第2讲 线性方程组解的存在性 主要内容： 1. 线性方程组的解 2.线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换 3.高斯消元法、行阶梯形矩阵与矩阵的秩
1.2 线性方程组解的存在性 1.2.1线性方程组的解 1个解(a solution)?
(1)非齐次线性方程组
(2)齐次线性方程组 线性方程组有零解该线性方程组是齐次的. 于是,齐次线性方程组有(零)解!! 注意 齐次线性方程组可能有非零解.
1.2.2 线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换
线性方程组的同解变换: (1) 交换第i个方程和第j个方程的位置. (2) 第i个方程两边同时乘以不为0的数k. (3) 第i个方程两边乘以同一个数k后，分别加在第j个方程的两边. 采用同解变换得到的线性方程组与原线性方程组是同解的，即它们的解完全相同.
(I)交换第1个方程和第2个方程的位置.
(II)第3个方程两边同时乘以不为0的数1/3.
(III)第1个方程两边乘以同一个数-2后，分别加在第2个方程.
定义1.4 矩阵的初等行变换(row elementary operations of a matrix)有以下3种： (1) 换行 交换第i行和第j行的位置，记为ri rj. (2) 倍乘 将第i行乘以不为0的数k，记为kri. (3) 倍加 将第i行乘以一个数k加在第j行，记为kri+ rj.
1.2.3 高斯消元法、行阶梯形矩阵与矩阵的秩 1.消元(elimination)?
“换行”和“倍乘”是为了方便消元. C. F. Gauss提出该方法,后来称为Gauss消元法, 可直接称为消元法. 但中国人大约在公元前250年就会一些简单的消元. 在矩阵中这样做,也称为Gauss消元法或消元法. 前面采用的是“向下消元”,并可以继续下去:
2.行阶梯阵(row echelon matrix) (1) 线的下方元素全为0； (2) 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数； (3) 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，该元素称为该非零行的首非零元素即首元.
下列几个矩阵均不是行阶梯形矩阵:
3.矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵理论中最重要的概念之一, F.G. Frobenius(1917)借助于行列式引入的. Def 1.5 在矩阵A的行阶梯形矩阵中，其非零行的行数称为矩阵的秩(rank of the matrix A)，记为R(A)(或r(A)). R(B) = 3 R(A) = ? (不看最后一列即可!)
定理 1.1 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则该线性方程组有解的充要条件是R(A) = R(B). 因为R(A) R(B), 意味着在B的行阶梯形矩阵的最后非零行里会出现0, 0, …, 0, d,其中d 0. 于是对应的同解线性方程组会出现0 = d的情况，显然原线性方程组无解.
第二, 若R(A) = R(B), 则线性方程组有解. 这是由于在B的行阶梯形矩阵对应的线性方程组里, 不会出现0 = d 0的情况,因而至少可得出原线性方程组的一个解. 例如, 线性方程组(1.6)有解
在R(A) = R(B)时, 其秩记为r. 对于齐次线性方程组, 显然有R(A) = R(B), 根据定理1.1容易知道, 任意齐次线性方程组有解. 当然, 由于齐次线性方程组均有零解, 可推出R(A) = R(B). 注意 齐次线性方程组可能有非零解.
例1.6 判断下列线性方程组是否有解，说明理由. Hint
4.矩阵的初等列变换 完全类似于矩阵的初等行变换, 最后介绍与求解线性方程组没有直接联系的矩阵的初等列变换: (1) 换列 交换第i列和第j列的位置, 记为ci cj. (2) 倍乘 将第i列乘以不为0的数k, 记为kci (k 0). (3) 倍加 将第i列乘以一个数k加在第j列,记为kci+cj.
矩阵的初等列变换在处理其他问题时有其独特作用. 矩阵的初等变换: 初等行变换 & 初等列变换. 等价矩阵: 矩阵A经若干次初等(行、列)变换得到的矩阵B, 则称A与B等价, 记为A B . Remark 符号“”的使用有“变成”的意思, 前面已经使. 可以用“~”或“”，但绝对不能用“=” (P19).
矩阵等价的性质： (1)自反性: A A (2)对称性: 若A B, 则B A (3)传递性: 若A B且B C, 则A C 由于强调等价的传递性, 而不是对称性,使用“”表示矩阵间的等价关系是合理的.
矩阵的标准形(standard form): 使用矩阵的初等变换将左上角化为单位矩阵,而其余元素全为0. 可在其行阶梯形矩阵的基础上,再使用矩阵的初等列变换.