第五讲 点群(I)

晶体对称的特点：晶体外形的对称性（宏观对称 性）决定于晶体内部结构的对称性（微观对称性）。所有的晶 体结构都是对称的。晶体外形是有限图形，宏观对称是有限的， 而微观对称被视作无限的。晶体的对称不仅体现在外形上，同 时也体现在物理性质上。 我们必须记住：对于晶体结构，所讨论的是单胞连同其中所含实体的对称性，而不是阵点排成的裸单胞的对称性 重要概念：对称操作、点对称操作、对称元素、参考轴、对称操作算符、真旋转、非真旋转、操作符号 1 (E，L1)

旋转反映操作和反轴

旋转反映操作和反轴

旋转反演操作和映轴

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m n/m 表示晶面垂直于n次旋转轴 三 斜 单 斜 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2/m 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o mmm 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m n/m 表示晶面垂直于n次旋转轴

完全符号 简略符号 熊夫利斯符号 112 11m 112/m 2 m 2/m C2 C1h(Cs) C2h

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4) 6(C6) 3(C3) 23(T) 1(Ci) m (C1h) mm2 (C2v) m3 (Th) 2/m (C2h) mmm (D2h) 4mm (C4v) 6mm (C6v) 32(D3) 43m (Td) 4/mmm(D4h) 6/mmm (D6h) 3(S6) 432 (O) 32种点群符号 422 (D4) 622 (D6) 3m(D3d) m3m (Oh) 4 (S4) 6 (C3h) 42m (D2d) 62 (D3h)

复习： 第四讲 点对称操作、晶系

第四讲(I) 点对称操作 点对称操作(R)：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。比较：平移操作(t)

对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。 对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符 b a c 对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。 点对称操作：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。 苯分子

1, 2, 3, 4, 5, 6, …  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) t’ A’ B’   A B 1, 2, 3, 4, 5, 6, … t’ A’ B’  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6)   A B t’ = mt t n + t

c 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) = r = xa + yb + zc x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c (x’,y’,z’) (x,y,z) r’ r   b  a  = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 正交矩阵 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1

镜面 对称心(i)，反演 m[001] = = m[010] = m[100] = m[110] = m[110] = x’ y’ z’ -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[010] x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[100] x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[110] x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 m[110] x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

m[001] ( = 90o) = m[001] ( = 120o) = m[100] ( = 120o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[001] ( = 120o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[100] ( = 120o) m[100] ( = 90o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 对称心(i)，反演 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 =

b a b a 直角坐标 六角坐标

1 (E, L1)  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 包含恒等

 = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 2 (C2, L2) + + + + _ + _

 = 360o/n 3 (C3, L3); 33; 333 (n = 1,2,3,4,6) 3 (C3, L3) = x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1  = 90o 直角坐标 [111] ?  = 120o 六角坐标

 = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 4 (C4, L4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1

6 (C6, L6) 6 (C6, L6); 62 = 3; 63 = 2; 64; 65; 66 = 1

1 (i, C) + _ , + _ , + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作

点阵 点群 空间群 对应图像 p P, c 十七种二维空间群 序号 斜形 矩形 正方形 六方形 1 2 m 2mm 4 4mm 3 3m 6 p3m1 p31m p6 p6mm p2mm p2mg p2gg c2mm 2mm 7 8 9 10 p4mm c4gm 4mm 11 12 13 14 15 16 17 p1m1 p1g1 c1m1 m 5

2 (σ, P), m _ , + + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作 + _ ,

n = 1n (iCn), Sn = σCn 4 (S43, Li4)

3 (S65, Li3) 3 (S65, Li3) = 3+C

6 (S35, Li6) 6 (S35, Li6) = 3+P

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

对称操作元素 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

四方双锥晶类 y x 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43 4/m (L4PC) 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43 C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4

点对称操作 n = 1n (iCn), Sn = σCn 1 (E, L1) 1 (i, C) 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m (σh, σv, σd) 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) (C31, C32, C33) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

