数字信号处理 by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2012

第4章 数字滤波器的结构 4.1 引言 4.2 用信号流图表示网络结构 4.3 IIR系统的基本网络结构 4.4 FIR系统的基本网络结构 4.1 引言 4.2 用信号流图表示网络结构 4.3 IIR系统的基本网络结构 4.4 FIR系统的基本网络结构 4.5 FIR系统的线性相位结构 4.6 FIR系统的频率采样结构 4.7 数字信号处理中的量化效应 2

4.1 引言 本章内容 数字滤波器的设计与实现 （1）确定性能指标 （2）求系统函数H(z) 已知 （3）确定运算结构 寻求 4.1 引言 数字滤波器的设计与实现 （1）确定性能指标 （2）求系统函数H(z) 已知 本章内容 （3）确定运算结构 寻求 （4）确定实现方法 关键点：同一个H(z)可以写成不同形式，因此可以由不同结构来实现。 3

一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 其系统函数H(z)为

给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如： 不同算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统复杂程度和成本 5

4.2 用信号流图表示网络结构 基本运算单元的方框图及流图表示 基本运算单元 方框图 流图 单位延时 乘法器 加法器 6

节点 支路 流图结构 源节点 输出节点 网络节点 输入支路 输出支路 分支节点 相加器 节点的值=所有输入支路的值之和 支路的值=支路起点处的节点值×传输系数 支路 输入支路 输出支路 7

流图的化简 （1）并联支路 （2）串联支路 （3）反馈支路 8

例： (4.2.1) 可得 图4.2.2 信号流图 (a)基本信号流图；(b)非基本信号流图 9

(1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； 基本信号流图 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。 10

FIR网络 v.s. IIR网络 FIR：无反馈支路 差分方程， 单位脉冲响应h(n)有限长， IIR：有反馈支路 差分方程，例如： 11

4.3 IIR系统的基本网络结构 IIR的三种结构：直接型、级联型、并联型 1.直接型 N阶差分方程： 系统函数： 12

1!!! 1!!! 图4.3.1 IIR网络直接型结构 13

例4.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为 画出该滤波器的直接型结构。 解：由H(z)写出差分方程 14

图4.3.2 例4.3.1图 15

（2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点； 直接型特点 （1）简单直观, 运算速度快, 要求的内存少； （2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点； （3）系数的有限字长效应对零、极点位置的影响很大，甚至可能使原设计稳定的滤波器变为不稳定的。 ∴直接型结构多用于低阶（2~3阶）滤波器。 16

将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解 2. 级联型 将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解 (4.3.1) Cr、dr为零、极点。由于它们是实数或共轭成对复数，因此上式可写作： (4.3.2) 其中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。 17

Hj(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，可由直接型网络结构表示： 图4.3.3 一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 结论：Hj(z)网络级联构成H(z) 网络。 18

例4.3.2 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到 图4.3.4 例4.3.2图 图4.3.4 例4.3.2图 19

（1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点； 级联型特点 （1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点； （2）能直接调整滤波器系统函数的零、极点； （3）信号不会回流，运算误差的积累比直接型小； 20

结论：Hi(z)网络并联构成H(z) 网络。 3.并联型 将H(z)展成部分分式形式 (4.3.4) Hi(z) 为一阶或二阶网络， β0i、β1i、α1i和α2i为实数。 结论：Hi(z)网络并联构成H(z) 网络。 21

将每部分用直接型结构实现，然后并联。 例4.3.3 画出例题4.3.2中的H(z)的并联型结构。 解：将H(z)展成部分分式形式： 图4.3.5 例4.3.3图 22

（2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小； 并联型特点： （1）可以直接控制极点； （2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小； （3）有限字长效应的影响小； （4）零点不能独立地调节（二阶节的零点并不一定是系统的零点）； （5）系数较多 → 乘法次数多。 23

4.4 FIR系统的基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为 24

1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图4.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。 图4.4.1 FIR直接型网络结构 25

2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例4.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 26

其直接型结构和级联型结构如图所示。 解：将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 图4.4.2 例4.4.1图 特点比较： （1）级联型的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点 （2）系数比直接型多，所需的乘法运算多 27

4.5 线性相位FIR数字滤波器 什么是线性相位FIR？ 考虑长度为N的h(n)，系统函数为： 频率响应函数为： (4.5.1) (4.5.2) Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。 28

