第五章 数理统计的基本知识 §5.3 数理统计中的某些常用分布

§5.3 数理统计中的某些常用分布 1.标准正态分布的 分位数 [定义1] 设随机变量 若 则称 为此正态分布的上侧 分位数. 即

[例1] 求标准正态分布的水平为 的上侧分位数. 其中 解： 查表得 即标准正态分布的水平为0.05的上侧分位数为1.645. §5.3 数理统计中的某些常用分布 [例1] 求标准正态分布的水平为 的上侧分位数. 其中 解： 查表得 即标准正态分布的水平为0.05的上侧分位数为1.645.

2.数理统计中的三大分布  分布 [定理1] 则随机变量 的概率密度为 称为自由度为 的 分布，并记作 . §5.3 数理统计中的某些常用分布 2.数理统计中的三大分布  分布 [定理1] 则随机变量 的概率密度为 称为自由度为 的 分布，并记作 .

§5.3 数理统计中的某些常用分布 其中 时，其概率密度为

§5.3 数理统计中的某些常用分布 时，其概率密度为

§5.3 数理统计中的某些常用分布

§5.3 数理统计中的某些常用分布 分布的性质： 近似于正态分布. （附表3）:

§5.3 数理统计中的某些常用分布 例如： 即当 时, 上侧 分位数

§5.3 数理统计中的某些常用分布 有时需要考虑双侧情形： 例如：

§5.3 数理统计中的某些常用分布 分布 分布)  [定理2] 的概率密度为 称为自由度为 的 分布，并记作 .

Student(学生)分布 为什么叫学生分布？因为它是在1908年由英国威廉 戈塞（William S. Gosset）以Student的笔名所发表的。 The derivation of the t-distribution was first published in 1908 by William Sealy Gosset, while he worked at a Guinness brewery （吉尼斯啤酒厂）in Dublin. He was not allowed to publish under his own name, so the paper was written under the pseudonym Student. The t-test and the associated theory became well-known through the work of R.A. Fisher, who called the distribution "Student's distribution".

威廉 戈塞(William Sealey Gosset) （1876.6.13－1937.10.16）

威廉 戈塞(William Sealey Gosset) 　　戈塞是现代统计方法发展的先驱，由他导出的统计学T检验广泛运用于小样本平均数之间的差别测试。他曾在伦敦大学K.皮尔逊生物统计学实验室从事研究（1906-1907）。1899年，戈塞进入都柏林的A.吉尼斯父子酿酒厂，在那里可得到一大堆有关酿造方法、原料（大麦等）特性和成品质量之间的关系的统计数据。提高大麦质量的重要性最终促使他研究农田试验计划，并于1904年写成第一篇报告《误差法则应用》。 这篇论文阐明，如果是小样本，那么平均数比例对其标准误差的分布不遵循正态曲线。由于吉尼斯酿酒厂的规定禁止戈塞发表关于酿酒过程变化性的研究成果，因此戈塞不得不于1908年以“学生”的笔名发表他的论文，导致该统计被称为“学生的T检验”。威廉 戈塞这些论文于1942年以《“学生”论文集》为书名重新发行。

§5.3 数理统计中的某些常用分布 （附表4）: 例如:

§5.3 数理统计中的某些常用分布 分布的分布曲线关于纵坐标轴对称. 于是 （一般 时二者就很近似了), 因此有

§5.3 数理统计中的某些常用分布

§5.3 数理统计中的某些常用分布 分布 (Fisher)  [定理3] 设随机变量 与 相互独立， 则随机变量 的概率密度为

历史人物：Fisher 费希尔 （Fisher, Ronald Aylmer） (1890—1962)

费希尔的历史贡献 费希尔是现代数理统计学的主要奠基人之一，给出了很多现代统计学的基础概念，他对现代数理统计的形成和发展作出了重大的贡献.20世纪20年代，他系统地发展了正态总体下种种统计量的抽样分布，这标志着相关、回归和多元分析等分支的初步建立；1912—1925年，他建立了以最大似然估计为中心的点估计理论；20世纪30年代，他与耶茨合作创立了实验设计，并发展了与这种设计相适应的数据分析方法──方差分析法.他在假设检验的发展中也起过重要作用.另外，费希尔发现戈塞的t分布在分析试验结果时十分有用，但戈塞推导t分布的方法是极不完整的，费希尔利用n维几何方法（多重积分法）给出了完整的证明.

§5.3 数理统计中的某些常用分布

§5.3 数理统计中的某些常用分布 分布的性质： 分布的上侧 （附表5）: 例如:

§5.3 数理统计中的某些常用分布 例如:

§5.3 数理统计中的某些常用分布 例如:

§5.3 数理统计中的某些常用分布 小结 1. 2.利用附表查三种分布的上侧分位数并求概率.

思考题 设随机变量 和 都服从标准正态分布，则 （A） 服从正态分布 （B） 服从 分布 （C） 和 都服从 分布 （D） 服从 分析: §5.3 数理统计中的某些常用分布 思考题 设随机变量 和 都服从标准正态分布，则 （A） 服从正态分布 （B） 服从 分布 （C） 和 都服从 分布 （D） 服从 分析: 如果 与 相互独立且都服从标准正态分布， 则（A）、（B）、（C）、（D）四个答案都正确。 现在因为并未指出 与 相互独立， 所以不能肯定 （A）、（B）、（D）正确. 答案应选（C）

§5.3 数理统计中的某些常用分布 补充例题 [例1] 证明 证: 设 则 相互独立.

§5.3 数理统计中的某些常用分布 [例2] 证明 证明: