二次項係數為1的十字交乘法 二次項係數不為1的十字交乘法 自我評量

在第1章學過多項式乘法，例如 ：（ x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6 ； 2×3 （2＋3）x

反之，要將 x2＋5x＋6分解為兩個一次因式的乘積，可以假設： x2＋5x＋6＝（x＋p）（ x＋q） ＝x2＋（p＋q）x＋pq 則 p＋q＝5 ， p • q＝6。

由於滿足 p＋q＝5 的整數 p、 q 太多，可以先找滿足 p • q＝6 的整數p、 q ： ＝1 × 6 ＝2 × 3 ＝（－1）×（－6） ＝（－2）×（－3） 這幾種分解中，只有 p＝2、q＝3 才會滿足 p＋q＝5 ，所以： x2＋5x＋6＝（x＋2）（x＋3）

也可以記錄成： x ＋2 x2 6 x ＋3 3x＋2x＝5x 這種因式分解的方法稱為十字交乘法。

一般來說，如果x2＋bx＋c可以因式分解為（x＋p）（x＋q）的形式，因為（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，比較x2＋bx＋c與x2＋（p＋q）x＋pq兩式，我們可以發現 ： b＝p＋q c＝pq x 的係數 常數項

所以在因式分解形如x2＋bx＋c的二次三項式時，我們只要考慮如何找到兩整數p、 q，使它們相加的和為b，相乘的積為c。又因為兩數的和為b的可能性很多，所以我們都由分解常數項開始進行，再檢查和是否相符。

將x2分解為x‧x，常數項3可分解為3＝1 × 3＝(－1) × (－3)。利用十字交乘法寫成 解 配合習作P36基礎題1(1) 1二次項係數為1，常數項為正數 因式分解下列各式： (1) x2＋4x＋3 (2) x2－7x＋6 (1) 將x2分解為x‧x，常數項3可分解為3＝1 × 3＝(－1) × (－3)。利用十字交乘法寫成 解  x ＋1 x ＋3 3x＋x＝4x  x －1 x －3 －3x－x＝－4x(不合) 所以x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）。

(2) 解 常數項6可分解為 6＝1 × 6 ＝2 × 3 ＝ ( －1) × （－6 ) ＝ (－2 ) × （－3 ) 其中(－1) ＋ (－6) ＝－7 x －1 x －6 －6x－x＝－7x 所以x2－7x＋6 ＝（x－1）（x－6）。

由上一頁的例子可知： 分解為兩個正數相乘 一次項的係數為正 一次項的係數為負 當常數項 為正數時 分解為兩個負數相乘 依照這樣的原則，先將錯誤的分解方法刪去，可以減少嘗試的次數。

利用十字交乘法因式分解下列各式： (1) x2－11x＋18 x －2 x －9 －9x－2x＝－11x 所以x2－11x＋18＝(x－2)(x－9)

(2) x2＋27x＋72 x ＋3 x ＋24 24x＋3x＝27x 所以x2＋27x＋72＝(x＋3)(x＋24)

因式分解下列各式： (1) x2－x－6 (2) x2＋x－12 (1) 解 常數項－6 可分解為 －6＝1 ×（－6） ＝2 ×（－3） 配合習作P36基礎題 1(2)(3)(4) 2二次項係數為1，常數項為負數 因式分解下列各式： (1) x2－x－6 (2) x2＋x－12 (1) 解 常數項－6 可分解為 －6＝1 ×（－6） ＝2 ×（－3） ＝3 ×（－2） ＝6 ×（－1） 其中2＋(－3)＝－1。 x ＋2 x －3 －3x＋2x＝－x 所以x2－x－6 ＝（x＋2）（x－3）

(2) 解 常數項－12 可分解為 －12＝1‧（－12） ＝2‧（－6） ＝3‧（－4） ＝4‧（－3） ＝6‧（－2） ＝12‧（－1） 其中4＋（－3）＝1。 x ＋4 x －3 －3x＋4x＝x 所以x2＋x－12 ＝（x＋4）（x－3）

