材料力学 刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社 教师：朱林利/赵沛，副教授， llzhu@zju.edu.cn 航空航天学院 应用力学研究所 助教：王韫璐，WebChat：wangyl35 作业、课件等相关信息网址： http://mypage.zju.edu.cn/mmllzhu/ 目录

材料力学 第七章 应力应变分析 强度理论 Mechanics of Materials Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria

知识要点回顾 一点的应力状态 应力状态的研究方法 单元体、主单元体 应力状态的分类 空间应力；平面应力；单向应力

(Analysis of plane stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) x x y z y xy yx x y xy yx 平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和  y , yx

一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section) 1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象 x y a x yx xy  n e f a x xy yx y α α α n e f

2、符号的确定 (Sign convention) x y a x yx xy e f  n e f a x xy yx y α α α n 2、符号的确定 (Sign convention) (1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正 (2)正应力仍规定拉应力为正 (3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正

3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) f a x xy yx y α α α n e f a α dA dAsin dAcos 3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得

即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 e f a x xy yx y α α α n 化简以上两个平衡方程最后得 不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

(Maximum normal stress and it’s direction) 二、最大正应力及方位 (Maximum normal stress and it’s direction) 1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress ) 令 0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.

2、最大正应力(Maximum normal stress ) 将 0和 0+90°代入公式 得到 max 和  min (主应力） 下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角

若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下 (1)当x> y 时 ， 0 是x与max之间的夹角 (2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角 (3)当x=y 时 ，0 =45°，主应力的方向可由单元体上 切应力情况直观判断出来

(Maximum shearing stress and it’s direction) 二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) 1、最大切应力的方位(The direction of maximum shearing stress ) 令 1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.

2、最大切应力(Maximum shearing stress ) 将 1和 1+90°代入公式 得到 max和min 比较 和 可见

例题4 简支梁如图所示. 已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切 应力分别为 =-70MPa， =50MPa 例题4 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切 应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面 的方位.  A  m a l 解： 把从A点处截取的单元体放大如图 A  

因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应 1 3 A 0 x A   因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应

例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa 例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位. x y xy n 30° e f (1) 求 ef 截面上的应力

(2) 求主应力和主单元体的方位 x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa =-30° 因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应

x y xy 1 3 22.5°

例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. 例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. 解 （1）求主平面方位 1 3 xy 45° 因为 x = y ，且 x > 0 所以0= -45°与 max 对应 （2）求主应力 1 =  ， 2 = 0 ， 3 = - 

(Analysis of plane stress-state with graphical means) §7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means) 一、莫尔圆(Mohr’s circle) 将斜截面应力计算公式改写为 2 + 2

因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为 变量的圆周方程。当斜截面随方位角  变化时, 其上的应力 ，  在 -  直角坐标系内的轨迹是一个圆 . 1、圆心的坐标 (Coordinate of circle center) 2、圆的半径（Radius of circle) 此圆习惯上称为 应力圆( plane stress circle) , 或称为莫尔圆(Mohr’s circle)

二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle) x y x yx xy y o   1、步骤（Steps) (1) 建  -  坐标系 ,选定比例尺

(4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点 x y x yx xy  D xy y B x A o yx D′ C  (2) 量取 OA=  x AD =  xy 得 D 点 (3) 量取 OB= y BD′= yx 得 D′ 点 (4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点 (5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆

2、证明(Prove) (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 xy o yx (2)该圆半径为 D   x A y B yx D′ C 2、证明(Prove) (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 (2)该圆半径为

三、应力圆的应用（Application of stress-circle) 1、求单元体上任一 截面上的应力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle) 从应力圆的半径 CD 按方位角  的转向 转动 2 得到半径 CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力  和切应力  。 D xy o   x A y B yx D′ C 20 x y a x yx xy E 2  n F e f

D xy o   x A y B yx D′ C 20 E 2 F 证明：

说 明 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 2   O C B A A B 

D xy o   x A y B yx D′ C 20 F E 2 2、求主应力数值和主平面位置 (Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle) 2 B1 (1)主应力数值 1 A1 A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2

（2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 xy 针转 0 （负值）即到 1 o B yx D′ C 1 2 A1 B1 （2）主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线 20 0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定

3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle) xy o   x A y B yx D′ C 1 2 A1 B1 3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle) G1 G2 20 G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力 因为最大最小切应力 等于应力圆的半径

例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, 例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , (1)绘出相应的应力圆 (2)确定此单元体在  =30°和 = - 40°两斜面上的应力。 解: (1) 画应力圆 量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点; OB =y= - 0.4和， BD′ = yx= 0.2 , 定出 D′点 . 以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。 x y xy   o D′ (-0.4,0.2) C A B (-1,-0.2) D

将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 代表  = 30°斜截面上的应力。 (2) 确定  = 30°斜截面上的应力 将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 代表  = 30°斜截面上的应力。 (3) 确定  = - 40°斜截面上的应力 将 半径 CD顺时针转 2 = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40° 斜截面上的应力。 A D′ C   B o D  40° F 80° 40° 30°= - 0.36MPa 30°= - 0.68MPa 40°= 0.26MPa -40°= - 0.95MPa 30° E 60°  30°

例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。 120 15 270 9 z a b 250KN 1.6m 2m A B C

解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN Mmax = MC = 80 kN•m B C 解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN Mmax = MC = 80 kN•m + 200kN 50kN + 80kN.m

120 15 270 9 z a b (2)横截面 C上a 点的应力为 a x xy yx a点的单元体如图所示

(3)做应力圆 x =122.5MPa， xy =64.6MPa y=0， xy =-64.6MPa 由 x ， xy 定出 D 点 由 y ， yx 定出 D′ 点   以 DD′为直径作应力圆 (122.5 , 64.6) D A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力  1 和  3 A C A2 B O A1 3 1 (0 , - 64.6) D′ A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面

a (4)横截面 C上b点的应力 b点的单元体如图所示 b 3 yx 1 x 0 xy 120 15 9 z 270 x a

b 点的三个主应力为 b 1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C x  (136.5 , 0) D  D′ (0 , 0) D′ 1

第十周作业1： 7.8、7.10、7.13、7.17、7.18

本次课完！ 祝大家学习愉快!