第八讲 点群(III)

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4) 6(C6) 3(C3) 23(T) 1(Ci) m (C1h) mm2 (C2v) m3 (Th) 2/m (C2h) mmm (D2h) 4mm (C4v) 6mm (C6v) 32(D3) 43m (Td) 4/mmm(D4h) 6/mmm (D6h) 3(S6) 432 (O) 32种点群符号 422 (D4) 622 (D6) 3m(D3d) m3m (Oh) 4 (S4) 6 (C3h) 42m (D2d) 62 (D3h)

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

完全符号 简略符号 熊夫利斯符号 112 11m 112/m 2 m 2/m C2 C1h(Cs) C2h

分子的点群

意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。 复习： 第三讲 晶体投影 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。

极射赤面投影   /2 Op = r tan(/2) N P A p O S 球面 基圆 r 基圆平面 极距角、方位角 球面坐标：极距角、方位角。纬线、经线、子午面。

B A S N O B A N B A N 可相对任意旋转！ B B N A N A

例：铜单晶体的极射赤面投影 (001) (100) (010) y x z (110) (101) (011) (111)

镜面？ Op = r tan(/2) r = 1,  = 45o (54.73o) 求Op = 0.414 (0.518) O N S

100 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

x y 111 010 100 001 110 011 101 (111) 001 100 010 Cu单晶体的极射赤面投影

45o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’ 60o Cu单晶体的极射赤面投影

x y 极射赤面（平）投影 z 立方晶系中的3h，6d

立方晶系中的3h，6d y x z x y

010 100 001

立方晶系 23 (3L24L3) x y {3[111]}{3[111]} = {2[010]} 没有4次轴！

m3 (2/m3, 3L24L33PC) 立方晶系 y x 没有4次轴！ {3[111]}{m[001]} = {35[111]} = -0 -1 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

立方晶系 43m (3Li44L36P) y x 没有4次真旋转轴！

立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y 有4次轴！

立方晶系 m3m (3L44L36L29PC) x y 有4次轴！

m3m (3L44L36L29PC)

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 2/m mmm 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

复习： 第五、六、七讲 点群(1) and (II)

对称操作元素 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 6 (S35, Li6) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 特征点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c,  =  = 90o≠ a≠b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m

结晶学点群：32种 结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。 对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群： 1、封闭性 （任意两个操作的积还是集合内的一个操作） 2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作 4、操作的乘法满足结合律 A(BC) = (AB)C

c 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) = r = xa + yb + zc x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c r (x,y,z) r’ (x’,y’,z’)   b  a  = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜 只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

1 (L1) 三斜晶系 1 (C)

单斜晶系 (主轴 c) 2/m (L2PC) 2 (L2) m (P) E; C2; i; h 1; 2; 1; 2(m) 主轴 b

222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 正交晶系 2/m 2/m 2/m E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v

四方晶系 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P)

四方晶系

6 (Li6) 六方晶系 6/m (L6PC) 6mm (L66P) 6/mmm (L66L27PC) 6 (L6)

62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2) 六方晶系 62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2)

三方晶系 3m1 31m 321 312 3m1 31m 3m (L33P) 3 (L3) 3 (L3C) 3m (L33L23PC)

Tetragonal T Th Td Octahedral O Oh

第八讲 点群(III)

符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜 只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

100 立方晶系 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

y x z 111 010 100 001 110 011 101 (111) y 001 100 x 010 Cu单晶体的极射赤面投影

y x z y x 立方晶系中的3h，6d 极射赤面（平）投影

x y 010 111 100 001 110 011 101 面、方向、轴 45o, 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’, 60o