严格地说， (4.5.4) 中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 H(ejω)线性相位是指： θ(ω)是ω的线性函数，即 τ为常数 (4.5.3)   或θ(ω)满足下式： ,θ0是起始相位 (4.5.4) 严格地说， (4.5.4) 中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 第一类线性相位 第二类线性相位 29

线性相位条件： 注意：充分条件 第一类线性相位： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 第二类线性相位： (4.5.5) 第二类线性相位： h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 (4.5.6) 30

第一类线性相位条件证明： 令m=N-n-1 31

z=ejω 32

第二类线性相位条件证明： 令m=N-n-1 33

34

幅度特性Hg(ω)的特点 Case 1：第一类线性相位、N为奇数 h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2 35

可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器 cosω(n-τ)对ω=0,π,2π皆为偶对称 因此Hg(ω) 也对ω=0,π,2π是偶对称的。 可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器 36

幅度特性Hg(ω)的特点 Case 2：第一类线性相位、N为偶数 与N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 37

因此Hg(π)=0， Hg(ω)关于ω=π是奇对称，关于ω=0, 2π偶对称 因为N是偶数，所以当ω=π时有： cosω(n-τ)对ω=π为奇对称 对ω=0, 2π皆为偶对称 因此Hg(π)=0， Hg(ω)关于ω=π是奇对称，关于ω=0, 2π偶对称 可以实现低通和带通 不能实现高通和带阻滤波器 38

39

幅度特性Hg(ω)的特点 Case 3：第二类线性相位、N为奇数 h(n)奇对称，因此 40

因为N是奇数，所以τ=(N-1)/2是整数。 当ω=0,π,2π 时，sinω(n-τ)=0 且sinω(n-τ)对过零点奇对称 因此，Hg(ω)关于ω=0,π,2π是奇对称 只能实现带通滤波器 不能实现低通、高通和带阻 41

幅度特性Hg(ω)的特点 Case 4：第二类线性相位、N为偶数 因为N是偶数，所以τ=(N-1)/2=N/2-1/2。 当ω=0, 2π 时，sinω(n-τ)=0；当ω=0, 2π 时，sinω(n-τ)=±1，为峰值点 sinω(n-τ)对过零点奇对称，对峰值点偶对称 因此，Hg(ω)关于ω=0, 2π是奇对称，关于ω=π偶对称 可以实现高通和带通 不能实现低通和带阻 42

43

线性相位FIR滤波器零点分布特点 在第一类和第二类线性相位系统的证明中用到： 第一类取‘+’第二类取‘－’ 如果zi为H(z)的零点： 由于h(n)为实序列，零点共轭成对： zi*和(zi*)-1也是零点 44

线性相位FIR滤波器零点分布特点 图4.5.1 线性相位FIR滤波器零点分布 45

回顾线性相位FIR滤波器网络结构： N为偶数： N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单独列出: 第一类取‘+’第二类取‘－’ 46

图4.5.2 第一类线性相位网络结构 47

图4.5.3 第二类线性相位网络结构 48

4.6 FIR系统的频率采样结构 由DFT可知，H(z)与频域采样值H(k)满足 （4.6.1） 条件：满足频率域采样定理，即频率域采样点数N大于等于原序列的长度M 推论：M有限，因此频率采样结构只使用于FIR，不适用于IIR 49

将(4.6.1)式写成下式： (4.6.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为 Hc(z) 零点与Hk(z)极点对消 50

图4.6.1 FIR滤波器频率采样结构 51

(1)便于调整：在频率采样点ωk， ，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性 优点： (1)便于调整：在频率采样点ωk， ，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性 (2)便于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同 缺点： (1)系统稳定性脆弱：位于单位圆上的N个零极点对消 (2)硬件实现不方便：H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算 52

(1) 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为 修正： (1) 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为 (4.6.3) 53

(2) 将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为Hk(z) 由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)；且WN-(N-k)=WNk=(WN-k)* (2) 将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为Hk(z) 其中，实系数为： 54