在例題2的第(1)題的解題過程中，如果將 x2項分解為（－x）•（－x），常數項－6分解為（－2）×3，可以得到 ： x2－x－6＝（－x－2）（－x＋3） －x －2 －x ＋3 －3x＋2x＝－x 但－x－2＝－（x＋2） －x＋3＝－（x－3） 所以（－x－2）（－x＋3）＝（x＋2）（x－3） 因此當x2項係數為正數時，只要考慮其正因數即可

由例題 2 可知： 一次項的係數為正 當常數項 一次項的係數為負 為負數時 分解的兩異號數中，正數的絕對值較大 分解的兩異號數中，負數的絕對值較大

因式分解下列各式： (1) x2＋x－30 x ＋6 x －5 －5x＋6x＝x 所以 x2＋x－30＝（x＋6）（ x－5）

(2) x2－x－2 x －2 x ＋1 x－2x＝－x 所以 x2－x－2＝（x－2）（ x＋1）

x2分解為x‧x，而12y2分解為(－3y)‧(－4y)。 交叉相乘，檢查中間xy 項剛好為－7xy。 解 配合習作P37基礎題 2(1) 3含有兩種文字符號的十字交乘法 因式分解x2－7xy＋12y2。 x2分解為x‧x，而12y2分解為(－3y)‧(－4y)。 交叉相乘，檢查中間xy 項剛好為－7xy。 解 x －3y x －4y －4xy－3xy＝－7xy 所以x2－7xy＋12y2＝（x－3y）（x－4y）。

利用十字交乘法因式分解下列各式： (1) x2－9xy＋18y2 x －3y x －6y －6xy－3xy＝－9xy 所以x2－9xy＋18y2 ＝（x－3y）（x－6y）

(2) x2y2＋11xy＋24 xy ＋3 xy ＋8 8xy＋3xy＝11xy 所以x2y2＋11xy＋24 ＝（xy＋3）（xy＋8）

因式分解3x2＋8x＋5 時，3x2可分解為3x‧x，常數項5 可分解為1×5，共有兩種交叉相乘的組合方式：   3x ＋1 x ＋5 15x＋x＝16x（不合） 3x ＋5 x ＋1 3x＋5x＝8x 所以3x2＋8x＋5＝（3x＋5）（x＋1）。

如果一個二次多項式ax2＋bx＋c可以因式分解為（px＋q）（rx＋s）的形式，利用十字交乘法記錄如下： ax2＝prx2 px ＋q rx ＋s psx＋qrx＝（ps＋qr）x＝bx qs＝c 所以要分解形如ax2＋bx＋c的多項式時，我們先將二次項係數a及常數項c分解，再檢查交叉相乘的結果，是否和一次項的係數相符。如果不相符，就需要再嘗試別種分解方式。

因式分解 5x2＋3x－2。 共有四種交叉相乘的組合方式 ： 解   x ＋1 5x －2 －2x＋5x＝3x x －1 5x ＋2 配合習作 P36、37 基礎題 1(5)、2(2)(3) 4二次項係數不為1，常數項為負數 因式分解 5x2＋3x－2。 共有四種交叉相乘的組合方式 ： 解   x ＋1 5x －2 －2x＋5x＝3x x －1 5x ＋2 2x－5x＝－3x（不合）

  x ＋2 5x －1 －x＋10x＝9x（不合） x －2 5x ＋1 x－10x＝－9x（不合） 解   x ＋2 5x －1 －x＋10x＝9x（不合） x －2 5x ＋1 x－10x＝－9x（不合） 所以 5x2＋3x－2＝（x＋1）（5x－2）

因式分解下列各式： (1) 2x2－17x－9 2x ＋1 x －9 －18x＋x＝－17x 所以 2x2－17x－9＝（2x＋1）（ x－9）

(2) 14x2＋19x－3 2x ＋3 7x －1 －2x＋21x＝19x 所以14x2＋19x－3＝（2x＋3）（7x－1）

因式分解 5x2－17x＋6。 解   x －1 x ＋1 5x －6 5x ＋6 －6x－5x＝－11x 6x＋5x＝11x（不合） 5二次項係數不為1，常數項為正數 因式分解 5x2－17x＋6。 解   x ＋1 5x ＋6 6x＋5x＝11x（不合） x －1 5x －6 －6x－5x＝－11x （ 不合）

x ＋6 5x ＋1 x＋30x＝31x（不合） x －6 5x －1 －x－30x＝－31x (不合)   解  x ＋2 5x ＋3 3x＋10x＝13x （不合）  x －2 5x －3 －3x－10x＝－13x （不合）