立方晶系中的3h，6d y x z x y 45o 60o 90o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’

x y x y 立方点群中的2次轴 注意：没有镜面

23 m3

立方点群中的4、4次轴 x y x y 注意：没有镜面

x y 010 111 100 001 110 011 101 一般点及其操作 y z x 3、4、2次轴

立方晶系 23 (3L24L3) {3[111]}{3[111]} = {2[010]} X y X x 没有4次轴！

立方晶系 m3 (2/m3, 3L24L33PC) y x z X y X 没有4次轴！ X 没有4次轴！ 左右手问题 x

立方晶系 43m (3Li44L36P) y X x 没有4次真旋转轴！

立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y z y x 有4次轴！

立方晶系 m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC) y x z x y 有4次轴！

Tetragonal T Th Td Octahedral O Oh Td

1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 6(L6) 3(L3) 23(3L24L3) 1(C) m(P) mm2 (L22P) 4/m (L4PC) 6/m (L6PC) 3m (L33P) m3 (3L24L33PC) 2/m (L2PC) mmm (3L23PC) 4mm (L44P) 6mm (L66P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) 3(Li3) 432 (3L44L36L2) 422 (L44L2) 622 (L66L2) 3m (Li33L23P) m3m (3L44L36L29PC) 4 (Li4) 6 (Li6) 42m (Li42L22P) 62m (Li63L23P)

4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) m3m (3L44L36L29PC) 4/mmm(L44L25PC) E, 2C4, C2, 2C2’, 2C2”, σh, 2σv, 2σd , i, 2S4 6/mmm (L66L27PC) 6/mmm (L66L27PC) E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd, i, 2S3, 2S6 m3m (3L44L36L29PC) E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd i, 8S6, 6S4, m3m (3L44L36L29PC)

4/m (L4PC) y x 4; 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 4 (C4, L4) 去对称心 4 (S43, Li4) 4; 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4

4/mmm (L44L25PC) 四方晶系 y x 完全的国际符号：4/m 2/m 2/m 去对称心 E; 2C4; C2; 2C2’; 2C2” ; i; 2S4; h; 2v; 2d

从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号 11种纯旋转群： 1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432 1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432 C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O 循环点群 二面体点群 立方点群 11种中心对称点群： 1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh 10种新子群： m3 m3m 1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m 4 6 mm2 3m 4mm 42m 6mm 62m 43m C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3h Td

推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号 五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn×{E, σh} (5 种) 推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号 五种循环群 Cn (5 种) 1 2 3 4 6 Cnh = Cn×{E, σh} (5 种) m 2/m 6 4/m 6/m Cnv = Cn×{E, σv} (4 种, C1v=C1h) mm2 3m 4mm 6mm Dn = Cn×{E, C2[100] } (4 种) 222 32 422 622 Dnh = Cnh×{E, d} (4 种) mmm 62m 4/mmm 6/mmm 非真旋转 Sn (3 种，n =2, 4, 6) 1 4 3 Dnd = S2n × {E, C2[100] } (n =2, 3 共2种) 3m 42m 立方点群(无主轴）5 种: T, Th, Td, O, Oh 23 m3 43m 432 m3m

二维点群 1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 6(L6) 3(L3) 23(3L24L3) 1(C) m(P) mm2 (L22P) 4/m (L4PC) 6/m (L6PC) 3m (L33P) m3 (3L24L33PC) 2/m (L2PC) mmm (3L23PC) 4mm (L44P) 6mm (L66P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) 3(Li3) 432 (3L44L36L2) 二维点群 422 (L44L2) 622 (L66L2) 3m (Li33L23P) m3m (3L44L36L29PC) 4 (Li4) 6 (Li6) 42m (Li42L22P) 62m (Li63L23P)

点阵 点群 空间群 对应图像 p P, c 十七种二维空间群 序号 斜形 矩形 正方形 六方形 1 2 m 2mm 4 4mm 3 3m 6 p3m1 p31m p6 p6mm p2mm p2mg p2gg c2mm 2mm 7 8 9 10 p4mm c4gm 4mm 11 12 13 14 15 16 17 p1m1 p1g1 c1m1 m 5

作业： 按晶系用国际符号及熊夫利斯符号，写出32种点群的对称元素。