其中，H(0)和H(N/2)为实数。 当N为偶数时，H(z)可表示为 (4.6.4) 55

当N为奇数时，H(0)为实数，H(z)可表示为 (4.6.5) 56

4.7 数字信号处理中的量化效应 信号x(n)值量化后用Q[x(n)]表示， 量化误差用e(n)表示， 4.7 数字信号处理中的量化效应 信号x(n)值量化后用Q[x(n)]表示， 量化误差用e(n)表示，  e(n)=Q[x(n)]-x(n) 图 4.7.1 量化噪声e(n)的概率密度曲线 (a) 截尾法； (b) 舍入法 57

A/D变换器的功能原理图如图 4.7.2(a)所示， 图中 是量化编码后的输出， 如果未量化的二进制编码用x(n)表示， 那么量化噪声为e(n) = -x(n)， 因此A/D变换器的输出 为 (4.7.1) 那么考虑A/D变换器的量化效应， 其方框图如图 4.7.2(b)所示。 这样， 由于e(n)的存在而降低了输出端 的信噪比。 58

(a) A/DC变换器功能原理图； (b) 考虑量化效应的方框图 59

假设A/D变换器输入信号xa(t)不含噪声， 输出 中仅考虑量化噪声e(n)，信号xa(t)平均功率用 表示， e(n)的平均功率用 表示， 输出信噪比用S/N表示， 或者用dB数表示 (4.7.2) A/D变换器采用定点舍入法， e(n)的统计平均值 me=0， 方差 60

为充分利用其动态范围， 取 ，代入(4.7.3)式， 得 将 代入(4.7.2)式， 得到: (4.7.3) 为充分利用其动态范围， 取 ，代入(4.7.3)式， 得 61

数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示： 2. 数字网络中系数的量化效应 数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示： 式中的系数br和ar必须用有限位二进制数进行量化， 存贮在有限长的寄存器中,经过量化后的系数用 和 表示，量化误差用Δbr和Δar表示，   62

(4.7.4) 对于N阶系统函数的N个系数ar，都会产生量化误差Δar，每一个系数的量化误差都会影响第i个极点Pi的偏移。可以推导出第i个极点的偏移ΔPi服从下面公式： (4.7.5) 63

推导过程 64

(3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数愈高， 系数量化效应的影响愈大， 因而极点偏移愈大。 上式表明极点偏移的大小与以下因素有关： (1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数愈高， 系数量化效应的影响愈大， 因而极点偏移愈大。 系统的结构最好不要用高阶的直接型结构，而将其分解成一阶或者二阶系统，再将它们进行并联或者串联，以减小极点偏移量。 65

例：设计一带通滤波器，并对其系数用16位字长量化，其中尾数15位。 66

3. 数字网络中的运算量化效应 1) 运算量化效应 考虑定点乘法运算： 67

在图 4.7.3 中，有两个乘法支路，采用定点制时共引入两个噪声源，即e1(n)和e2(n)，噪声e2(n)直接输出， 噪声e1(n)经过网络h(n)输出，输出噪声ef(n)为 图 4.7.3 考虑运算量化效应的一阶网络结构 68

ef(n)=e1(n)*h(n)+e2(n) 如果尾数处理采用定点舍入法， 则输出端噪声平均值为   如果尾数处理采用定点舍入法， 则输出端噪声平均值为  上式中E[ ]表示求统计平均值， m1和m2分别 表示两个噪声源的统计平均值， 这里m1=m2=0， 因 此， 69

由于e1(n)和e2(n)互不相关，求输出端噪声方差时， 可分别求其在输出端的方差，再相加。这里，每个噪声源的方差均为 输出端的噪声ef(n)的方差为 70

式中，ef1(n)和ef2(n)分别表示e1(n)和e2(n)在输出端的输出； 71

根据帕斯维尔定理， 也可以用下式计算： 72

网络采用定点补码制， 尾数处理采用舍入法。 试 分别计算直接型、 级联型和并联型结构输出噪声功率。 2) 网络结构对输出噪声的影响 例 4.7.1 已知网络系统函数为 网络采用定点补码制， 尾数处理采用舍入法。 试 分别计算直接型、 级联型和并联型结构输出噪声功率。 解 73

图 4.7.4 例 4.7.1 的网络结构图 74

(1) 直接型。 式中 75

2) 级联型。 式中 76

3) 并联型。 77

输入信号x(n)方差为 ，均值mx=0，输出端信号功率用 表示， 输出信噪比S/N用信号和噪声的功率比计算 输出信噪比随量化位数b增加而增加 并联型网络结构输出信噪比最大，直接型最差 78