解   x －3 5x －2 －2x－15x＝－17x x ＋3 5x ＋2 2x＋15x＝17x （不合） 所以 5x2－17x＋6＝（x－3）（5x－2）

因式分解 2x2－11x＋12。 x －4 2x －3 －3x－8x＝－11x 所以 2x2－11x＋12＝（x－4）（2x－3）

因式分解6x2＋13x＋6。 解 3x ＋2 2x ＋3 9x＋4x＝13x 所以6x2＋13x＋6＝（3x＋2）（2x＋3） 配合習作P36、37基礎題 1(6)、2(4) 6 各項係數皆為正數 因式分解6x2＋13x＋6。 解 3x ＋2 2x ＋3 9x＋4x＝13x 所以6x2＋13x＋6＝（3x＋2）（2x＋3）

因式分解下列各式： (1)2x2＋11x＋5 x ＋5 2x ＋1 x＋10x＝11x 所以2x2＋11x＋5＝（x＋5）（2x＋1）。

在多項式四則運算時，我們曾經學過分離係數法。以十字交乘法進行因式分解時，同樣可以使用分離係數法。 7分離係數法 因式分解6x2－x－15。 解 2 ＋3 3 －5 －10＋9＝－1 所以 6x2－x－15 ＝（2x＋3）（3x－5）

二次多項式進行十字交乘法時，可以先固定二次項的分解方式，調整常數項的分解方式，再檢查一次項的係數是否相符。如果不相符，則改變二次項的分解方法再試。

先將負號提出，得到－3x2＋4x－1＝－（3x2－4x＋1），再以十字交乘法因式分解3x2－4x＋1。 解 配合習作P37基礎題 2(5)(6) 8首項係數為負的十字交乘法 因式分解－3x2＋4x－1。 先將負號提出，得到－3x2＋4x－1＝－（3x2－4x＋1），再以十字交乘法因式分解3x2－4x＋1。 解 3x －1 x －1 －3x－x＝－4x －3x2＋4x－1＝－（3x2－4x＋1） ＝－（3x－1）（x－1）

解 或者直接分解得到 －3x ＋1 x －1 3x＋x＝4x －3x2＋4x－1 ＝（－3x＋1）（x－1）

因式分解下列各式： (1)－2x2＋11x－5 x －5 2x －1 －x－10x＝－11x －2x2＋11x－5＝－（2x2－11x＋5） ＝－（x－5）（2x－1）

(2)－6x2＋4x＋2 x －1 3x ＋1 x－3x＝－2x －6x2＋4x＋2＝－2（3x2－2x－1） ＝－2（x－1）（3x＋1）

我們也可以利用平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b），所以x2－9＝（x＋3）（x－3）。 解二 9 缺一次項的十字交乘法 因式分解x2－9。 x ＋3 x －3 －3x＋3x＝0 解一 所以x2－9＝（x＋3）（x－3）。 我們也可以利用平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b），所以x2－9＝（x＋3）（x－3）。 解二

利用十字交乘法因式分解9x2－16。 3x ＋4 3x －4 －12x＋12x＝0 所以9x2－16＝（3x＋4）（3x－4）。

10 代換型 因式分解（x＋1）2＋9（x＋1）＋8。 解 設x＋1＝A，則原多項式可以寫成A2＋9A＋8。 A2＋9A＋8＝（A＋1）（A＋8） ＝〔（x＋1）＋1〕〔（x＋1）＋8〕 ＝（x＋2）（x＋9）

因式分解（x－3）2－5（x－3）－24。 設x－3＝A，則此多項式可以寫成A2－5A－24。 A ＋3 A －8 －8A＋3A＝－5A A2－5A－24 可因式分解為（A＋3）（A－8），所以（x－3）2－5（x－3）－24 ＝〔（x－3）＋3〕〔（x－3）－8〕 ＝x（x－11）