第四讲(II) 晶系 七种晶系的提出，正是由于将各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的各个轴(或点阵平移矢量)所得到的结果。 晶系是由晶体的对称性来划分的。单胞几何形状(晶胞参数)的限制是对称性要求的结果。

七种晶系 对称条件 晶系 特点 1(E)或1(i) 三 斜 a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  2(C2)或2(m) 单 斜 三 斜 a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  2(C2)或2(m) 单 斜 a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠  两个2(C2)或2(m) 正 交 a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90o 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b ≠ c,  =  =  = 90o 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o

这里(x, y, z) 和 (x’, y’, z’) 可以是单胞轴长的分数，表示原子位置。 r r’ a b c     = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 这里(x, y, z) 和 (x’, y’, z’) 可以是单胞轴长的分数，表示原子位置。

两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，所以对单胞的几何形状没有特别限制，即： 恒等 E 三斜晶系： x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = 1(E)或1(i) 对称心(i)，反演 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = 两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，所以对单胞的几何形状没有特别限制，即： a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠ 

2[001] 单斜晶系： = r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc m[001] = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 2(C2)或2(m) r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc m[001] x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 2次旋转不变要求： r’ = {m[001]}r = xa + yb – zc – xa · zc = xa · zc  = 90o a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠ 

a≠ b≠ c,  =  =  = 90o r’ = {2[100]}r = xa –yb – zc r’ = {2[001]}r = – xa +yb – zc r’ = {2[001]}r = – xa –yb + zc a = b ≠ c,  =  =  = 90o r’ = {4[001]}r = – ya + xb + zc

Crystal Systems Crystal structures are divided into groups according to unit cell geometry (symmetry). 英文

七种晶系 对称条件 晶系 特点 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a ≠ b ≠ c,  ≠  ≠  a ≠ b ≠ c,  =  = 90o ≠  a ≠ b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  =  = 90o a = b ≠ c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c,  =  = 90o≠ a≠b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m

第四讲 32种点群(I) 结晶学点群：32种 研究点群的意义？ 结晶学点群是指一些点对称操作的集合，对称元素的组合可用来描述三维晶体的宏观对称性。 对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群： 1、封闭性 2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作 4、操作的乘法满足结合律 研究点群的意义？

对称操作元素 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

1 (L1) 三斜晶系 极射赤面（平）投影 一般形

1 (C) 三斜晶系

单斜晶系 (主轴 c) 2 (L2)

单斜晶系 (主轴 c) m (P)

单斜晶系 (主轴 c) 2/m (L2PC)

单斜晶系 (主轴 b) 2 (L2)

单斜晶系 (主轴 b) m (P)

单斜晶系 (主轴 b) 2/m (L2PC)

正交晶系 222 (3L2) x y

正交晶系 mm2 (mm;L22P) y x

正交晶系 mmm (3L23PC) y x

四方晶系 4 (L4) x y

四方晶系 x y 4/m (L4PC)

四方晶系 4mm (L44P) y x

四方晶系 4/mmm (L44L25PC) x y

四方晶系 422 (42, L44L2) x y

四方晶系 4 (Li4) y x

四方晶系 42m (Li42L22P) y x

1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4) 6(C6) 3(C3) 23(T) 1(Ci) m (C1h) mm2 (C2v) m3 (Th) 2/m (C2h) mmm (D2h) 4mm (C4v) 6mm (C6v) 32(D3) 43m (Td) 4/mmm(D4h) 6/mmm (D6h) 3(S6) 432 (O) 32种点群符号 422 (D4) 622 (D6) 3m(D3d) m3m (Oh) 4 (S4) 6 (C3h) 42m (D2d) 62 (D3h)

点群各符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 6或6沿c 2或2a、b和a+b 3或3沿<111> 2或2沿<110> 4、4、2或2沿<100> 1 (L1) 2 (L2)

习题： 结晶学 Page 46-47: 1, 4, 6, 7