参考书 近世代数 吴品三 人民教育出版社 代数结构与组合数学 曲婉玲 北京大学出版社 近世代数及其应用 阮传概 孙伟 北京邮电大学出版社

1.彭姝 Email:pengshu@fudan.edu.cn 实验室: 软件楼310 2. 顾俊 Email:gujun@fudan.edu.cn 实验室：软件楼310 3.赵一鸣 BBS: zhym Email: zhym@fudan.edu.cn 每周三交作业

二、商结构 [S;*]为代数系统 S的等价类全体用Š表示,即Š={[a]|aS}。这里[a]={x|a~x,xS} 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab] 定义：设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。

对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则由~关于的相容性，保证运算的结果与等价类的选取无关。称[Š;]为 [S;]的商结构或商系统。 例:Z上模5同余关系 与代表元选取无关

第十三章 　群 群是最简单的一类代数系统。群论是近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分, 也是建立其他代数系统的基础。

§1半群、拟群与群 一、半群和拟群 定义13.1：代数系统[S;*],当其二元运算*是可结合的,即对任a,b,cS有:a*(b*c) =(a*b)*c，则称该系统为半群。 例: 定义13.2：设[S;*]为半群,当*在S中有单位元e,即对任意aS,有:a*e=e*a=a，称该半群为含单位元半群或称为拟群(monoids) 。

例:={xi|i=1,…,n} +:中元素组成的有限长度的非空字符串全体 运算:=a1ak,=b1bl+，=a1akb1bl+， [+;]是半群，但没有单位元。 *:有限长度的字符串全体构成的集合， [*;]是半群，为空串(即长度为0的字符串)， +，有==， 为单位元， [*;]是拟群。

[S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足: 二、群 1.群的概念 定义13.3：[S;*]为拟群,当S中的每一个元素都有逆元时,称为群。 还可以更清楚地叙述为: [S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS，存在a-1S,使得a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。

[R-{0},]是群 [R,]不是群, 只是拟群 对于群[R-{0},],对任意a,bR-{0},有ab=ba，满足交换律，交换群，阿贝尔群 如果群中的二元运算满足交换律,称该群为可交换群,也称为阿贝尔(Abel)群。 [R-{0},],[Z;+],[R;+],[C;+]等都是Abel群。 矩阵乘法群不是交换群, 原因: 例：设e是群[G;*]的单位元，如果对任意xG，有x*x=e，则[G;*]一定是Abel群。 证明:

设G={(x, y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二元运算如下： (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。 证明 (G; ●)是群。 (G;●)是 Abel群?

例：G={1,-1,i,-i}, [G;*]中的运算*定义为

G={1,-1,i,-i}, [G;*],元素个数有限 [R-{0},],[Z;+],[R;+],[C;+]，元素个数无限 有限群 无限群 定义13.4：设[G;*]为群,当|G|=+时称该群为无限群;当|G|=n<+时，称为有限群,且说群G 的阶为n。 G={1,-1,i,-i}, 群[G;*]是4阶群。 [R-{0},],[Z;+],[R;+],[C;+]是无限群。

2.群的性质 在[R-{0},]和[R;+]中有 a+b+c+d+e+f+…=(a+b)+c+d+(e+f)+…, abcdef…=(ab)cd(ef)…, 即任意加括号不影响结果 定理13.1:半群[G;]中n个元素a1,…,an连乘的积,经任意加括号其结果不变。

由这个定理可把a1*a2*…*an写成 特别当ai=aj=a(i,j=1,…,n)时可写成幂的形式an。

定理13.2:[G;]为群,aiG(i=1…,n), 则(a1…an)-1=an-1…a1-1。 对群[G;]，规定a0=e，a-k=(a-1)k， 定理13.3:在群[G;]中,对于aG,m,n Z,有 (1)am*an=am+n (2)(am)n=amn

定理13.4:当[G;]为交换群时,任a,bG 有:(ab)n=anbn。 n=0时, (ab)0=e,a0b0=e，等式成立。 n>0时, 假设n=k时结论成立，即(ab)k=akbk。 对于n=k+1，(ab)k+1=(ab)kab= akbkab=ak+1bk+1 2）证明n<0的情况, 当n<0时，设n=-n', n'>0 (ab)n=(ab)-n'=((ab)-1)n'=(b-1a-1)n'=(a-1b-1)n'=(a-1)n' (b-1)n' (由n'>0时结论)

定理13.5:在群[G;]中,对任a,b,cG,有 (1)ac=bc,则a=b。 (2)ca=cb,则a=b。 消去律 在群运算表中任一行的元素互不相同，任一列的元素互不相同。 这对拟群不一定成立。

定理13.6:半群[G;]是群,当且仅当 (1)存在e'G,对任意gG, 使得e'g=g (即e'为左单位元)。 (2)对任意gG,存在g'G使g'g=e'。 证明:1. [G;]是群,推出(1)(2)成立 2.由(1)(2)成立,推出半群[G;]是群. 首先证明对任意gG,当g'g=e'时,必有gg'=e'; 然后证明e‘为单位元. 与群定义相比，只需要各验证一半

定理13.7:半群[G;]是群,当且仅当对任意的a,bG,存在x,yG,使ax=b,y a=b。 2.对任意的a,bG,存在x,yG,使ax=b,y a=b,推出半群[G;]是群 利用定理13.6 为此要证明对任意aG,存在e'G，使得e'a=a; 对任意aG,存在a'G使a'a=e'。 定理13.6和13.7可作为群的等价定义.

设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二元运算如下： (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。 解方程：求xG，使得(2.3)x=(3,5)

定理13.8:[G;]为有限半群,它是群,当且仅当运算满足消去律。 证明 若条件中去掉有限，结论是否成立? 21

P149 5,6 P170 1,4,6,10,11 补充：在Z上定义运算*： a*b=a+b-1 问：[Z;*]是否为交换群，请证明你的结论。