因式分解x3＋2x2－8x。 x3＋2x2－8x 解 ＝x（x2＋2x－8） ＝x（x＋4）（x－2） 先提出公因式x x ＋4 x －2 11先提公因式再用十字交乘法 因式分解x3＋2x2－8x。 x3＋2x2－8x ＝x（x2＋2x－8） ＝x（x＋4）（x－2） 解 先提出公因式x x ＋4 x －2 －2 x＋4x＝2x

因式分解2x3y－x2y－6xy。 2x3y－x2y－6xy ＝xy（2x2－x－6） ＝xy（x－2）（2x＋3） x －2 2x ＋3 3x－4x＝－x

十字交乘法是因式分解最常用的方法，尤其是在分解形如 ax2＋bx＋c 的二次三項式時，我們通常會先使用十字交乘法因式分解。 在下一章中，我們將會使用本章所學的因式分解方法解一元二次方程式。

1.x2＋（a＋b）x＋ab 可用十字交乘法因式分解為（x＋a）（x＋b）。 bx＋ax＝（a＋b）x ab

2.prx2＋（ps＋qr）x＋qs可用十字交乘法因式分解為（px＋q）（rx＋s）。 psx＋qrx＝（ps＋qr）x qs

3.十字交乘法的常數項分解原則： 一次項係數為正 一次項係數為負 常數項為正數 分解為兩個正數相乘 分解為兩個負數相乘 常數項為負數 分解的兩異號數中，正數的絕對值較大。 分解的兩異號數中，負數的絕對值較大。

3-3 自我評量 因式分解下列各式： (1) x2＋7x＋12 x ＋3 x ＋4 3x＋4x＝7x x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)

(2) x2－6x＋9 x －3 －3x－3x＝－6x x2－6x＋9＝ (x－3) 2

(3) x2－15x＋36 x －3 x －12 －12x－3x＝－15x x2－15x＋36＝(x－3) (x－12)

(4) x2－5x－36 x ＋4 x －9 －9x＋4x＝－5x x2－5x－36＝(x＋4)(x－9)

(5) －2x2－13x＋24 x ＋8 2x －3 －3x＋16x＝13x －2x2－13x＋24＝－（2x2＋13x－24） －2x2－13x＋24 ＝－（x＋8）（2x－3）

(6) 3x2－19x＋28 x －4 3x －7 －7x－12x＝－19x 3x2－19x＋28＝ (x－4) (3x－7)

(7) 5x2＋17x－12 x ＋4 5x －3 －3x＋20x＝17x 5x2＋17x－12＝(x＋4) (5x－3)

(8) 4x2－3x－10 x －2 4x ＋5 5x－8x＝－3x 4x2－3x－10＝（x－2）（4x＋5）

(9) 5x2－6xy－8y2 x －2y 5x ＋4y 4xy－10xy＝－6xy 5x2－6xy－8y2＝( x－2y ) ( 5x＋4y )

(10) 3（x－1）2＋7（x－1）＋4 設x－1＝A，則此多項式可以寫成3A2＋7A＋4。 A ＋1 3A ＋4 4A＋3A＝7A 3（x－1）2＋7（x－1）＋4 ＝〔（x－1）＋1〕〔3（x－1）＋4〕 ＝x（3x＋1）

因式分解的幾何作法 本章我們學了三種因式分解的作法：提公因式、利用乘法公式、十字交乘法，古希臘人則是使用平面圖形的面積來作因式分解。我國古書《 海島算經 》 的第一題，根據考證，也是使用面積推得公式。因此，如果能更積極地運用圖形操作來作為二次式變換的啟蒙，也不失為一種較具體的因式分解方法。

下列三圖的面積分別為x2、x 和1： 則x2＋4x＋3 就可以表示成

如果 x2＋4x＋3 可以因式分解，就表示上面八個圖形可以合併成一個較大的矩形，如下圖，此矩形的長和寬就是 x2＋4x＋3 的因式。

所以x2＋4x＋3＝（x＋3）（x＋1）。 這種使用面積作因式分解的方法，是不是讓因式分解變得更具體了呢？試試看，如果要因式分解2x2＋7x＋6，該怎麼排呢？