠BCD＝ BC。 ⁀

如右圖， 為圓O 的弦， 與圓O 切於B 點，若∠AOB＝70°，試求∠ABC 、∠ADB。 AB＝∠AOB＝70° ∠ADB＝ AB＝35° ∠ABC＝∠ADB＝35° ⁀ ⁀

9 弦切角的應用 如右圖，兩圓外切於P 點， 與 交於P 點，試證 // 。

(1)如右圖，過P 點作兩圓的公切線L。 ∠A＝ CP＝∠1 ∠B＝ PD＝∠2 ⁀ (2)又∠1＝∠2（對頂角）， ∴∠A＝∠B， ⁀ 證明 (1)如右圖，過P 點作兩圓的公切線L。 ∠A＝ CP＝∠1 ∠B＝ PD＝∠2 (2)又∠1＝∠2（對頂角）， ∴∠A＝∠B， 故 // （內錯角相等）。 ⁀ ⁀

如右圖， 為圓O 的直徑，L 為通過C 點的切線，若∠ACE＝32°，試求∠D。 ⁀ AC＝2∠ACE＝64° ∵ 為直徑 ∴ ACB＝180° BC＝ACB－AC＝180°－64°＝116° ∠CDB＝ BC＝58° ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

若兩弦交於圓內一點，則這兩 弦所形成的交角稱為圓內角。如圖 2-47， 、 分別為圓O 的兩弦 ，且 與 交於P 點，則∠APC、 ∠BPC、∠BPD、∠APD皆為圓內 角。 圖2-47

如右圖， 和 兩弦交於圓內一點P。已知AC＝80°，BD＝30°，試求∠1。 ⁀ ⁀ 10 求圓內角的度數 如右圖， 和 兩弦交於圓內一點P。已知AC＝80°，BD＝30°，試求∠1。 ⁀ ⁀

∴ AE＝BD＝30°，(兩平行線截兩等弧)， ∵ // ，∴∠1＝∠2（同位角） ∠2＝ EAC＝ （AE＋AC） ＝ （BD＋AC） 解一 如右圖，過D 點作 // 交圓於E 點， ∴ AE＝BD＝30°，(兩平行線截兩等弧)， ∵ // ，∴∠1＝∠2（同位角） ∠2＝ EAC＝ （AE＋AC） ＝ （BD＋AC） ＝ （30°＋80°）＝55° ∴∠1＝55° ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。 如右圖，連接 。 ∵∠1 為△APD 的外角， ∴∠1 ＝∠3＋∠4 ＝ BD＋ AC ＝ （BD＋AC） ＝ （30°＋80°）＝55° 解二 ⁀ ∠3 和∠4 所對的弧分 別為BD 和AC ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ 由例題10知： 圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，其中P 為 與 的交點，試求AC、BD 和∠APC ⁀ ⁀ ⁀ AC＝ ．360°＝60° BD＝ ．360°＝90° ∠APC＝ （BD＋AC）＝ （90°＋60°）＝75° ⁀ ⁀ ⁀

如圖2-48，若 、 為圓的割線或切線，且交於圓外一點P ，則∠P稱為圓外角。 沒有不能解決的問題。 —韋達（Franciscus Vieta，1540-1603）

11 求圓外角的度數 如右圖，兩割線 、 交於圓外一點P，已知AC＝144°，BD＝60°，試求∠P。 ⁀ ⁀

如右圖，過D 點作 // ， ∴AE＝BD＝60°(兩平行線截兩等弧)， ∵ // ，∴∠P＝∠1（同位角） 解一 如右圖，過D 點作 // ， ∴AE＝BD＝60°(兩平行線截兩等弧)， ∵ // ，∴∠P＝∠1（同位角） 又∠1＝ EC＝ （AC－AE） ＝ （AC－BD） ＝ （144°－60°）＝42° ∴∠P＝42° ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

如右圖，連接 。 ∵∠3 為△ADP 的外角， ∴∠P＝∠3－∠2 ＝ AC－ BD ＝ （AC－BD） ＝ （144°－60°）＝42° 解二 如右圖，連接 。 ∵∠3 為△ADP 的外角， ∴∠P＝∠3－∠2 ＝ AC－ BD ＝ （AC－BD） ＝ （144°－60°）＝42° ∠2 和∠3 所對的弧 分別為BD 和AC ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，P 為 和 的交點，試求AC、BD 與∠P。 ⁀ ⁀ ⁀ AC＝ ．360°＝120° BD＝ ．360°＝30° ∠P＝ （AC－BD） ＝ （120°－30°）＝45° ⁀ ⁀ ⁀

12 求圓外角的度數 如右圖， 與 交於圓外 一點P，其中 為圓的割線 ， 為圓的切線，且與圓切 於C 點。若AC ＝140°，BC ＝80°，試求∠P。 ⁀ ⁀

如右圖，連接 。 ∵∠1為△ACP的外角， ∴∠P＝∠1－∠2 ＝ AC － BC ＝70°－40° ＝30° ∠1 為弦切角 如右圖，連接 。 ∵∠1為△ACP的外角， ∴∠P＝∠1－∠2 ＝ AC － BC ＝70°－40° ＝30° 解 ∠1 為弦切角 ∠2 為圓周角 ⁀ ⁀

如右圖， 和 分別與圓切於A、B 兩點，並交於圓外一點P，若ACB＝240°，試求∠P。 ⁀ 連接 ， ∵∠1為△ ABP的外角， ∴∠P＝∠1－∠2 ＝ （ACB－AB） ＝ （240°－120°） ＝60° ⁀ ⁀

由例題11、例題12與隨堂練習可知： 圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。

1. 弧的度數與長度： (1)弧的度數等於該弧所對圓心角的度數。 (2)等圓（同圓）中，度數相等的兩弧等長。 (3)等圓（同圓）中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。

2. 圓心角與弦的關係： (1) 等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則其所對的弦等長；反之亦然。 (2) 等圓（同圓）中，如果兩個小於180 度的圓心角不相等，則較大的圓心角所對的弦較長；反之亦然。

3.圓周角： (1) 一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半。 (2) 一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半。 (3) 在同一圓中，同一弧所對的所有圓周角的度數都相等。 (4) 半圓所對的圓周角必為直角。

4. 圓內接四邊形： (1)如圖2-49，在圓上依序任取A、B、C、D 四點，連接 、 、 、 ，則四邊形ABCD為圓O的內接四邊形，圓O為四邊形ABCD的外接圓。 (2)圓內接四邊形的對角互補。 (3)圓內接四邊形的任一外角 等於其相鄰內角的對角。 圖2-49

若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截 出的兩弧度數相等。 6. 弦切角： (1) 弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。 5. 平行線截等弧性質： 若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截 出的兩弧度數相等。 6. 弦切角： (1) 弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。 (2) 如圖2-50，∠A 為圓周角， ∠BCD 為弦切角，則∠A＝ ∠BCD＝ BC。 ⁀ 圖2-50

圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。 7. 圓內角： 圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。 如圖 2-51， ∠APC＝ （ AC＋BD）。 ⁀ ⁀ 圖 2-51

⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ 8. 圓外角： 圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。 ∠P ∠P ∠P ＝ (AB－CD) ＝ ( AB－AC) ＝ (ADB－ACB) ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ 圖 2-52 圖 2-53 圖 2-54

給我最大快樂的， 不是已懂的知識，而是不斷的學習； 不是已有的東西，而是不斷的獲取； 不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登。 —高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）

2-2 自我評量 1. 試求下列各小題中圓心角∠1。 (1) (2) 為直徑 ∠1＝112° ∠1＝180°－53°＝127°

2. 如右圖，若AB長為圓O 周長的 ，試求∠AOB、∠APB 和∠AQB。 ⁀ 2. 如右圖，若AB長為圓O 周長的 ，試求∠AOB、∠APB 和∠AQB。 ⁀ AB 的度數＝ ．360° ＝45° ∴∠AOB＝45° ∠APB＝∠AQB＝22.5°

3. 如圖，已知圓O上A、C兩點，試完成下列問題： (1) 在 上找出一點B，使得∠ACB為銳角。 (2) 在 上找出一點D，使得∠ACD為直角。 (3) 在 上找出一點E，使得∠ACE為鈍角。

4. 如右圖，圓內接四邊形ABCD為平行四邊形，試求∠A。 ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D 又ABCD為圓內接四邊形 ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180° 故∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

5. 如右圖， 為圓O的一弦， 切圓O於A點，已知 ∠CAB＝38°，試求∠COA、∠CDA。 ∴∠CDA＝∠CAB＝38° ∠COA＝2∠CAB＝2．38°＝76°

6. 如右圖，圓內兩弦 、 交於E 點，若∠BAC＝50°，∠ABD＝60°，試求∠1、∠2及∠3。 又AD＝2∠ABD＝120°， BC＝2∠CAB＝100° ∴AC＋BD＝360°－AD－BC＝140° 故∠3＝ （AC＋BD）＝ ．140°＝70° ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀ ⁀

7. 如右圖， 和圓切於C 點， 交圓於A、B 兩點。若AC＝160°，BC＝80°，試求∠ACQ、∠A和∠P。 ⁀ ⁀ ⁀ ∠ACQ＝ AC＝80° ∠A＝ BC＝40° ∴∠P＝ （ AC－BC） ＝40° ⁀ ⁀ ⁀

公切線 日常生活中存在著一些公切線的例子，例如：圖2-55 中腳踏車的鏈條，連接兩個圓形的齒輪，這條鏈條在兩個切點之間的那一段就是兩圓的外公切線，而這兩個齒輪滾動的方向是一致的。又如圖2-56 中，滑輪和皮帶的組合，可以把動力從引擎傳到機器上，而這條皮帶在兩個切點之間的那一段是兩滑輪的內公切線，此時兩個輪子滾動的方向則相反。

圖2-55 圖2-56

此外，在運送下半部為圓柱體的醬油瓶時，常將醬油瓶緊密的綁在一起，如圖2-57 所示，藍色線段即為公切線。